Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Следовательно, 1) — р =Л(Н«) и Л+ !аеп У для р~)1~~ — д, что доказывает утверждение (1). Имеем Ва(а)= — а и В (Н)~11+Фа ДлЯ всех 1!Я()'. Поскольку множество Ф устойчиво относительно группы (Р' (следствие 2 предложения 2), то серия (Л вЂ” да, Л вЂ” да+ а, ..., Л+ ра) устойчива относительно отражения за, которое переводит вес Л вЂ” да+ иа в вес Л+ рз — иа при всех и 2— : и. Снова принимая во внимание следствие 2 предложения 2, мы видим, что ВГ „„ = тр „ для всех целых чисел и еп (О, Р + 1)).
Это доказывает утверждение (й). По следствию предложения 2 нз $1 эндоморфизм (Х )Р1)ГЕ+1« инъективен прн 1 < (р — В)/2. Стало быть, эндоморфизм (Х„)Р отображает пространство И!11« в пространство )21! !! Р!1«. Таким образом, т1+1>т1 при 1< (р — д)/2. Заменяя корень а на корень — а, мы видим, что т,,1<!и! при 1> (р — 1))/2. Это доказывает утверждения (ш) и (1ч).
Следствие 1. Если ЛВ= У и Л(Н )~)1, то Л вЂ” пей. Если Л + а ~ У и Л (Н,) = О, Го Л ен У и Л вЂ” а е= У. Это утверждение сразу же вытекает из предло>кения 3(1), Следствие 2. Пусть 12Г=Р++ и ч Вишь+. Если р+тенУ, Го 12 е= У. Запишем ч = ~ са.а, где с«~ 1:) для любого и ~ В. Наше ааВ утверждение очевидно, если ~, са = О.
Предположим, что «аз с„ > О, и проведем доказательство индукцией по ~ с,. аыВ аыВ Пусть (.1,) — билинейная симметрическая положительная невырожденная (Р'-инвариантная форма на ()"„, Имеет место соотношение (ч ~ ~ са,а) > О, а значит, существует (1 ~В, !аяв такой, что са>! и (ч1Щ> О. Отсюда т(Н ) >1. Поскольку 11еиР+,,то(11+э)(На)>1.
Согласно следствию 1, и+(ч — р)енК, и достаточно применить предположение индукции. з г. конвчномзю~ые модели Следствие 3, Пусть о еи У вЂ” примипшный элемент веса гь, и пусть Х вЂ” множество таких элементов аеп В, что ьг(Н )=О. Стабилизатор в й прямой йо есть параболическая алгебра р, ассоциированная с Х 5 3, и'4„замечание). Заменяя, если необходимо, й-модуль (т его й-подмодулем, порожденным элементом г, можно считать, что )г прост. Пусть Š— его стабилизатор. Тогда (и+)и о = О, ((г)и о с йв. Пусть а я В таков, что ы(Н,) = О. Имеем ы+ а Ф Ф, откуда ы — а ф Я' (предложение 3(г)), и, следовательно, (й-')и о = О. Это все показывает, что р с: Е. Если р ~6, то Е=р, где Х' — подмножество в В, строго содержащее Х. Пусть р ~ Х' — Х.
Тогда й-З стабилизирует яо, а следовательно, обращает в нуль о. Поскольку а(Н ) > О, это противоречит предложению 3 (ш). Ч. Т. Д. Подмножество го множества Р называется К-насьиценным, если оно удовлетворяет следующему условию: для любого Л ~ гп и любого корня а ~ К выполняется соотношение Л вЂ” !а еп гв., каково бы ни было целое число ~, заключенное между О и Л(Н,). Так как э (Л) = Л вЂ” Л(Н„) а, то мы видим, что К-насыщенное подмножество множества Р устойчиво относительно действия группы гР'. Пусть ф ~ Р. Будем называть элемент Л множества ф К-экстремальным в множестве гД, если для всех корней а ~ К или Л+ а Фф, или Л вЂ” аэй ф. Пгвдложвнип 4. Пусть à — конечномерный й-модуль и й — целое число ~ ~Е Тогда множество весов модулл Г кратности )а' является К-насыщенным. Утверждение сразу же следует из предложения 3.
Пгвдложвнип 5. Пусть à — простой конечномерный й-модуль, ы — его старший вес, го — множество его весов. Выберем положительно определенную невырожденную (и'-инвариантную симметрическую билинейную форму (,~.) на ()а, и пусть Л~-ие'Л'з'= (Л (Л) ~ — соответствующая норма. (г) Ф вЂ” наименьшее К-насыщенное подмножество множества Р, содержащее вес ы. (й) К-экстремальные элементы множества Ж, и только они, сопряжены с элементом ы относительно действия группы Ф'.
(Ш) Если не= го, то йр)~(~)ы'и. Если, кроме того, и ~ ы, то 1~ р+ й~ < !1ы+ р~~. Если р не является К-экстремальным элементом множества Я, то (гч) то = Ф'. (гс Д Р++). Для того чтобы элемент Л множества Р+ч принадлежал множеству М~() Р++, необходимо и достаточно, чтобы ы — Л~ йс+. (1) Пусть го' — наименьшее К-насьпценное подмножество множества Р, содержащее ы.
Тогда гп'с=Я (предложение 4). Е е>рбаки 1ЕЯ Гл. ч!и. РАсщепленные полупРостые АлГеБРы лн т Предположим, что Я'Ф Я", Пусть А — максимальный элемент множества Ф вЂ” Я". Так как Х Ф ы, то существует такой корень ая В, что А+ а не Я'. Введем р и д так же, как в пред- ложении 3. Поскольку А — максимальный элемент в множестве Ж вЂ” Ж', то А+ ра ец Я'. Так как множество Я" устойчиво отно- сительно группы )Р', то по предложению 3 (В) А — да еи К'.
Следо- вательно, Х+ иа ~ Я" для целых чисел и из отрезка ( — д, р), Это противоречит тому, что А~ Я", и доказывает утверждение (!). (В) Ясно, что Гь есть )Г-экстремальный элемент множества Я; следовательно, его образы под действием группы Ж' — тоже В-экстремальные элементы множества Я. Пусть Х есть Д-экстре- мальный элемент множества Я'; докажем, что А ен (Р . ы. Так как существует такой элемент а! ен У, что ГВА~ Рэ,. (гл. Ч1, $1, п'10), то можно предположить, что А я Р~ ~. Пусть а я В; введем р и д так же, как в предложении 3. Вследствие того что А яв- ляется 11-экстремальным весом, или Р=О, или у=О.
Так как д — р=х(н„)>0, то неравенство р> 0 невозможно. Следовательно, Р=О, так что А=ы. (Ш) Пусть реп Я'ДР~.Б. Тогда Ге+ ренР!., и ы — ряЯ (3 6, п'1, предложение 1), следовательно, 0~((а — ц!Гь+ р) = =(ы!!Б) — (1А!)А); таким образом, (р~1А)((ГБ!ы), и это утвер- ждение распространяется с помощью группы Вейля на все элементы РАЯ'. Если теперь РАЯ' — (!ь), то мы получаем (р + р ~ р + р) = (р ~ р) + 2 (р ~ р) + (р ~ р) ( ( (ы 1ы) + 2 (р ~ р) + (р ~ р) = =(Гь+ р /Гь+ р) — 2(ГБ — р !р). Но ы — р= х„н а, где не все из целых чисел п„~)0 равны аав нулю, поэтому (Гь — р ~ р) > О, поскольку (р ~ а) > 0 при всех аы В (гл, ч'1, $1, и'10, предложение 29 (ш)).
Если р не является т(-экстремальным элементом множества Я', то суще- ствует такой корень а я В, что р+ а я Я' и 1А — а енУ. Таким образом, !!1А!! < Бпр(11 р+ а!!, ) р — а!1) ( Бпр 1х!!, и по предыдущему эта верхняя граница длин корней равна !!Гь!!. (!и) Я'=й!'.(М()Р++) вследствие гл. Ч1, 5 1, п'!О. Если )!~У, то Г — ХенЦ+ (5 6, и'1, предложение 1). Если Хя Р++ и в — Л~ Я+, то Хен М (следствие 2 предложения 3). Следствие. Пусть Я' — конечное К-насыщенное подмножество множества Р. Тогда существует конечномерный й-модуль, мно. жество весов которого совпадает с Я', Э х консчномеы!ые мОдули !63 Так как множество ге' устойчиво относительно действия группы %', то М совпадает с наименшпим Й-насыщенным множеством, содержащим М() Р э.
По предложению 5(!) м; является множеством весов модуля Я Е (Л). п э++ Замечание 2. Напомним (гл. И, $1, п'б, следствие 3 предложения 17), что существует единственный элемент ш, группы )(т, который переводит базис В в базис — В; имеет место равенство ада=1, и элемент — ш, сохРанЯет отношение поРЯдка в множестве Р. Отметив это, предположим, что à — простой конечномерный й-модуль, а аз — его старший вес. Тогда геа(е)— младший вес модуля )т, и его кратность равна 1. 8. Микровееа Пэндложнниз б, Пусть Л ен Р и ге — наименыиее К-насыщенное подмножество множества Р, содержащее вес Л. Выберем норму !!.
!! так же, как в предложении б, Тогда следующие условия эквивалентны; (!) Я! = )Р' . Л; (В) все элементы множества го имеют одинаковую длину; (111) Л (Н,) ен (О, 1, — 1) для каждого корня а ен В. Каждое непуетое В-насыщенное подмножество множества Р содержит элемент Л, удовлетворяющий предыдущим условиям. Введем следующее условие: (11') прн всех а ~ В и целых числах 1, содержащихся между 0 и Л(Н,), !! Л вЂ” !а )! !! Л !!. (1) ="'(В) =ь (!!'). Это очевидно. (и')=~-(!1!).
Предположим, что выполнено условие (В'). Пусть ае=р. Тогда имеет место равенство !!Л!!=!!Л вЂ” Л(Н,)а!!. Следовательно, для всех целых чисел 1, содержащихся строго между 0 и Л(Н„), выполнено неравенство !|Л вЂ” !а!! < !!Л!!, поэтому таких чисел нет, откуда вытекает, что !Л(Н ) )(1. (!!!) =>-(!), Предположим, что условие (ш) выполнено. Пусть ш ен У и иена. Имеем (вЛ)(Н,)=Л(Н вЂ” ) я (О, 1, — !). Если ! — целое число, содержащееся между 0 и (шЛ)(Н,), то вес шЛ вЂ” !а равен или шЛ, илн э,(шЛ). Это доказывает, что множество 1Р'.Л является Й-насыщенным, откуда М= Ж'.Л.
Пусть ф — непустое В-насыщенное подмножество множества Р, В ф существует вес Л минимальной длины. Ясно, что вес Л удовлетворяет условию (В'), откуда вытекает последнее утверждение предложения. 164 Гл. ю!!. Рхсщепленные полупРОстые хлгеегы ли Э ПРРдложтние 7. Пусть У вЂ” простой конечномерный й-л(одуль, Я вЂ” множество его весов и Л вЂ” максимальный элемент множества Я (см. предложение 5(!)). Тогда условия (!), (В), (В!) предложения б эквивалентны следующему условию: ()ч) для всех корней ае— : 1(' и всех элементов хай' имеет место равенство (х;)г =О.
Если это условие выполнено, то все веса модуля 1( имеют кратность 1. Если выполнено условие (!), то Я'='йт.Л и все веса модуля )т имеют ту же кратность, что и зес Л (следствие 2 предложения 2), т. е. кратность 1. Кроме того, если гс ~ )Р' и аеи)г, то вес ев(Л)+ (а может быть весом модуля )т, только если !! (ч '1. Поэтому, если х~ й', то )г(),Р(х!) )тв(м+га откуда следует, что (хт)г = О. Это доказывает импликацию (!) ~ (!ч). Обратно, предположим, что выполняется условие (!ч). Пусть а ен !с. Снабдим )т структурой 6!(2, й)-модуля, определенной элементами Х„„Х „Н, алгебры Ли й. Из условия (!ч), примененного к элементу х=Х„следует, что веса 6!(2, й)-модуля )т принадлежат множеству (О, 1, — 1) (см.
$ 1, и'2, следствие предложения 2). В частности, Л(Н„) е:— (О, 1, — 1), откуда вытекает, что (!ч)=Р(!!!). ПРедложение 8. Предположим, что й — простая алгебра 7и. Обозначим через а„..., а! элементь! базиса В, а через (ь(, .'.. ..., й! — соответствующие фундаментальнь(е веса.
Пусть Н= =п(Н,+ ... +п(Н,,— старший корень дуальной системы Яч и Т вЂ” множество таких индексов ! ~ (1...,, 1), что п( = 1. Пусть Лен Р„+ — (О). Тогда условия (1), (й), (!!!) предложения б эквивалентны каждому из следующих условий.
(ч) Л(Н) =1!' (ч!) существует такой индекс ! Ену, что Л=(э!. Веса й! при ! (и У образуют в группе Р(1() систему представителей ненулевых элементов факторгруппы Р()()ЯЯ). Пусть Л = и((ь(+ ... + и(й(, где ио ..., и! — целые числа )О, не зсе равны нулю. Имеет место равенство Л(Н)= = и,п(+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
