Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть э еи Ап(ь(й, гг) — такой автоморфизм, что е(э) ~ Апг(Е, В). Подгруппа группы А ()т), порожденная элементом е (э), имеет конечное число орбит в множестве В. Пусть 0 — некоторая такая орбита, содержагцая г элементов, и пусть йи= ~ йв. Ваи Выберем некоторый элемент !3,~(Т и положим !3г — — е(э) ()г пря 1 < г'-=.Г, так что (г' = ф, ..., р,). Если Хв, — ненулевой элемент пространства йвч то положим Хв, = эг-'Хв, для всех 1ЗЗ Гл.
ш!1. РАсшепленные полупРостые АлГеБРы ли г 1(1~(Г. Существует такой элемент совий*, что з'Ха, =соХБ„ откуда вытекает, что з'ХБ! = соХБ для всех ! и, следовательно, з'~йо=со.!. Г1усть ф~То и з'=зог(ф). По утверждению а) з' — элемент группы Лп(Р(й, ч). Мы получаем, что з" ! йо = =ей.1, .д. / ',=,пе1гг= ~(ь !) ! ! 1 г ! Положим В=(ан ..,, а!) и ~ р! = ~., тоа. Так как е(з) еп ! ! 1 ен Ап! Я, В), то !пи — не равные одновременно нулю целые числа одного знака. Мы получаем, что с'„= со П ф (а!) тго.
Гомоморфизм ф можно выбрать так, чтобы с' ~ 1 для всех орбит (г'. Действительно, это сводится к выбору таких элементов ф(а!)=11, ..., ф(а!)=1! из й', что они не обращают в нуль конечное число не равных тождественно нулю много- членов от переменных 11, ..., г!. Для гомоморфизма ф, выбранного таким образом, мы вследствие леммы 2 получаем е(з') = 1, поэтому е(з) =е(з')е(! (ф)) =1. Следствие. Пусть  — базис систе,яы корней )1.
Группа АН1(я, (!) изоморг(гна полупрямоггу произведению групп АН1()т, В) и Ап(,(й, ч). Это следствие вытекает из предложения 1, следствия 1 предложения 2 и предложения 4. Замечание. Пусть е', е" — ограничения гомоморфизма е на Ан1Р(й, !) и ЛН1,(й, ~!) соответственно. Пусть !" — гомоморфизм группы ТР в группу Ап1,(й, !!), построенный по гомоморфизму !" с помощью канонического вложения группы яя) в группу ря). Выше мы установили коммутативность следующей диаграммы: 1 — Тп- Ап1(й, (!) — АЯ) — 1 Т Т Х 1 — То — Ап1Р(й, й) — 5'(Р) — ! Тр — Ап1,(г), !!) — )У" Я) — 1 г % 5.
АВТОМОРФПЗМЫ ПОЛУПРОСТОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ 139 в которой все вертикальные стрелки, кроме о, означают канонические вложения. Мы видели (предложения 2 и 4), что две первые строки точны. В третьей строке гомоморфизм е" сюръективен 5 2, и'2, следствие теоремы 2); можно показать, что его ядро равно )'(Тр) (5 7, упражнение 2бг)). 8. Автоморфизмы расщепляемой полупростой алгебры ухи ПРГдложзнин 5, Предположим, что алгебра ууи й расщепляема. Тогда группа Ан1ь(й) просто транзитивно действует на множестве разметок алгебры 7и а. Пусть е, =(й, 5„ВР (Х„') ), ез=(й, й,, В, (Хэ) ) разметки алгебры Ли а. Существует не больше одного элемента группы Ап1ь(й), переводящего разметку е, в разметку ез (предложения 1 и 4).
Пусть Й вЂ” алгебраическое замыкание поля й. Существует элемент группы Ан1,(а Зьй), который переводит подалгебру Картана 5, ®Ай в подалгебру Картана (1,ЗА й (гл. АГП, 5 3, п'2, теорема 1). Таким образом, по предложению 4 и следствию 2 предложения 2 существует элемент ф группы Ан1, (й ЗА й), который переводит разметку (й ®А й, 1Л Зьй, В1 (Х„')„в) алгебры Лн 9ЗАй в разметку (йЗАй, 9, Зьй В„(Х',), в). Так как подалгебра 5, и элементы Х,' (соотв. подалгебра ), и элементы Х„') порождают алгебру Ли й, (соотв, ат), то ~р(й,) = а,. Следовательно, гомоморфизм ~р имеет вид фЗ1, где Ч~~Ап1ь(8), и ф переводит разметку е, в разметку еь СлвДствив 1. ПУсть (й, 5, В (Х„)„в) — Разметка алгебРЫ Ли а, а 6 — группа автоморфизмов этой алгебры 7и, сохраняющих данную разметку (изоморфная группе Ап1(В, В)).
Тогда группа Ан1(й) является полупрямым произведениен подгрупп 6 и Ан1ь(й). Действительно, все элементы группы Ац1(а,) переводят разметку (й, "ч, В, (Х,), в) в некоторую разметку алгебры Ли й. По предложению 5 каждый смежный класс группы Ап1(й) по подгруппе Ан1ь(9) содержит единственный элемент группы 6. Ч. Т. Д. Из следствии 1 вытекает, что факторгруппа Ап((й)ГАн1ь(й) отождествляется с группой А~1Я, В) и изоморфна группе автоморфизмов графа Дынкина системы корней В. Следствие 2. Если й — простая расщепляемая алгебра Ли типа А1 Ва (и ~2) Сь (п)~2), Е,, Ев, Т, или 6г то Ан1(й) = Ан1ь(й). 140 Гл. гггг. Рхсщвилгнггые полупгостые клгяьгы яг! г Если д — алгебра Ли типа Л„(а)2), й„(п эб) или Еч, то порядок факторгруппы Ап1(д)/Ап14(д) равен 2, и в случае, когда д — алгебра Ли типа 04, эта факторгруппа изоморфна группе Ьз.
Это вытекает из следствия 1 и таблиц 1 — 1Х в гл, Ч1. Замечания. 1) Пусть е, =(д, 1«п В„(Х„') ), ее=(д, «„В„ (Х',) ), е,'=(д, «,, В, (У',) ) — разметки алгебры Ли д, з (соотв. з') — элемент группы Ап1„,(д), переводящий разметку е, в разметку ез (соотв. в разметку е,'). Тогда з~«, =з'г«г. Действительно, з' геен Ап1,(д, «,) и з' 'з(Вг)=Вг', следовательно, е(з'-') = 1. 2) Пусть Х вЂ” множество пар («, В), где « — расщепляюгцая подалгебра Картана алгебры Ли д, а  — базис системы корней расщепленной алгебры Ли (д, «). Если х = («, В) и х' = («', В')— элементы множества Х, то существует элемент з ~ Ап(ь(д), который переводит х в х' (предложение 5), и ограничение з„,, гомоморфизма з на подалгебру «не зависит от выбора з (замечание 1).
В частности, зк", м ' зх',х =ях", л, если х х, х е=Х и з„, „= 1. Множество семейств (6,)„х, удовлетворяющих условиям а) й„е=-«, если х=(«, В), б) з,,(йл) =Вен если х, х'АХ, превращается естественным образом в векторное пространство, которое мы обозначим через «(д). Его иногда называют канонической подалгеброй Картана алгебры Ли д.
Для пар х = («, В) и х'=(11', В') гомоморфизм з,, переводит базис В в базис В' и, следовательно, систему корней расщепленной алгебры Ли (д, «) в систему корней расщепленной алгебры Ли (д, «'); отсюда следует, что пространство «(д)", дуальное к пространству «(д), естественным образом снабжено системой корней В (д) с базисом В (д). Иногда говорят, что Аг(д) — каноническая система корней алгебры Ли д, а В(д) — канонический базис этой системы корней.
Группа Ап1(д) так действует на подалгебре «(д), что система корней В(д) и базис В(д) устойчивы относительно этого действия; те элементы группы Ап((д), которые действуют на подалгебре «(д) тривиально, принадлежат 'подгруппе Ап(ь(д). Пгвдложениа 6. Пусть « — расщепляющая подалгебра Картана алгебрьг Ли д. Тогда в обозначениях п'1 Ап1ь (д) = Ап1,(д), Кег е = Ап1,(д). 1'(Тп). Согласно следствию предложения 10 5 3, п'3, мы получаем, что Ац(ь(д) = Ап1,(д), Ан(ь(д, «).
С другой стороны, по следствию теоремы 2 в 2, и'2, а(Ап1,(д, «)) ~ У(В), поэтому Ап1ь(д, «)= = Ап1,(д, 11). Кеге. 5 з >Втомогвпзмы полупгостоп >лгевгы лп 141 Замечание 3. Предложение 6 показывает, что канонический гомоморфизм м То/!т(Т„)- Ап1ь(й)/Ап(,(й), существование которого следует из диаграммы и'2, сн>рынтиеен. В частности, группа Ап1,(й! содержит производную группу группы Ап1ь(й); мы увидим (5 !1, п' 2, предложение 3), что эти группы совпадают. С другой стороны, можно показать, что гомоморфизм ь инъентиеен, т. е.
(см. 5 7, упражнение 26г). Пиидложаниа 7. Пусть й — полупростал расщепляемая алгебра Ли, !> — ее подалгебра Борелл, а р~ и р, — дее ее параболические подалгебры, содержащие !ч Тогда подалгебры р, и р, не сопряжены относительно группы Лп(ь(й). Можно предположить, что поле й алгебраически замкнуто. Пусть з ~ Ап(ь(й) — такой автоморфизм, что е(р,) = р, Пусть 1> — подалгебра Картана алгебры Ли й, содержащаяся в (>() з(6) ($3, и'3, предложение !0). Так как алгебры 1> и з(1>) являются подалгебрами Картана алгебры з(!>), то существует такой элемент ие-:[(>, Ц, что е'4" (1>)=з(1>) (гл. ЧП, $ 3, и'4, теорема 3).
Заменяя автоморфизм з на е 'сьэ, мы приходим к случаю, когда з(й)=1>, и, таким образом, автоморфизм з индуцирует иа подалгебре 1> элемент о из группы Вейля В' расщепленной алгебры Ли (й, й) (предложеиие 6). Пусть С вЂ” камера Вейля, соответствующая алгеоре Ли К Тогда алгебры Ли р, и р, соответствуют ячейкам Р, и Р, пространства 1>а, содер>кащимся в замыкании камеры С. Имеет место равенство о(Р~) = Р,, Поскольку и ~ йт, то Р, =- Ре (гл. Ч, 5 3, и' 3, теорема 2), поэтому р> = р,. Замечание 4.
Пусть й — полупростая расщепляемая алгебра Ли, а У вЂ” множество ее параболических подалгебр, т. е. множество, на котором действует группа Лп(ь(й). Воспользуемся обозначениями замечания 2. Пусть Х вЂ” подмножество канонического базиса В(й). Задание множества Х эквивалентно заданию для каждой пары х=(1>, В) ~ Х такого подмножества Х„ в базисе В, что для любых х, х' ~ Х отображение з;, „переводит Х, в Х,. Пусть Р, — параболическая подалгебра алгебры Ли 1, соответствующая множеству Х, (5 3, и' 4, замечание). Ее ороитой относительно Ап1„(й) является множество параболических подалгебр Р„„где х'~ Х.
Таким образом определяется Гл. Гп!, РАсщсплюп!ые полтпРостые АлГеБРы лп отображение множества !])(В(й)) в множество З!/Ац(,(й). Это отображение сюръективно вследствие замечания нз 5 3, п'4, и инъективно по предложению 7. 4. Топология Зарисского на группе Ац((п) Прсдложение 8. Пусть )à — множество эндомор4измов векторного пространства й. Тогда группа Ац1(й) — замкнутое в топологии Зарисского подмножество пространства ]Г (гл. Ч11„дополнение 1). Пусть К вЂ” форма Киллинга на алгебре Ли й. Если зев Ац1 (й), то равенства [зх, зу] = [х, у], К (зх, зу) = К (х, у) (2) (3) выполняются при любых х, у ~ й. Обратно, пусть з — элемент пространства )т, удовлетворяющий условиям (2) и (3) для всех х, у ен 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
