Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Аетоморфизмы размеченной полупростой алгебры Ли Напомним (гл. Ъ'11, з 3, и'1), что через АП1(й) мы обозначаем группу автоморфизмов алгебры Ли 9. Если $ — подалгебра Картаиа алгебры Лп 9, то обозначим через АП1(9, 5) группу автоморфизмов алгебры Ли й, относительно которых устойчива подалгебра Картана 11. Предположим, что подалгебра [! расщепляющая, и пусть !с — система корней.
расщеплеииой ал.- гебры Ли (й, й). Если зев АП1(Е, Ц, то отображение, контрагредиентное к отображению э[11, является элементом группы г э а лвтомоРФизмь> полупгостои ьлгсвгь> лп 133 А(В) (группы автоморфизмов системы Т4). Его мы будем обозначать в данном параграфе через е(з). При этом отображение е; Ап1(й, «) — Л(В) — гомоморфизм групп. Для произвольной системы корней И и базиса В этой системы обозначим через Ап1(й>, В) группу автоморфизмов системы т(, относительно которых устойчиво множество В. Напомним (гл. И, $ 1, и'5, предложение 16, и 5 4, п'2, следствие предложения 1), что группа А(И) является полупрямым произведением групп Ап(()>>, В) и йт(В) и что факторгруппа А ()с)/)«т (В) канонически изоморфна группе автоморфизмов графа Дынкина системы корней т(. Пгьдложенив 1.
Пусть (й, «, В, (Х„),„в) — разл>е>енная полупростая алгебра Ли, а )1 — система корней раси)епленной алгебры Ли (й, «). Пусть 6 — множество авгоморфиз иов з ~ ~ Ап((й, «), относительно которых устоичиво множество В и для которых з(Х„)=Х,ы> при всех аенВ (иначе говоря,,иножество автоморфизмов размеченной алгебры Ли (й, «, В, (Х )„г). Тогда ограничение отооражения е на,иножество 6— зто изоморфизм группы 6 на Ап1()т, В). Если зеп6, то ясно, что е(з)енАп1(В, В). С другой стороны, отображение е>6: 6 — Ан1(В, В) биективно вследствие теоремы 2 из п' 4 5 4, 2.
Автоморфизмы раси(впленной полупростой алгебры Ли Пусть Š— коммутативная группа и А= ® Л» — некоторая »м е градуированная алгебра типа Е. Для любого гомоморфизма ч> группы Е в мультипликативную группу )т* обозначим через ) (ч>) я-линейное отображение алгебры А в себя, ограничение которого на каждое из подпространств А" — гомотетия этого подпространства с коэффициентом е>(у). Ясно, что ) (Ч>) — автоморфнзм градуированной алгебры А н что отображение 1 — гомоморфизм группы Но>п(Е, )т*) в группу автоморфизмов градуированной алгебры А. Пусть « — расщепляюшая подалгебра Картава алгебры Ли й, а  — система корней расщепленной алгебры Дц (», «).
Напомним, что через Р(В) (соотв. 1)(>1)) обозначается группа весов (соотв. группа радикальных весов) системы корней )с. |з4 Гл. »н!. РАсшепленные полупРОстые АлГеБРы лп 1 Положим ТР = Но!и (Р()Г), lг*), То —— Но!и(А)()с), lг"), Можно рассматривать алгебру Ли й=йо+ ~„йо как градуиаеа рованную алгебру типа Я(11). Согласно сказанному выше, определен канонический гомоморфизм группы То в Ап((й, Ь), который мы будем обозначать на протяжении этого пзраграфа через ). С другой стороны, каноническое инъективное отображение группы ЯЯ) в группу Р(1») определяет гомоморфизм группы ТР в группу Та, который мы будем обозначать через д.
Мы получаем последовательность отображений Т,-~ Т, ~ Ап( (й, 5). Если з еи АН1(й, 5), то пусть з' — ограничение отображения (э))) на группу Я(|с). Мы получаем, что для всех фа=Та 1(фоз ) = 3- о( (|р)оз. (1) Действительно, если ус= Я(1») и хеи й», то эх ее й"» и 1(фоз") х=(|роз')(у).х= =$ (ф(Я У)ЗХ) =(5 о1'(ф)оэ)(Х), ПРедложение 2. последовательность гомомор4измов 1-о Та — АП1 (й, Ф) — Л()() — о 1 точна. а) Пусть |р еи Кета.
Тогда |р(а) = 1 для любого корня а ~ )с. Так как множество 1» порождает группу ЯЯ), то ф — нейтральный элемент группы То. б) Пусть фен То. Тогда ограничение гомоморфизма 1(ф) на 5о йо — тождественное отображение, и, следовательно, 1|и) с: Кега. в) Пусть з ~ Кеге, Тогда з ~» =1б». Поэтому з(йо) = йо при любом ае=й, а значит, существуют такие элементы Г„енн", что эх=1,х для всех хан йо. Учитывая, что ее= АП1(й), мы получаем соотношения 1,1 „=1 для всех ась 1», 1„1 = (,+, когда а, (), а+ й еп ((. При этих условиях существует такой гомоморфизм фел То, что |р(а)=Го для любого корня аеп11 (гл.
Ч1, 5 1, и'б, след- г з а АБТОмОРФ11змы полупРОстоп АлГеБРы ли 135 ствие 2 предложения 19). Таким образом, з = [(1р). Следовательно, Кеге ~1гп). г) Образ группы Ап((0, «) при отображении е содержит по следствию нз теоремы 2 п'2 $2 группу РР (И), а по предположению 1 он содержит группу Ап! Я, В). Следовательно, этот образ совпадает с группой А ф). Следствие 1. Пусть (В, (Х,) а) — разметка расщепленной алгебры Ли (0, «) и 6 — множество автоморфизмов зе†: Ап((0, «), сохраняющих зту разметку. Тогда группа Ап1(0, «) — полупрлмое произведение групп 6 и е '((Р'(Л)). Действительно, по предложению 1 6() е ' (йт (И)) =(1) и Ап1(0, «) = 6. е ' (Ч7()Г)), так как отображение е с1оръективно (предложение 2), Следствие 2.
Группа е '()т'(й)) действует на множестве разметок расщепленной алгебры Ли (й, «) просто транзитивно. Действительно, по теореме 2 5 4, и'4, группа Ап((0, «) транзнтивно действует на множестве разметок расщепленной полупростой алгебры Ли (0, «). Поэтому следствие 2 вытекает из следствия 1. Следствие 3. Пусть  — базис системы й. Группа Кете = [(Т ) просто транзитивно действует на множестве разметок расщепленной алгебры Ли (й, «) вида (В, (Х„), з). Это утверждение непосредственно следует из предложения 2. Пусть а ен В, Х, е:— 0", Х, ен й-" таковы, что [Х„Х,[ = = — Н,. Как было показано (5 2, и'2, теорема 2), при любом Ген й' ограничение на подалгебру Картана элементарного автоморфизма (Г) Аг1х«еаг 1 'х ьеы1ха совпадает с эндоморфизмом, сопряженным к эндоморфизму з„, Таким образом, е(0„(1)) =з„, и, следовательно, 0,(Г)0 ( — 1) ен ен Кег е.
Лемма 1. Пусть а е= )1 и 1е й". Пусть 1р — гомоморфизм группы 6(В) в й*, заданнь1й формулой А ~Г ( "1. Тогда 1'(1р)= = 0„(1) 0„(- !). Пусть р — представление алгебры Ли ь( (2, и) в алгебре Ли 0, ассоциированное с элементом Х„и и — представление группы ЬБ (2, и), согласованное с представлением р. Будем использовать обозначения 0 (1), и (1) из п'5 $1. Поскольку р(Н) = ай Н„то элементы пространства 0А имеют вес Х(Н,) гл, »»»! эьсшвплш»ныг полупгостыг ллгвггы лп 136 относительно представления р. Вследствие и' 2 $ 2 мы получаем, что О, (1) 0„( — 1) = и (О (1) 0 ( — 1)) = и (Ь (1)). Следовательно, ограничение на пространство 9" эндоморфизма О, (1) 0„( — 1) совпадает с гомотетией этого пространства с коэффициентом 1 1 «1 (Э 1, и'5, предложение 6), что и доказывает лемму. Н ) Пгвдложвнив 3.
Образ композиции гомоморфизмов Тр ~ Тд ~ Ап( (9 1>) содержится в группе Ап1,(6). Пусть  — базис системы корней Я. Тогда (Н„)„в — базис дуальной системы корней й»>, а дуальный к нему базис пространства 1>" будет базисом группы Р(Р). Поэтому группа Тг порождается гомоморфизмами Л» 1 (нь) (1 ен >ь", а~ В). Пусть ч! — ограничение на группу Я(рт) некоторого такого гомоморфизма. В лемме ! показано, что > (ф)енАп(,(9), откуда следует наше предложение.
Пусть >т — алгебраическое замыкание поля 1!. Отображение, которое каждому автоморфизму з алгебры Ли 6 ставит в соответствие автоморфизм з З 1 алгебры Ли 9 »3>ь й, является инъективныы гомоморфизмом группы Ап1(9) в группу Ап1(6 !3>ь>ь). Будем обозначать через Ап(,(9) нормальную подгруппу группы Ап((6), которая служит полным прообразом группы Ап(,(9 !6>ь »г) при этом гомоморфизме; это множество тех автоморфизмов алгебры Ли 6, которые становятся элементарными прп расширении основного поля >ь до >г.
Понятно, что группа Ап(ь(9) не зависит от выбора замыкания >г и Ап1,(6) с: Ам1,(9). Группы Ап1ь(6) и Ап(,(6) могут быть различными (э 13, и'1 (И!)). Пусть 1> — подалгебра Картава алгебры Ли 6. Положим Ан>» (6 1>) = Ап!» (9) () Ап( (6 1>)» Ан1о(9, Ы=Ан(о(9)ЙАп1(6, Ы. Лемма 2. Пусть 1> — раси(епляющая подалгебра Картава алгебры Ли 6 и зенАп(ь(9, Ы.
Предположим, что 1 не является собственным значением ограничения автолюрфизма з на ьяя Тогда е(з) =!. Расширяя поле и, можно предполагать, что э~Ап1,(1, 1>). Размерность нильпространства эндоморфнзма з — 1 не меньше, чем б)ш 1> (гл. »>11, $4, и'4, предложение 9). Следовательно, эндоморфизм (з — !)!1> нильпотентен.
Так как з11> енА(>т»>), то порядок эндоморфнзма з(1> конечен и, значит, этот эндомор- $ ь. лвтамОРФ!гамы палупРООТОЙ ллГББРы ли 1зт физм полупрост (гл. 3Г, дополнение, предложение 2). Поэтому (э — 1))(г =О; это доказывает, чта е(з) =1. Лемма 3. (1) Пусть пг=(Р(В):!г()т)). Если гр есть т-и степень элемента группы Тсе то ф~а(ТР).
(й) Если поле й алгебраически замкнуто, то у(ТР) =Т . Сугцествуют такой базис (3.„..., ьг) группы Р(гг) и такие целые числа пг) 1, ..., п,~~1, что (пгйг, ..., пгг.г) — базис группы Я(ггг). Тогда ггг=пг ... пй Пусть гРБпТО, и положим гр(пА) =го, гр(пгйг) =гг. Пусть тг — — Ц пг прн г'=1...,, !. гФ~ Если 3! — такой элемент группы Тр, что 1г(йг) =гг '„..., 3(().г) =- =г г,то Х(пгниг) =г',"г"г =г,. =(ф )(п.гг.), а следовательно, 1!! 1,г(В) =ф . Это доказывает утверждение (!). Если поле й алгебраически замкнута, то каждый элемент группы )г' является т-й степенью некоторого элемента из й", а значит, каждый элемент группы Та является т-й степенью некоторого элемента из Та, и утверждение (й) вытекает из утверждения (1).
ПРндложение 4. 'г(ТО)~Ац(ь(й, гг) и е '((р'()(г))=Ац(ь(й, (г), а) Пусть фе:— Та и й — алгебраическое замыкание поли гг. По лемме 3 гомоморфизм ф продолжается до элемента из пространства Нопг(Р ()!), й*). Вследствие предложения 3 ! (ф) гйг(~Ан1,(й !йгьй, ч ®ь )г). Значит, г'(ф)~Ап(ь(й, Гг) и Кеге с: Ап(ь(ф е). б) Образ группы Ап(,(й, 5) при гомоморфизме е содержит группу (Р'()г) (э 2, п'2, следствие теоремы 2). Учитывая а), мы видим, что е-'((Р'(В)) ~ Ап1ь(а, 3), в) Осталось доказать, что Апгр(й, 'й) ~ е '(У()г)). Учитывая б), достаточно доказать, что группа е(Ап1ь(11, 0)) П Ап(()(г, В), где  — базис системы корней )1, равна (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
