Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 55
Текст из файла (страница 55)
+1'гг+4(х), где ~п ..., 134+4 — инвариантные полиномиальные функции на алгебре Ли й. если х=~,нг+ ... +~,нгенз, то фУнкции 1;(х) Равны с точностью до знака элементарным симметрическим функциям от переменных ~п..., ',, — ~п ..., — $Р Такая симметрическая функция равна нулю, если ее степень нечетна, и Тмэ'+ 7' (х) Тгг-'+ 1 (х) Тг'-3+ ... + (Ы(х)т = =Т(Т' — Ц) ...
(Т' — Ц), так что функции 13(х), ..., 134(х) равны с точностью до знака элементарным симметрическим функциям от переменных егп ..., Ц и являются алгебранчески независимыми образующими алгебры 8(з*)4Р (гл. У1, $4, и'5(1Х)). Учитывая теорему 1(11) из З 8, п'3, мы видим, что )'~ =4'3 — — 4'3= ... =О и (13 14 . 134) — алгебраически независимое семейство, порождающее алгебру инвариантных полиномиальных функций на й. (У11) Поскольку единственный автоморфизм графа Дынкина — тождественное отображение, то Ап1(й) =АП1,(й).
Пусть Х вЂ” группа преобразований подобия пространства У относительно формы Чг. Для любого у~Е пусть у(п) — автоморфизм х ~дхд ' алгебры Ли й. Тогда ф — гомоморфизм группы Е в группу АП1(й). Покажем, что этот гомоморфнзм сюръективен. Пусть а~АП1(9)=АП13(й). По предложению 2 из з 7, п'1, существует такой элемент з ен 01. (У), что а (х) = =зхз-' для всех х~ й.
Таким образом, преобразование з переводит Ч' в билинейну.о форму Ч" на )г, тоже инвариантную относительно алгебры Ли й н, следовательно, пропорциональную форме Ч" (В 7, п'5, предложение 12). Это доказывает, что зенХ, Так как тождественное представление алгебры Ли 9 неприводимо, то его коммутант состоит из скаляров (з 6, и'1, предложение 1); значит, ядром гомоморфизма ег является Ф'.
Поэтому группа Ап((й) =АП13(й) отождествляется с группой Е/13*. Но, согласно п'5 из Ага., гл. 1Х, $6, группа Х совпадает с произведением групп 43' и $0 (Ч'); следовательно, группа Ап1(й) =Ап(„(й) отождествляется с $0(ЧГ). Пусть 04 (Ч') — приведенная ортогональная группа формы Ч' (Алг., гл. 1Х, $9, и'5). Так как группа 80(41г)/03~(ЧГ) коммутативна (Гем гхе), то группа АП1, (й) содержится в 03 (ЧГ) 254 ГЛ. ЮП.
РАСШЕПЛЕНПЫЕ ПОЛУПРОСГГЯЕ АЛГЕБРЫ Лн г 5 11, и'2, предложение 3). В действительности эти группы совпадают (упражнение 7). (Ъ'111) Каноническая билинейная форма Фа яа пространстве 9* задается формулой Ф ®~,+ ... +$,еп Б',~,+ ... +~,'~,)= —,(ьь'+ (ь ') (гл. АГ1, 5 4, п'5 (Ч)).
Изоморфизм пространства 9 на пространство ч', определяемый формой Фю переводит элемент Н, в (41 — 2).е;. Стало быть, обратной к Фл формой, т. е. ограничением на $ формы Киллинга, будет Ф(й,Н, + ... +й,НП й,'Н, + ... +~,'Н,) = =(41 — 2)($д,'+ ... +~д,). (1Х) Рассмотрим элементы Х, (а е= 1Г), определенные формулами (3). Легко проверить, что (Х„, Х „) = — Н„при аеи 14, С другой стороны, пусть М вЂ” матрица 1+ Е,, Так как М = = 8'М '3, то отображение 0: д — М-"дм — автоморфизм алгебры Ли й и 0(Х,)=Х „при всех а~)г.
Следовательно, (Х,) — система Шевалле расщеллеьной алгебра~ Ли (8, 9), Предположим, что а =44. Подалгебра Картана 0 содержит две дозволенные решетки: решетку Я(1ГУ), порожденную элементами Н, и решетку Р()7У), порожденную элементами Н,. и состоящую из тех диагональных матриц с целыми коэффициентами, которые содержатся в 5. Отсюда следует, что аз(21+ 1, Х) (множество матриц из алгебры Ли й с целыми коэффициентами) совпадает с порядком Шевалле Р(1ГУ)+ + ~, г,. Х, алгебры Ли й. Так как (Хь,,)'=2Е~Б ч н (ХА,,)~=0 и (ХА,.А, )а=0, то решетка У', порожденная базисом Витта / (е,), „— допустимая относительно оз(21+ 1, 2) решетка в пространстве У, Аналогично, допустимой решеткой в пространстве Д')' будет Д'У.
Рассмотрим теперь спинорное представление р алгебры Ли й в пространстве М=ДР'. Так как веса этого представления не отображают решетку РЯУ) в Х, то у него нет решетки, допустимой относительно Бз(21+ 1, Х). Однако решетка Л', порожденная каноническим базисом (е,, Л Л е, ) пространства )У' (для 1~с, ( ... < 1А =1), является допустимой решеткой относительно порядка Шсвалле У=Я(пУ)+ ~~' Е. Х„. а с а Действительно, ясно, что решетка Л устойчива относительно ч ы Р!с!псплягм!!!. хлгсьны ли клхсснчгско!О т!!и! 2вз внешнего умножения на е, и внутреннего умножения на е; (при 1(~!'(~1).
Формулы из (Ч) показывают также, что решетка 4' устойчива относительно р(2!). Так как, кроме того, о(Х,)2=0 при всех а~Я, то мы получаем, что решетка г(!' допусти и а. 8. Алгебра Ли типа С!(1~~1) (1) Пусть Ч" — невырожденная знакопсременная билинейная форма на векторном пространстве (т конечной размерности 21) 2. Множество эндоморфизмов х пространства У, для которых Ч'(хо, о')+ Ч" (о, хо') =0 при всех о, о'еа )т, — полупростая подалгебра алгебры Ли 91(Р) (гл. 1, $ 6, и'7, предложение 9). Она обозначается через Ьр(Ч') и называется сииплектической алгеброй Ли, ассог1иированной с формой Ч". Вследствие Алг., гл.
1Х, 5 4, п'2, пространство )т можно представить в виде прямой суммы двух максимальных вполне изотропных подпространств Е и Р', сопряженных относительно формы Ч'. Пусть (е!),,, — базис пространства Р, а (е !). сопряженный базис пространства Р'. Тогда (е„ ..., е„ е „ ..., е ,) — базис пространства (т. Мы будем называть такой базис базисом Витта (или симплектическим базисом) пространства 1/. Матрица формы Ч" относительно этого базиса — квадратная матрица порядка 21 вида где з — квадратная матрица порядка 1, все элементы которой равны нулю, за исключением расположенных на побочной диагонали элементов, равных 1 (см.
п'2 (1)). Алгебра Ли 9=ар(Ч") отождествляется с алгеброй Ли вр(21, й) таких квадратных матриц а порядка 21, что а= — 9 ''а,)= =3!аЗ (Алг., гл. 1Х, $ 1, и'1О, формулы (50)); они имеют вид ( с — ' А*) ' где А, В, С вЂ” такие матрицы порядка 1, что В=г'Вз н С= =з'Сг; иначе говоря, В и С вЂ” матрицы, симметричные относительно побочной диагонали.
Отсюда мы получаем, что а(ш 9 = Р + 2 2 —— 1 (21+ 1). гл. стсс, озсщвплщшыг полэпгостыг ~лггвгьс лн Пусть о — множество диагональных матриц алгебры Ли й. Это коммутативная подалгебра алгебры Ли й, базисом кото- рой будут элементы Н, = Е;; — Е, с при 1 а 1(1. Пусть (г)с мсяс — базис, сопРЯженный к (Н;). Дла 1 < с < 1<1 положим Хса =Е; —;, Х,„= — Е-;;, — 'ес Х,, =Е,,с — Е с, с Х-,, = — Ес,с+ Е-о —, с Хес+ес Е' с+ Ес Х,,, = — Е,; — Е с Легко проверить, что эти элементы образуют базис дополнительного к 11 подпространства в пространстве й и что если И~11, то (й, Х,) =а(И)Х, (7) для любого а гн Р, где )с — множество, образованное элементами ~ 2ес и ~ а; -~ ес (с' <1).
Из этого следУет, что подалгебРа Ли 5 совпадает со своим нормализатором в алгебре Ли й (и, следовательно, 5 — подалгебра Картана в й), подалгебра Ф расщепляющая, а корнями расщепленной алгебры Ли (й, 11) являются элементы из Р, Система корней )с расщепленной алгебры Ли (й, $) имеет тип Сс при 1 с2 и тип Ас (или, иначе говоря, тип С,) при 1 =1 (гл. Ч1, $4, и'6 (1) с учетом случая 1=1). Следовательно, й — проспи расщепляемая алгебра Ди типа Сь Каждая расщепляющая подалгебра Картана в й может быть получена из О с помощью элементарного автоморфизма, а следовательно, с помощью элемента из симплектической группы Бр(Чс) (см.
(711) и совпадает, таким образом, с множеством (с тех элементов алгебры Ли й, матрицы которых дссагональнй в некотором базисе Витта р. Непосредственно проверяется, что единственными устойчивыми относительно О подпространствами векторного пространства )с будут пространства, порожденные некоторым подмножеством базиса р. Ясно, что Фр(2, И) = сс( (2, И).
Кроме того, у алгебр Ли ор(4, И) и оз(6, И) одинаковые системы корней; следовательно, они изоморфны (см. упражнение 3), С этого лсо,кента лы предполагаем, что 1~)2. (11) Используя гл. сс1, $4, пп'6 (1) и 6(У), определим систему корней )сч. Мы получаем, что Н„=Н,, Н,, =Нс Ни Н„+,,— Нс+Н,. Е 13 РАСШЕПЛЯЕЫЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ КЛАССИЧЕСКОГО ТИПА Еб7 (П1) Положим а, =е~ — еж ..., а~ —, — — ер ~ — еи а,=2аи Ввиду е'1, 5 4, и' 6 (П), (аи ..., а,) — базис В системы корней (с. Положительными корнями относительно базиса В являются 2е; и е, ~е~ (1 < 1). Соответствующая подалгебра Бореля б — множество верхних треугольных матриц алгебры Ли й.
Пусть б — изотропный флаг пространства У (т. е. такой флаг, все элементы которого в вполне изотропные относительно формы Ч' надпространства) и «е — подалгебра, образованная теми элементами алгебры Ли й, относительно которых элементы флага б устойчивы. Рассуждая так же, как и в п'2 (П1), можно показать, что б «е — биективное отображение множества изотропных флагов (соотв. максимальных изотропных флагов) на множество параболических подалгебр (соотв. подалгебр Бореля) алгебры Ли й; включение «е:» «е имеет место тогда и только тогда, когда бс: б'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
