Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ко~да Ф (х, х) ~ О. Пусть «з = йх — подалгебра Картапа, порождепнан таким элементом. Дока. зать, что «з — расшепляюшая подалгебра тогда и только тогда, когда элемент 2Ф (х, х) является кзадраточ в поле й. б) Показать, что 8 — расщепляемая алгебра Ли чм 8 изоморфна 81(2, й). 2) Пусть М вЂ” расширение поля й конечной степени и ) 2.
а) Показать, что полупростая й-алгебра 61(2, М) исрасшспляема. б) Показать, что расщепляемая простая й-алгебра 61(п, й) содержит под- алгебру Картана «и которая не является расщепляющей. (Рассмотреть неко- торое вложение алгебры М в алгебру Ми (й) и положить «~ = М Пй((п, й).) 3) Пусть (й, «) — расщепленная полупростая алгебра Ли, )7 — ее система корней и К вЂ” ограничение на подалгебру «формы Киллинга алгебры Лн й. Тогда в обозначениях гл.
т71, ь 1, п'12, К= В ч н К=47()7) Ф ч, если я я система корней Я нспрпводнма: если, кроме того, все корни системы Й имеют одинаковую длину, то К (На На) = 4й при всех а ш )(, где 6 — число Кокстера группы йг()с). Если, например, 9 — алгебра Ли типа Ем Ег или Е,, то К (Нэ, Н„) равно 48, 72 или 120. 4) Пусть (8, «) — расщепленная полупростая алгебра Ли н (Х ) с . чейство элементов, удовлетворяющих условиям .тсммы 2. Если а, «ен )7 и если а+ [) нн Е, то определим числа д)яб по формулам [Ха Хб[ = Фп,бупьб, если а+ [) ~ )7, то положвм Фя б —— О.
Доказать следующие форчулы: а) Ма ч йгй,а б) 1(слп а, [), у ш )7 — такие корня, что а+ [) + у = О, то .уа б дфт "т.а (у, !) (а, а) («, «) ' 282 ГЛ СССС С'Ы П[ЕПЛЩСПЫЕ ПОЛУПРОЕТЫЕ АЛ!'ГГРЫ ЛИ Уз н) Вс,сп а, 6, у, д щ >г — такие корни, что а+ () + у+ б = О, в есгщ сулслса лсобьсх .псух к рпсй не равна нулсо, то Аи,вур.ь Ай.т>Уя,ь Ат,ащбь (у + б, у + б) Са + б, а + 6) (() + б, () + 6) , =О. б) Пусть (й, !>) — расщепленная полупростая алгебра Ли, и пусть (Ха)„я — селсе!сочно элементов, уловлетворяющнх условиям леммы 2.
Пусть  — базис спстщсы корней )6 Элементы Хо (а щ р) и Нн (а щ В) образуют базис нектарного грострапства й. Показать, что двскриминант формы Киплинга алгебры Ли 8 в этом базисе )Алг., гл. 1Х, э 2) — рапиовальпое число, пе зависящее от выбора подалгебры Картана Ь, базиса В и элементов Хв '). ля Вывестн отссода, что элемент из пространства у~ 9, и = 4!сп 8, определенный вне>пони произведением элементов Нв Са щ В) и Хв Са ен >с). не зависит, с точнсстс ю до анака. от ныборв подалсебры 1>, базиса В и элементов Хв, 6) Пусть (Хо) ~ я — система Шевалле расщепленной полупростой алгебры Ли (9, 1>) Пусть а, 0 щ л, и пусть р (саста.
с>) — яаибольшее целое число /, такое, что () + >аья и (соотв. 0 — >а св Ас), сч. лемму 4. Показать, что аб (Хв) (Хй — за) = ~6! Хб+сь >а при 0~ (й ~ (р+ с>, Вывести отсюда, что алгебра йв нз определения 8 устойчива относительно .Ь(х ) операторон ас)(Х„) с'й), а также относительно оператороа е в (см. й 12).
Т) Предположим, что й — упорядоченное поле. Пусть (9, (>) — расщепленная полупростая алгебра Лн ранга 1; положим д!сп 9 =1+ 2щ а) Показать, что форма Киплинга Ф алгебры Ли 8 — прямая сулсма двух форм; нейтральной формы ранга 2т и невырожденной положительно определенной формы ранга 1; а частности, ее индекс равен щ, б) Пусть ф — инволсотивпый автоморфизм алгебры Ли 9, ограничение которого па подалгеору Картава )> равно — 16. Показать, что форма (х, у)с — ь — Ф(х, ф(у)), х, ущ9, симметрическая, невырожденная и положительно определенная. н) Пусть й'с й(Л/а), где а — элемент <0 из й.
Обоз!>асс>э> через с иетрпвсньтьпый )с-автоморфнзм поля й'. Пусть 9 — й-надпространство в 8)ь.> = й' Э» 8, образованное такимн элементами у, что (1 8 йс) . у = (с (ф 1) . у. П:сказать, что П, сеть й-полалгебра Ли алгебры 9(Ь.> н что ннъектнпное отображение пз 9, н алгебру Лн 8 Ь > продолжаешься ло изоморфизма алщебры Лп й Зь йс па с)сь,>. Алгебра Ли йс полупроста и чга 0 — ее подалгебра Картава. г> Поксссать, сто форма Квллинга алгебры Ли 8, отрицательно опреде.
лена. Ьывсстн гтсксдз, что йг — нерасщепляемап алгебра Ли (за исключением случая й =-О>. д> В случае котла й = 0, показать, что группа !и! (8г) компактна, 8) а) Г1усть 9 — алгебра Лп и л — целое число ~>0. Пусть тв (9> — подмноскество пространства 8", образовапсюе семействами (хс, ..., хл), которые '> Подробное вычисление этого дискриминантв см. в работе: Врг!пйег Т. А.. 8!ЫпЬегйг !(..
Сснып *псу С!злзез (и'4.8). 8егп!пвг оп А!йеЬга!с Пгоцрз ассб 1(с1ассс! )с!сс!!е Сг.прз, !.сс!. )чо(ез !п б!абп 13! Врг!пйег-Чсг)зд, 1910. упрлжнения 233 порождают 9 как й-ачгебру. Поназать, что множество «„(й! откр~это и про. страистве 9" в топологии Зарнсского (гл. (ГП, дополнение П. Вели й' — расшиРепие полЯ й, то 2»(й,эп) ()й" =В»(9!. Вывести ото,ола, что РостРап.
ство й!э. может быть пороягдеио л элементами; это ке верно и от осптельио всей алгебры Ли 9. б! Пусть (Ф Ь) — расщепленная палупростая алг ебра Ли. Пусть к — такой элемент пространства Ь, что а (х) ~ 0 для любого корня а ы )г и а пс) че б (х) для любой пары различных корней а, Ь гж Р.
Лля любого и ~ Н пусть р» — ненулевой эчемент пространства 9» и у = ~ у». Показать, что для »гэ я побого корня а еа Н существует такой много ьчен Р» (Г) ев й (Т) без свободного члена, что у» = Р» (аб х) . у Вывести отсюда, что алгебра Ли 9 порождена множеством (х, у), в! Показать, что вследствие а) и б) любая полупростая алгеора Ли может быть порождена двумя элементами. $9) Пусть 6 — связияи вещественная коиечпопериэя ~ руопа Лп. Пусть Я вЂ” ее алгебра Ли.
и пусть (кп ..., х»! — и»рож опощгс семейство аысбры Лп Ч. Прп любом ~п~)0 обозна п~ч через Ги подгруппу ~!гуппи 6. поро,кдеппую элечептами ехр (2 '"х,), ! ~((~(п. Тогда ~иеют иге»то вк.тк~ ~ения Гэ с: Г, с .... а) Показать, что объединение групп Г» всоду плотно в группе С. б] Пусть Н„, — компонента сдпппш~ замыкания Г» грушгы Гпе Тогда имеют место включения Нэ ~ Н, ~: ...
и последовательность (Нж! стэбилизпруетсп. Пусть Н вЂ” объединение всех Ниь Показать, ~то группа Н норпазьна в 6 (заметить, что Н норпализ)ется весил подгруппами Гж) п что образ Г,„в 6(Н вЂ” дискретная подгруппа группы СН(. Так как объединение этих подгрупп всюду плотно в 6(Н, то вывесгп пз этого, что 6/Н пильпотептиа (см, гл. П1, упражнение 23 г!). а) Предположим, что й =.Уй. Показать, что 6 Н, т, е. группа Гэг всюду плотна в С для достаточно большого ш 10) Пусть 6 — связная полупростая вещественная группа Ли.
Показать, используя упражяения 8 н 9, что существует всюду пчотпая подгруппа группы 6, порожденная двумя элементами, 11) Пусть Н вЂ” система корней рапга 1 н Ф вЂ” соответствующая капония ческая билинейная форма (гл. И, з 1, п' !2). Ранг витрины Ф =(Ф )и, й!) ». бжя равен 1 и Ф'=Ф.
Вывести отсюда формулу ~ Ф (а. а) =ТгФ= — 1. »ыя !) Пусть à — подгруппа коне шого индекса и группе (4 (Р) и Р=Г() Й, Тогда алгебра Лп Ь+ 1) редуктнвна, и.тюбая редуктивиая пода,тгсбра алгебры Р Ли 9 получается такчм образом. (Использовать гл. (г(, $ 1, упражнение Об)). 2) Пусть Х вЂ” множество редуктивных п<щалгебр алгебры Ли Ф отличных от Ч и содержащих Ь. Найти максимальные элементы множества Х способом пз гл.
тУ(, $4, упражнение 4. Показать, что размерность центра такой макси. иальной подалгебры Лп равна 0 или 1 в зависимости от того, находимся ли мгя в условия а) яли б) указанного упражнения. 3! Пусть Ь вЂ” подалгебра Бореля алгебры Ли 9 и 1 гя (9]. Показать, что минимальное число образующих алгебры Ли Ь равно 1, если 1 ж 1, и 2 если 1=1, 284 Гл. Уп!. РАс1цепленмые полупРОстые АлГееРы ли зз 4) Предположим, что й = (( или С. Положим Б = — (п1(9) и отождествим алгебру Лн группы 6 с 9. (!усть 6 — подалгебра Бореля расщепленной алгебры Ли (9, «) и и — множество ее ннльпотентных ю>еь!ентов. ОГ>означим через Н, В и М интегральные полгруппы группы Ли б, алгебры Ли которых равны «, 0 и п соответственно. Показать, что Н, В, М вЂ” подгруппы Лп в О, !руина А' олносвизна и  — полупрлмое произведение групп Н и М.
5) Пусть щ — параболическая полалгебра полупростой алгебры Ли а. а) Пусть р — пода.чгебра Ли алгебры Ли и. Для того чтобы р была параболической подалгеброй ал>ебры Лн а необходимо и лостаточно, чтобы алгебра у!и р содержала радикал г алгебры Лл и> н чтобы алгебра Ли р/т была параболической подалгеброй в >и/г. б) Если >и' — параболическая лолалгсбра алгебры Ли а, то каждал подалгебра Картапа алгебры Ли ш П ш' являстсл подалгеброи Картава в а. (Свести к случа>о, когд໠— расщепляемая алгебра Ли н применить предложение 1О к подалгебрам Бореля, содер кащичся в >и и ш'.) 6) Две подалгебры Борелл полупростой алгебры Лп о называются противо»оложнммл, если их пересечение — подалгебра Картана. Показать, что если Ь вЂ” пода >гебра Бореля алгебры Ли а и» вЂ” подалгебра Картаиа в», то в а существует единственная подалгебра Борелл.
которал противоположна 6 и содержит «. (Свест~ к расщепляемому случаю,) 7) Пусть а — полупростал алгебра Лп, » — пода:лепра Картапа алгебры Ли а и й — полунростая подалгебра алгебры Ли а содержащая подалгебру Картапа «. Показать. что (а «) — расщепленнал алгебра Лн ч=ь (Ф, «] — расщепленная а.чгебра Ли.- Построить пример, когда алгебра Лн а расщепляема, а алгебра Ли й — нет. (Взлть а = бр(4, й), 6= 61(2, й ), где й' — квадратичное расширение поля й.) 8) Выберем базис системы корней )1 и определим множество положи. тельных корней )(+. Предположим, что система А' кепрнводнма.
Пусть а — наибольший корен!и 5 — множество корней, ортогональных корню а, и 5+ = 5 () )1+. а) Пусть 5У» ~, », ~ 9 — » » ю5+»аз+ Тогда и' — полупростая алгебра Лн п 9' » (-"С> ш+ ~3п! б) Положим и+= ~„9, Р= ~ 9". Г = ~ 9 ° аюн+»юй+ — 5+»юяь — 5+-(а) Тогда и+ =и!е Яр, (>и+, р,) срь [и+, йа) О. В частности, алгебра Лп р — идеал в алгебре Лн ию в) Для любого корня а щ )14 — 5+ — (а1 существует единственный корень а' щ А+ — 51. — (а1, такой, что а+ а' а. Для любого корня а >и В+в — 5+ — (а) можно выбрать такой ненулевой злемент Х„из пространства 9», что [Х, Х„.[ = ~ Ха, если а >и Я вЂ” 5 — (а1, (Хю Хб)=О, если а, ()>ы)(+ — 5+, () ~а''). ') Это упражнение нам сообщил Жозеф (5озер(> А.). УПРАЖНЕНИЯ 285 9) Построить примеры таких полупростых алгебр Ли а, что а) у алгебры Ли и нет подалгебры Бореля," б) у алгебры Ли а есть подалгебра Бореля, но а — иерасщепляеная алгебра Ли.
г(( 10) Г!угть Π— полупростая алгебра Ли и х — ее элемент. Скажем, что х приводится к диагональному виуу, если эидонорфизч аб х приводится к диагоиалыюму виду (Ахэ., гл. Ч!!), т, е, если существует базис алгебры Ли а, образованный собственными векторами эндоморфизма аб х. а) Пусть с — конмутатнвпая подалгебра алгебры Ли О, образованная элементами, которые приаодятсн к диагональному виду, и пусть Š— многкество весов алгебры Ли с в представлеини абя. Множество 1. — конечное подмаожество н с".
годер кащее 0 (за исключением слугая а =О), н а = ~~.~ а (с). Показать, что существует такое подмпогкество й( множества Е, А ~ 1. что множество Š— (О) — иесвнзное объединение множеств М и — М н что (М+ М) ПЕ ш М. Если множество М обладает этими свойствами, то поло>ким а = гтч о'(с) и р =а (с)гШ)а Агггебра Ли а (с) — централизатор м 'г' г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
