Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 63
Текст из файла (страница 63)
г) (1) равен А(т)=(т — 1)' И (т — 1ппп). эюд Характсристнчсскнй многочлен авточорфнзма з нз п. д] равен В(Т)-(Тэ — !)' Д(Т вЂ” ~ !) (щ — показатели спстечы /7), (Воспользоваться предлозкеняем ЗЗ (нЛ нэ гл. Ъ'1. й 1, п' 11.) Вывести пз соотношения А (Т) = В (Т), что при всех / ) 1 число такнх /, что т .
) /', ! равно числу такнх корней п~//+, что а(Н]=/; так мы получаем другим путем результат упражнення 6 в] нз гл Ч1, 4 4 '). 6] Предположнм, что й = Р нлн С. Пусть 6 — группа Ли Ан!э (9] Показать что элемент а щ 0 регулярен 1в смысле гл. ЧП, 6 4, п'2) тогда и только тогда, когда он удовлетворяет условиям упражнения 6 а). 7] Предпологким, что алгебра Лн 8 расгцепляена. Пусть В (8) — кано. ннчссннй базис каоонячсской падалгебры Картзнэ в алгебре Лн й (п' 3, эалгечанпе 2], Если з щ Дн((9), то авточорфизм з индупнрует перестаповну на множестве В(9).
Обозначнм через зйп(з) знак этой перестаяовкп. Пока. зать, что автоморфнзм з действует на пространстве дч 9 (где и = б(гп 9) по формуле х ь — ъ' эяп (3), х. $8) Пусть й — алгебраическое замыкание поля й н 9 =Й® 9. Группа Галуа Сга((й/й) естественным образом действует на алгебре Лн 9 и на каноннческой подалгебре алгебры Ли 9 (п'3, аамечанне 2). а также на системе корней г( и ее каноннческом базисе В.
Таким образом, мы получаем непрерывный гомоморфизм (т. е. гомоморфнзм, ядро которого открыто) и: Сга1(й/й) -э Ап! (/7. В). Показать, что алгебра Лн 9 является рас!непленпой тогда н только тогда, когда выполнены следующие два условия. (1) Гомочорфнзм и трнннален, (!1) В алгебре Ли 9 солержптся подалгебрэ Бореля Ь. (Надо показать, ~то подалгебра Картана ф, содержащаяся в алгебре Лн 6, является расщепляющей тогда н только тогда, когда гомоморфизм п тривиален.) 9) Пусть /7 — приведенная свстема корней,  — базнс системы /7 и (йэ, ()з, В,(Хо) в) — соответствующая размеченная полупростая алгебра Ли (3 4).
Пусть й — алгебраическое замыкание поля й н р: Сга)(й/й)-ьдп((/7 В)— ') Подробности относительно этого упражнення см. в статье: Коз!ап! В., Т(зе рг1пс!ра! !!згее.б!щепа!опа! зп]эпгоор эпб !Вс Ве!И пнщйегз о1 а сощр1ех зипр1с 1Ле пгоцр, А пег. /. о/ Мп//ь, ТХХХ! (1959), 973 — 1032 ~/э]О вгвс .
296 !Л. УП1. РАСШЕПЛЕППЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ лм Фз непрерывный гомоморфизм (см, упражнение 8). Ести и ам Са! (йlй), то обозначим через р такой й-линейный автоморфизм алгебры Т!н й = й ® й, что а р (Х ) = Хр( ! . Естественным образом продолжим лействие группы Са! (й/й) а а на й до действия на йа. Пусть 8 — подмножество в йа. образованное такими элементами х, что р (х) и-' . х при всех и щ Са! (Йг2). а) Показать, что й есть й-подалгебра Ли алгебры Лн 8, и что ииъектив. пое отображение алгебры Ли 9 в алгебру Ли 8, продолжается до изоморфизма алгебр Ли й 8 6 н 9, В частности, алгебра у!и й полупроста.
б) Пусть Ьа — подалгебра Ли в йа, порожденная ()а и элементами Хге Положим Ь =й8 Ь Ь=6ПЬ, ф„йэ„!), () 6П() . Показать, что йф Ь =Ьо, й 8 () ()с, так что Ь вЂ” подалгебра Бореля алге. бры Ли й и () — подалгебра Картана. в) Показать, что гомоморфизм и, ассоциированный с алгеброй Ли 9 (см. Упражнение 8), совпадает с гомоморфизмом р. $10) Пусть !) — Расщепляющая подалгебра Кзртана в алгебре Ли 9 и (Хп)чмн — система Шевалле расщепленной алгебры Ли (9, !)), см.
й 2, П'4. ЕСЛИ а Щ аг, тО ПОЛОЖИМ азХ„азХ а аЕХо ба =а ае -ае о и обозначим через йг подгруппу группы Ап1а(9, ()), порождеипу!о элементами йа. а) Показать, что е ()Р) = !г" (Й). б) Пусть з ам (Уг, и пусть ш з (з). Показать. что з(Х )=~Х 1„1 при всех пщЙ.
(Воспользоваться упражнением б из 9 2.) в) Пусть М вЂ” ядро гомоморфизма з: 17-и (Р'(Р). Показать, что М содержится в подгруппе группы ((Т, ), образованной такими злемеитамн ! (ф), что гр' 1. Показать, что М содержит элементы ! (!р ), определенные ранена' ствамн ф (()) = ( — 1) Б' о ) (заметить, что 8„= )(ф )). г) "Пусть ф ам Нощ (С), (~1)). Показать, что элемент ( (ф) прияадлежит М тогда и только тогда, когда ф продолжается до гомоморфизма группы Р в группу (~1).
(Из достаточности следует, что М содержит элементы )(гр ). Чтобы доказать необходимость, надо свести к случаю й 0 и воспользоваться тем, что М содержится в((ТЧ)ПАн(,(9) 1ш(ТР), см.йу, Упражне. ние 26 г).) Вывести отс1ола, что М изоморфен двойственной гРуппе группы ФЯП2)з) '). 11) В обозначениях из п'2 прсдпочожим, что й — локально компактное иедискретное ультраметрическое поле, и, следовательно, оно изоморфио 1(, С нли конечному расширению поля 4)р (Комм.
алг., гл. Ъ'1, $9 и 8) При всех и ~ь) факторгруппа й"/йаа конечна (см. Колл. алг., гл. аг), з 9, ') Подробности относительно этого упражнения см. в статье: Т11з Л, Могши(!за(спгз бе 1огез, 1, Сгопрез бе Сохе1ег й!епбпз, А о! А(дейта, 11Т(1966), 96 — 116. 291 УПРАЖНЕНИЯ упражнение 3, для ультраметрического случая]. Вывести отсюда, что фактор- гРУппы Т 11т (Тн) и Аи! (3)/Ли(„(Я) конечны. Когда й ]1, показать, что Т )1т ТР изоморфна дуальному пространству к векторному ' пространству [Щ 2РТ 2О над полем Гз. Когда й = С, то Тй=!гп(Тр); это интегральная подгруппа в группе Лп Ли1(й), алгебра Ли которой равна «.
]) 12) Пусть « — расщепляющая подалгебра Картана алгебоы Ли А — подмножество в «и з щ Аи! (3) — такой автоморфизм, что зА А. Доказать существование такого автоморфизча ( гн Аи1(я, «), что 1( А = з ( А и !з-' ен Аи!з(й), (Пусть о — цептрализатор множества А в алгебре Ли й; это редуктивная подалгебра в й, в которой з«и « — расщепляющие подалгебры Картапа. Вывести отсюда сущестноваппе такого автоморфнзма и ~Аи1, (о], что нз« = «. Показать, что существует авточорфизм о си Ли(, (3), который продолжает автоморфизм и и о(А (б . Положить 1= оз.) Вывести л' отсюла, что если з щ Аи1,(й), то существует такой элемент ю гы (Р(]1). что ю(А з)А. $13] Пусть (й, «, В, (Ха) и) — размеченная полупростая алгебра Ли, ]1 — системз корней расщепленной алгебры Ли (й, «), Ь вЂ” соответствующий граф Дыпкипа и Ф вЂ” подгруппа группы Аи1(]1, В] = Аи((А).
Если з щ Ф, то продолжим з до автоморфизма алгебры Лн й по формулам з(Хо) = Хзо н з(На) =Нзо при всех ащ В, ср. предложение 1. Отождествим таким образом группу Ф с подгруппой группы Аи1(й, «) Обозначим через й (соотв. «) подалгебру Ли алгебры Ли й (соотв. алгебры Лн «), образованную инварнантными относнтельяо Ф элементами. а) Пусть аенВ, н пусть Х Ф.а. Показать воспользовавшись табли- цами из гл. Л(1, что возможны только следующие два случая: (1) все элементы из Х, отличные от а. ортоговальны ему; (Н) существует и притом только один элемент из множества Х вЂ” (а), который не ортогонален корто а и п(а, а'] = о (а, а) — 1.
б) Пусть ! — отображение ограничения «*-ь «' и пусть В = г(В). Ото- браженне В -ь В отождествляет В и В]Ф. Показать, что й — полупростзя алгебра Ли, что « — расщеплиющая подалгебра Картанз и что  — базис системы парней ]1(й, «).
(Заметим, что В содержится в системе корней ]1(й, «) н что все элементы из В(й, «) инляются линейными комбинациями с целыми коэффициентами одного знака элементов из В.) Если а щ В, то соответствующий дуальиый корень Н» ен «задается формулами Н»= х~~~ На в случае (1) нз а), ((о] о Н» 2 ~ Но в случае (!!) из а), ! ~о]-» где суммирование проводится по такам элементам агы В, что ('(а) а. Если образом элемента (] ен В является (]гж В, то и((], а) Х и((], а) в случае (!), ( (о]-» п(р, а) 2 ~ п((], а) в случае (И). ((о) н (/з10э 292 ГЛ УП1. РАОШЕПЛШ1ЫЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ув Вывести отсюда определение графа Дынкипа системы корвей )г(й, ()), независимое от пары (Л, Ф). в) Показать, что если алгебра Ли 3 проста, то алгебра Ли 3 тоже проста, Если 3 — алгебра Ли типа А1, 1) 2, и порядок группы Ф равен 2, то й — алгебра Ли типа Вггт, если ! — четное число, и типа С11+1нз если ! — не.
четное число. Если й — алгебра Ли типа 01, 1 ) 4, и порядок группы Ф равен 2, то й — алгебра Ли типа В1-1, Если 6 — алгебра Ли типа 01 и порядок группы Ф равен 3 или 6, то 3 — алгебра Ли типа Оз Если й — алгебра Ли типа Ез и порядок группы Ф равен 2, то й — алгебра Ли типа Рь 1) Показать, что можно определить модуль 7 (Х) как факторпредставлеиие представления рь из упражнения 1 из 3 4. 2) Пусть р — вес модуля Я (Л) (соотв. модуля Е ()С)) Показать что существует такая последовательность весов ра, ..., ра модуля 7(Х) (соотв.
модул Е()С]), что р =Х, р„=р и р, — р, се В при ! ~)ч~п 3) Предположим, что алгебра Ли 6 проста, и обозначим через а наибольший корень системы )1. Тогда модуль Е (а) изоморфек р относительно присоединенного представлении. Если С вЂ” элемент Казимира, ассоциирован. иый с формой Киплинга иа 6, то образ элемента С в ЕпбЕ(п) равен тождественному эндоморфизму (см.
гл 1, $3, п'7, предложение 12). Вывести отсюда, учитывая следствие предложения 7, что Ф (и, а+2р) 1, где Фя — каноническая билинейная форма на пространстве 1)* (гл. Ч1, в 1, п" 12) 4) Воспользуемся обозначениями из п'4. а) Пусть лг гм Ы Рассмотрим иа Ым упорядочение, заданное произведением упорядочений. Показать, что для каждого подмножества 5 из Р(м множество минимальных элементов в 5 конечно. б) Пусть аь ..., ам — попарно различные элементы из системы Я, Х,~ 3 -(О), 5 — множество таких ненулевых последовательностей(р,.)~ ас се Р(м, что У р.а.
=О, и М вЂ” множество минимальных элементов из 3. 1 1 Тогда !) и элементы Х, ' ... Ха~, где (р1, ..., р )снМ, порождают алгебру Уа. Р~ Гт в) Показать, что алгебра 0' нйтерова слева и справа. (Снабдить У' фильтрацией, нндуцироваиной фильтрацией алгебры У (й), н показвть, воспользопавшись а) и б), что Ег 0' — коммутативиая алгебра конечного типа.) г) Показать, что при любом Л см ()* У вЂ” левый (соотв правый) 0 -мо. пуль конечного типа. д) Пусть )г — простой й-модуль, такой, что )г Я )гь. Если одно 1 м)а нз пространств 1'А не равно О и имеет конечную размерность, то все пространства )гь коиечиомериы (Воспользоваться г).) б) Показать, что если ч=3((2, й), то модули 2(Х) этого параграфа изоморфны лгодулям 3 (Х) из э 1, упражнение 2.
293 УПРАЖНЕНИЯ 5 7 Все рассматриваемые в этом параграфе (кроме упражнений 14 и 15) О-модули предполагаются конечномерными. 1) Пусть ы ам Р++, обозначим через 5 (е) множество весов модуля Е (ы), иначе говоря, наименьшее )2-насыщенное подмножество множества Р, солержашее ы (предложение 5). Если Л ам 3(в), то Лем ю(шод О) Обратно, пусть Л 1м Р— такой вес, что Л=ы(щод О). Доказать эквивалентность следующих свойств: (1) Л 5(ы): (И) ы — шЛ щ 12 при всех ш щ йу; + (!И) вес Л принадлежит выпуклой оболочке множества йу. ы в пространстве ()д. (Для доказательства импликацнн (!!!) а-(!!) нужно заметить, что вес ы — ше является линейной комбинацией с коэффициентами )О элементов из Ее, отсюда нужно вывести.
что в силу выпуклости вес оу — юЛ тоже является линейной комбинацией с коэффициентами ~ )О элементов нз Е+, а так как в — юЛ принадле.кит О, то ы — юЛ щ О Для доказательства + нмпликации (1П =» (!) нужно выбрать такой элемент к, что ыЛ кп Рт+, н применить следствие 2 предложения 3. Импликация (!) ~. (П!) получается непосредственно.) 2) Пусть (Р1)1 1 — множество неприводимых подсистем системы корней Р н 2 = Ц 9, — соответствующее разложение алгебры Ли 2 в произГы1 ведение простых алгебр Ли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
