Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Вывести отсюда, что если граф Дынкина системы корней Я имеет нетривиальный автоморфизм, то существует инвариантная полиномизльная функция на алгебре Ли й, которая не инвариантна относительно группы Ап((й). 2) Положим й = 61 (3, х). Показать, что х»-» бе! (х) — иивариантная полиномиальная функция иа й, которая ие инвариантна относительно группы Ан! (3) (воспользоваться автоморфизмом х >-» — 'х). 3) Пусть в — полупростая алгебра Ли и з си Ап((а). Показать, что еле.
дующие утверждения эквивалеятны: (!) з я Ап!о(о). (П) Автоморфизм з действует тривиально на центре универсальной обер. тывающей алгебры !! (а). (й !) Для любого х я а существует такой ! гм Ац(, (о), что !х = зх. (Воспользоваться предложением 6, чтобы показать, что (В!) *а-(!).) 4) Показать, что в следствии 2 предложения 2 и в теореме 1(П) можно ограничиться представлениями р, веса которых — радикальные веса (заметить, гго предложение 1 остается справедливым, если кольцо л [Р]~ заменить кольцом й [Я , где Я вЂ” группа радикальных весов).
вг б) Воспользуемся обозначениями нз э 6, 7. Пусть Л ~ ()*. Ясли (Л+ р)— — м (Х+ р) Ф Я „для любого м си йх, м ~ 1, то модуль 2 (Ц прост. (Воспользоваться следствием 1 (В) из теоремы 2). 6) Пусть а — алгебра Ли, [ — полиномиальиая функция на а, а х, р — элементы из алгебры Ли о. Положим [и 6'(у) [ (см. и'3] и обозначим через Щ линейное отображение, касателыюе к отображению [ в точке х (гл.
ЧП, дополнение 1, п'2), Показать, что [з(х) (0х[)([х, у]). Вывести отсюда, что когда [ — ннвариаитная функция, то отображение Вл[ обращается на пространстве 1щад(х) в нуль. УПРАЖНЕНИЯ 305 7) 'Пусть бь ..., б! — характеристические степени алгебрьг 7(8), см. гл.
Ч, з 6, п' 1. Для любого целого числа л ) 0 обозначим через г„ число элементов степени л некоторого однородного базиса модуля В (ч) над 7(8) (см. п'3, замечание 2) н положим г(Т) г» г»Т». Показать, что » о г г г(Т) =(! — Т) ~ П (! — Т ') где М б)щ 9., ! ! 8) Положим (=гп(8), Ур 6(щ(8). Еслн хщ 8, то определим а (х), 0 «' < М, по формуле бе((Т+ аб х) ~ Т~ а, (х). о Таким образолг определенная функция а~ является однородной полнномиальной функцией степени ! н ннзарнантна относительно группы Ап1(8). Еслн хем () н 1~ Аг — 1 то а! (х) есть Ня элементарная симметрическая функция от а(х), х щ)!.
В частности, а, (х)= Ц п(х). Построить пример, когда амя функпик а,. не порождают алгебру полиномиальных функций на алгебре Лн 8, ннэарнантных относительно группы Ап1 (9). 9) Обозначения те же, что н в п'6. Пусть Хщ()*, хемЕ, з' — образ элемента х под действием главного антиавтоморфнзма алгебры (Г(8) и ю, ев 1р — элемент, который переводит В в — В.
Показать, что )( (х) ь -Х,(М (х'). (Достаточно доказать утверждение прн А ев Р ьь. Затем надо рассмотреть действие элемента х на модулях Е(л) н Е(А)' н воспользоваться предложе. пнем 11 нз 5 7.) 10) (В этом упражнения, как и в трех последующих, мы воспользуеь~ся обозначениями нз з 6.) Пусть Х ги 6*.
а) пусты Аг, )у' — такие 9-подмодулн модуля е(х), что У' <= Ф к что фактормодуль А)/А(' прост. Показать, что существует такой вес рси А — 1~, что фактормодуль А(/»1' нзоморфек модулю Е (р) (прнменнть теорему! вз 6 6) к что р+ р ем )Р. (Х+ р) (применять следствие 1 из теоремы 2).
б) Показать, что модуль Е (Х) разлагается в ряд ))харлана — Гбльдера. (Применять утверждение а) н использовать тот факт, что веса модуля Е (Х) имеют конечную кратность.) 11) Пусть А щ ()' н )г — ненулевой 8-подмодуль модуля Е (А). Показать, что существует такой элемент р <и 1)', что модуль г' содержит простой 8-подмодуль, нзоморфный Е(р). (Пусть А — множество таких элементов ч ез ))', что модуль г" содержит й-подмодуль, нзоморфный Е(ч). Воспользовавшись предложением 6 нз й 6, надо показать сначала, что А Ф Я. Затем показать, что множество А конечно, н рассмотреть такой элемент р множества А, что (р — гс )ПА=(р1.) $12) а) Пусть Л, р щ ()". Любой ненулевой 8-гомоморфнэм ь1одуля Е(р) в люлуль Е(Х) нньективен. (Воспользоваться предложением 6 нз 6 6.) б) Пусть ген М, А — конечное подмножество в Мг.
т Сага(А), для любого $ги М' пусть з(ь) — сумма координат вектора я н фл($) — число таких наборов (л„)с л неотрицательных целых чнсел, что й ~ л а. пыл Тогда ч) (ь) ч~ (з (э) + 1)~ для всея в щ М'. Доказать нндукцней по и.) А 306 ГЛ. ЩП. РАОШЕПЛЕГ>НЫЕ ПОЛУПРООТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ зз з) Пусть Л, р гн (!". Показать, что РИш Нош (2 (р), д (Л)) ~ 1.
(Пусть ф! и фз — отличные от нуля й-гомоморфизмы нз модуля 2(р) в модуль Я(Л), Если 1ш (ф>) = 1пт !ф>), то ввиду предложения 1 (>и> нз $ 6 гомоморфизмы ф, и фз линейно зависимы. Предположим, что (ш (ф>) ~ 1ш (фт). Если модуль 2(р) прост, то сумма 1ш (ф>) +!пт (фз) прямая. Вывести отсюда, что Р (е+ Л вЂ” р) э ~2ч>(в) для любых Е ш 3*, откуда следует противоречие с утверждением б). В общем случае воспользоватьси упражнением 11.) Когда сВгп Нош (2 (р), 2 (Л)) = 1.
мы, допуская вольность в обозначениях, пишем 2 (р) с Я(Л). г) Пусть т щ ()'. Множество таких Л >ы ()', что 2(Л вЂ” ч) с 2 (Л), замкнуто в пространстве ()" з топологии Зарисского. 'Ц 13) а) Пусть а — нильпотентиая алгебра Ли, х гн а, и щ 3(, р вне.
Тогда существует такое число ! ш х, что хгу, ... уя ее 11 (а)хл для любых Уь ..., У„ЕЕ а. б) Пусть Л, р щ !)' и а ев  — такие элементы, что 2 (зар — р) с 2 (р — р) с 2 (Л вЂ” р). Предположим, что Л см Р. Пусть р= Л(На) см 2. Показать, что б>) если р ~0, то 2 (Л вЂ” р) с 2 (з Л вЂ” р); б,) если р ) О, то 2 (зар — р) с 2 (ззЛ вЂ” р) с 2 (Л вЂ” Р). (Воспользоваться утверждением а) и следствием 1 предложении б 6 6.) в) Пусть Л гн ()', а ее )(+ н ш= Л(Н„).
Предположим, что и ев Х. Показать, что 2(заЛ вЂ” р) с2(Л вЂ” р). (Доказать сначала зто утверждение для Л ш Р, пользуясь утверждением б); затем доказать общий случай с использованием упражнения 12г).').) !4) *Пусть а — полупростая алгебра Ли, 2(а) — центр алгебры с>'(а). Показать, что (>'(а) — свободный 2 (а)-модуль. (Заметить, что алгебра ег 1>'(а) изоморфна алгебрам 8(а) н 8(а") и воспользоваться замечаняен 2 из и'3.), $ !5) Пусть х — приводящийся к диагональному виду элемент алгебры Ли 3 (э 3, упражнение !0), а у — такой полупростой элемент этой алгебры Ли, что )(х) =1(у) для любой ннвариантной полиномиальной функции 1 на 3.
Показать, что существует такой автоморфизм з ен Ап(, (3), что зу х. (Заметить, что у эндоморфизмов аб х и аб у одинаковые характеристические много- члены, см. упражнение 3, откуда следует, что элемент у приводится к диагональному виду. Благодаря упражнению 10 нз 2 3 мы можем перейти к случаю, когла элементы х и у содержатся в подалгебре Картана !), и воспользоваться теоремой 1(!) и леммой 6 для доказательства того, что элементы х и у сопряжены относительно группы Вейля 2>.) 16) Пусть а — полупростая алгебра Ли, х — элемент из а и хз — полу- простая составляющая элемента х. Показать, что если 1 — ипвариантная полиномиальная функция на алгебре Ли а, то ((х) 1(хз). (Свести к случаю, когда функция ! имеет внд х > — ~Тг р(х)".) ') Подробности относительно упражнений 10-13 см. в статье: Берн- штейн И.
Й., Гельфанд И. М., Гельфанд С. И., Структура представлений, порожденных вектором старшего веса, Фучкч, анализ., 5, вып. ! (1971), стр. 1-9. В втой работе доказано также, что если Л, Л' ен ()' — такие веса, что 2(Л вЂ” р) с 2(Л' — р), то существуют такие у>, ..., у„щ Р ы что Л =з, ... з, з, Л' и й ... з, Л ) >Нт ) щ Р( яри 0~(1~я. Отсюда получается, что модуль 2 (Л вЂ” р) прост тогда и только тогда, когда Л(На) см 1Ч* Ери всех аж )1+, упплжнпния 307 17) Предположим, что поле й алгебраичес«и замкнуто, и положим 6 = Ап! (Ч).
Пусть х, у ьи 6. Доказать э«вивалентность слелующих условий: (!) Полупростые компоненты элементов х и у О.сопряжеиьь (д) Для каждой иивариантиой полиномиальиой функции ! иа 2 имеет место равенство ) (х) = Г(у). (Воспользоваться упражнениями 15 и 16.) 18) Пусть а — полупростая алгебра Ли,! гй(о), à — алгебра инвариаигных полииомнальных функций на а н Рь ..., Р, — одноролные элементы из Г, которые порождают алгебру Г. Функции Рг определяют полниомнальиое отображение Р: а -ь й . Если х гп а, то обозначим через 7)хР: а -ь й линейное отображение, касательное к отображению Р в точке х (гл.
ЧП дополнение 1, и'2). а) Пусть Г) — полалгебра Картаиа алгебры Ли а и х щ Г). Доказать эквивалентность следующих условий: (!) отображение 0„Р!)) — изоморфизм пространства !) иа йг; Г!) элемент х регулярен. Свести к расщепленному случаю.
Выбрать базис в пространстве Г) и обозначить через г( (х) детерминант матрицы, соответствующей в этом базисе отображению Г)хР! 5. Показать с помощью предложения 5 из гл. Ч, $5, и'4, что существует такой элемент с гы й*, для которого г((х)' с Г2 а(х), где и амд пробегает множество корней ГГ расщепленной алгебры Ли (а, Г)).) Если этя условия выполнены, топ Г)®)щаб(х) и КегРхР=Гщад(х) (воспользоваться упражнением 6, чтобы показать, что иа пространстве 1щ аб (х) отображение 7)хР обращается в нуль).
б) Показать, что множество элементов хаев, таких, что ранг отображения ВхР равен 1, открыто и всюду плотно в а в топологии Зарисского. Все рассматриваемые 8-модули предполагаются конечномерными. 1) Если пг-целое число )О, то д!щ Е(тр) =(пг+1), где гу Сагб()Г ). 2) Показать, что существует, н притом только одна, такая полипомиаль- ная функция г( на пространстве Г)', что Н (Х) = гВщ Е ()ь) для любого А си Ре+ Степень этой функции равна Сагб()Г ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
