Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Еслн Р— конечномерный левый У-модуль, то линейное отображение /: Е-ь Р является У-гомоморфнзмом тогда н только тогда, когда зто У-гомоморфнзм. Еслн вен Е, Ь !м Е', то линейная форма Оа,э: х ! — Р(ха, Ь) прннадлежнт У' н (х Оа,ь)=(ха, Ь) при всех хщО, МНРАЖННННЯ Линейные формы В,ь (при различных Е, а, Ь) порождают векторное пространство У' над Ь. в) Пусть Х -множество классов изоморфиых конечномерных левых и У-модулей. Для любого ЕщХО пусть и есть Ь-линейный эидоморфизм модуля Е. Предположим, что (~ия=ияо( для любого (гмНошц(Е, Р) и Е, РщХсг Показать, что существует, н притом только один, такой элемент х щ К что хд — — и дла любого ЕсЯХ .
(Свести к слУчаю, когда У вЂ” конечно- и мерная алгебра.) $25) Пусть а — алгебра Ли и У вЂ” ее обертывающая алгебра. Применим определения и результаты упражнении 24 к алгебре К В частности, мы получаем, что 0' ~= У' и дуальное к 0'пространство отождествлиется с алгеброй 0 йш У/тн; каноническое отображение У -» У инъективно (гл. 1, э 7, упражнение 3). а) Структура коалгебры на У (гл. П, $ 1, п'4) определяет некоторую струнтуру алгебры на дуэльном пространстве У' (см.
гл. П, э 1, и'5, предложение 1О, а также А!д., с)!ар. П1, э 2, п'!О). Доказать, что если Е, Р— конечномерные а-модули, то В .В,, В„, ь и при ащЕ, ЬщЕ', е~вР, йшР'. Вывести отсюда, что У' — подалгебра алгебры У'. Наличие структур алгебры и коалгебры иа У' делает 0 коммутативной биалгеброй (А!й., с)чар. П1, э 11, п'4). б) Пусть х — элемент из У; отождествим х с линейной формой У'-»Ь. Показать эквивалентность следующих условий: (1) х — гомоморфизм алгебры 0' в поле й. (Н) хяня хиба хе для любых коиечномерных а-модулей Е и Р.
(Показать сначала, что условие (!Ц эквивалентно условию (!Г) х(Вене, ьна) х(В„Ь) х(Ве и), где асяЕ, ЬгнЕ', сшР, йенР', н использовать то, что Ве,ь порождают У'.) в) Пусть х — элемент алгебры !1, удовлетворяющий условиям (!) и (!!) утверждении,б). Показать эквивалентность следующих условий: (ЬП) х переводит 1 алгебры У' в единицу поля Ь.
(1ч) х чь О. (ч) Если снабдить поле й структурой тривиального а-модуля, то х ВЬ (ч!) Для любого а-модуля Е зндоморфиэм х обратим. (Эквивалентность (!!!) ч= (!ч) следует нэ того, что х — гомоморфнэм алгебр. Однако хь — — Л 14, где Л <л Ь. Воспользовавшись а.изоморфизмом ЬЭЕ-»Е, мы получаем. что Лх х для любого модуля Е, и, в част. ности, полагая Е=Ф, получаем, что Лз Л. Случай Л=! соответствует х ~ О, откуда следуют эквивалентность (!ч) ч»(г) и импликация (ч!) ~ (ч). Для доказательства нмпликации (ч): (ч!) надо показать, что если Р— дуальный к Е модуль, то 'хяьхя Л14,) г) Пусть 0 — множество злементов из О, удовлетворяющих приведенным выше условиям (!) — (ч!).
Показатц что 0 — подгруппа в группе обратимых элементов нэ У. Пусть хсяК Если Š— коиечномерный а-модуль, то хдщВЬ(Е). Применим это к случаю, когда Е а относительно присоединенного представления. Следовательно, хч!иОЬ(а). Показать, что х — автоморфизм алгебры 262 гл. щп. рхсщцплцннын полупростыц ллгнвгы лн ут Ли а (воспользоваться а-гомоморфизмом аза-» а, заданным коммутироваиием). Таким образом, мы получаем гомоморфизм групп о: Оь Ап!(а). Если Š— конечномераый а-модуль, то к (у .
е) и (х)(у) . х (е), где у щ а, е щ Е. (Воспользоваться а-гомоморфизмом а~3 Е -+ Е, заданным действием а на Е.) д) Главный антиавтоморфизм а алгебры У продолжается по непрерыз. ности до антиавтоморфизма О. Сопряженный эндоморфизм сохраняет 0 и индуцирует на У' пехоте!зую инверсию (А!5., сйзр. П1, й 11, ехегс)се 4), Если х щО, то п(х) =х- . е) Предположим, что алгебра Ли а полупроста ').
Пусть и — нильпотент. ный элемент алгебры Ли а. Тогда существует, и притом только одни, такой элемент ел из группы О, что (е") ехр(лд) для любого конечномерного а-модуля Е. Мы получаем, что о (е") = ехр (аб л) ы Ап! (а); следовательно, Ап1,(а) ~ о(0). Показать, что если Ь вЂ” полалгебра алгебры Ли а, образованная ннльпотеитными элементами, то е» ем ел !а, т1 где и. лз ~м Ь и где через Н обозначен ряд Хаусдорфа (гл. 11, з 6), $ 26) Применим обозначения и результаты упражнения 25 к случаю а= 5 (расщепленный случай).
а) Пусть хан О и о о(х) — его образ в группе Ац((й). Если р — представление алгебры Ли П, то представления р и реп эквивалентны. Вывести отсюда (см. п'2„замечание 1), что и принадлежит Ап1ь (5). Распространить этот результат иа произвольные полупростые алгебры. б) Пусть фяТ =Нот(Р, й'), где Р=Р((1). Если Е есть й.модуль, то пусть ф — эндоморфизм модуля Е, ограничение которого на кажлое д подпространство Е (Л щ Р) является гомотетией с коэффициентом ф (Л). Показать, что существует единственный такой элеиент 1(ф) ы О, что «(ф) = ф для любого модуля Е.
(Воспользоваться упрзжиением 24 в) и характеризацнями (!!) и (гА) из упражнения 25.) Таким образом, мы получаем гомоморфизм Л Тр -ь С. Показать, что гамоморфизм ! инъективен. Воспользуемся этим гомоморфизмом для отождествления Тр с подгруппой группы О. Композиция Тр-ьО-эдп1(2) является гомоморфизмом, который в в 5, и'2, обозначен через )еф в) Пусть кезС вЂ” такой элемент, что о=о(х) принадлежит подгруппе ЦТО) группы Ап(е(5) (% 5, и'2); иначе говоря, этот элемент тривиально действует на Ь. Обозначим через ф элемент из Тц Нога (О. й'), соответствующий элементу х.
Доказать, что х принадлежит Тр, Последовательно доказать следующие утверждения: в~) Если Е есть й-модуль, та хл — это 1)-зндоморфизи модуля Е (Воспользоваться й-гомоморфизмом 69Е Е и тем, что х тривиально действует иа ().) В частности, пространства Е" устойчивы относительно эндоморфизма х . ') 'В этом случае можно показать, что 0' — биалгебра алГебраической односвязной полупростой группы А, алгебра Ли которой равна а, и что 0 — группа й-точек группы Ам УПРАЖНеНИЯ в,) Существует такой элемент фщ Тр, что для любого 8-модуля Е и любого примитивного элемента е нз Е веса Л имеет место равенство хле = ф (Л) ж (Выбрать ф так, чтобы это равенство выполнялось, когда Š— пространство, отвечающее фундаментальному представлению Е(йя). Вывести отсюда доказательство для случая модулей Е(Л), Лщ Рэ+, воспользовавшись тем, что такой модуль вкладывается в тензорное произведение модулей типа Е(й ).
Перейти отсюда к общему случаю.) в,) Выберем ф таким же, как в вт). Пусть Š— простой 8-модуль со старшим весом Л, и пусть р — вес модуля Е; тогда Л вЂ” р щ 6. Показать, что ограничение эпдоморфизма х на пространство Е" — гомотетия с коэф- Е фициентом ф(Л) ф ()ь — Л). ()(оказательство проводится так же, как и в случае в,)]. в,) Если Л, р щ Рч ь и если корень а щ В ие ортогонален нн к Л, ни к р, то ф(Л+р — и) =ф(.Л+ Н] ф(-и), откуда слелует, что ф(а) = ф(а].
(Воспользоваться утверждениями вг), в,) и тем, что модуль Е (Л + Р— а) вкладывается в модуль Е (Л) ® Е (р), см. упражнение !7.) вь) Вывести из утвержления в1) что ф) О=ф, и воспользоваться утверждением вз] для доказательства того, что х = ! (ф). г) С помощью гомоморфизма ) отояществим группу Т с подгруппой группы Ап]э(8). Вследствие утверждения а) мы получаем, что Ац(э (8) с с (6) ~ Аи(ь (2) и авилу в) имеет место равенство э (6) П Т = (гп(ТР). Вывести отсюда, что г) Ап! (8)ЙТ, !щ(ур) и что )(О) =Ац! (8) (см. $5, и'3). Следовательно, каноническое отображение ь Тф/!щ (Тр) ь Ац(о (9)/Ац( (9) — изоморфнзм.
д) Ядро гомоморфизма э: 0-ь Ац],(8) равно ядру гомоморфнзма Тр-ь -ь Т; оно 'изоморфно Нощ (Р)6. А*). Это конечная абелева группа содержащаяся в центре группы О, н ее поря. док делит (Р: 6). Если поле й алгебраически замкнуто. то она совпадает с пространством, дуальным к Р)6 (Алг., гл. ЧП $ 4, па 8). е) Пусть а щ $ Хо ги йа и Х огм 8 о — такие элементы, что (Хо, Х = — Но, и пусть р„ — соответствующее представление алгебры Лн й((2, й) и пространстве 8.
Если Е есть й-модуль, то мы получаем (з ), и' 4) представление группы Лн $Л(2, й) в пространстве Е н, следовательно (упражнение 25б), в)), гомоморфизм фо: Я. (2, й) -и О. Л(н ) Показать, что (щ(ф„] содержит элементы из Тр вида Ль-ьг о], г~вй, Вывести отсюла, что элементы (гп (ф„), а ~ В порождают группу 0 (показать сначала, что группа, которую они порождают, солержит Тр) В частности, группа 0 порождается элементами вида е", где лщйо, аеаВЦ вЂ” Е.
Произволная группа группы 0 совпадает с группой 6. ж) Если 6' — такая подгруппа группы О, что и (6') Ап(э (8), то 0' 0 (воспользоваться утверждением е)). 364 Гл. щп, Рлсщнпленные полупРОстые АлГеБРы ли Фз з) Пусть Š— точный й-модуль, н пусть à — подгруппа группы Р, порожденная весами модуля Е. Тогда Р:~ Г:з О, см. упражнение 5. Показать, что ядро канонического гомоморфизма 6-> Ой(Е) совпадает с подгруппой группы Т, образованной элементами ф, огравичение которых на подгруппу Г тривиально.
Если, в частности, Г = Р, то гомоморфнзм 6-» бЕ (Е) инъективен. Если Г (], то этот гомоморфизм разлагается в композицию 0 — » Ап!а (3) -> Я. (Е) и гомомоРфизм Ап!а(3) -» 01. (Е) инъсктивеи. 27) Пусть Я= Р]Ц. Если ы !и(] и если Е есть й-модуль, то обозначим через Е„прямую сумму пространств Е, где А я ох Тогда Е= (ту Ем, А вмп а) Показать, что Е„есть й-подмодуль модуля Е. Выполняются равенства (Е')и (Е-„)* и (ЕЗР)е Я Еа®РБ а+В-в где Р— другой й-модуль. б) Пусть у.
~ Ноги(Я, й'] = Кег(ТР-» Т ). Отождесгвим )( с элементом О' ядра [: б — >Ап(,(й), см, упражнение 26д), Показать, что действие т, на модуле Ев является гомотетией с коэффициентом у. (а). в) Описать модули Ем, когда 2 =В(2, А). 1) Пусть [ — инвариантная полиномиальная функция на алгебре Ли й. Показать, что функция [ инвариантна относительно группы Ап((й) тогда и только тогда, когда [[[! инвариантна относительно группы Ап(()7).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
