Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Имеет место равенство б(м)г — р) е(ю) г((Х вЂ” р), где ю ьи йг, Хам Г)". В частности, функция Л ~ — ь Ы (Х вЂ” р)' инвариантна относительно йт. Вывестн отсюда, что существует единственный элемент и, принадлежащий центру алгебры Гг(6), для которого у (и) =И(Х)з при всех А ~Г)" (применить теорему 2 из э 8, и'5). Котла 5=61(2, й), то и С+1, где С вЂ” элемент, определенный в упражнении 1 из $ ! Э) Пусть йо ..., йг — характерястическне степени алгебры инвариантов группы йг (гл. Ч, 6 5), а) Показать, что при всех / ~1 число таких (, что л! > А равно числу таких пгм!г+, что (р, Нч) 1 (Свести к случаю, когда система корней !1 непрнводнма, н воспользоваться упражнением 6 в) из гл Ч1, $4.) (См.
$5, упражнение 5 ж).) б) Вывести из предыдущего формулу л( лр (Р Г!а) Ц (йг — 1)! в л4. 393 ГЛ. ЧПЕ РАСЩЕПЛЕННЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 1[ 4) Предположнм, что алгебра Лн й проста, и обозначнм через у такой элемент нз )7, что Н вЂ” яанбольшнй кореяь сястемы корней )тУ. Предста+' т внм Нт в виде Нт ~ лэНэ. Тогда(р, Нт)=~ ли 4 й — 1, где Ь вЂ” число аыв Кокстера системы корней 11 (гл. У1, 3 1, и'!1, предложение 31) а) Пусть азнВ, Показать, что для любого [)зм (ыа+ Р Нр)э Ь+ ла ! где равенство достигается прн [) = у.
Вывестн отсюда, что каждый простой множитель числа гВГа Е (йа) не превосходят й + л„— 1. б) Предположим, что й — не мнкровес т. е, и )2. Пусть щ щ (2, ла) и р=й+гл — 1. Проверить (см. гл. У1, таблапы), что существует такой корень [)он Я, для которого (йа, На) и и (р, Н„)=Ь вЂ” 1 — (л — гл); следовательно, (й„+ р, НБ) = р. Вывести отсюда, что если р — простое число, то оно делит б)т Е(еа).
(Заметать, что р не делит никакое нз чисел (р, Н ) где 6 щ Я+, см упражнение 3.) в) Когда й — алгебра Лн тяпа Вз (соотв Р„, Еэ), то й = 6 (соотв. 12, 30) и б(гл Е (йа) делится на 7 (соотв. на !3, 31]. Когда 3 — алгебра Лн типа Ее (соотв. Е,) и йа не является мнкровесом, то б(щ Е(ыа) делится на 13 (соотв.
яа 19). 1[ 6) а) Пусть азм Е, х щ йа, у щ й а, и пусть Е есть 9-модуль Показать, что для любого А щ Р Тг[(ху) [ Е ) =Тг((ху) [Ех+а)+ Х([х, у[) б(т Еь. Вывести отсюда, что ~', А([х,у])гВщ(Е ).е =(1 — е а) ~ Тг((ху) [Ех).ех. ЬЫР ЬыР б) Снабднм пространство 1)" невырожденной симметрической бнлпнейяой формой (... ), ннварнантной относительно йт.
Пусть Ь вЂ” такой эндоморфнзм векторного пространства й [Р[, что Ь(ев) =(р, р)ев прн всех у ~а Р Если а, Ь оп й[Р[, то положим % Ь'(а, Ь) Ь(аЬ) — аЬ(Ь) — ЬЬ(а). Доказать, что Ь ( 7 (ен)) (р, р) 7 (ев), где р еп Р, ь (е, е") 2()ь р)е"+э, где д, реп р, Ь' (аЬ, с) = аЬ' (Ь, с) + ЬЬ' (а, с), где а, Ь, с зм ь [Р[ в) Пусть лев Р++, ах =св(Е(Х)) н б =/(еэ). Доказать, что Ь (схг() ()1 + р, Л+ р) с б, (Воспользоваться утвержденннмн а), б), следствнем предложения 7 нз $6 и формулой (3) нз гл. У!, й 3, и'3) г) Вывестн нз предыдущего и вз предложення 5 (ГВ) 3 7, и'2, другое доказательство формулы Г. Вейля.
УПРАЖНЕНИЯ 309 л) Ллн лгобого Лги ()' положим б)иЕ т(Л). Вывести из утвержде- А ння а), что г г ((ху) ) Е ))= ~ (Л + (а) ( (х, у) ) т (Л + )а), Г-О (Л+ га) ( (х, у) ) и (Л+ га) О. е) Пусть (...) — невырожленная инвариантная симметрическая билинейная форма на алгебре Ли 9, ограничение которой на подалгебру Картана Ь равно обратной форме к форме, выбранной выше Пусть à — соотяетствуюший элемент Казимира. Предположим, что молуль Е прост.
Положим Г =у.1, где уев й. Пользуясь утвержлеиием л) и прелложением 6 из $2, п'3, показать, что для любого Л гм 9' имеет место равенство + Ю ут (Л) (Л, Л) и (Л) + ~> ~ (Л + га, а)т (Л + га), аыяз О а также что ут (Л) (Л, Цт (Л) + Е т(Л)(Л, а)+ 2 ~ 2 т(Л+ га)(Л+ га а)ьь а т Л+ пыле г-~ (Л, Л+ 2р) гп(Л) + 2 ~ ~„т(Л+!а)(Л+!а, а). аюл+ г-~ ж) Предположим, что модуль Е прост, н пусть ы — его старший вес. Вывести из утверждения е), что для любого Л еи 9" +~ ((а+ р, а+р) —. (Л+ р, Л+ р)) т(Л) =2 Е,' ~ т(Л+!а)(Л+)а, а).
аюн+ г г (Напомним, что ввилу прелложения 6 из 5 У (ы+ р, ы+ р) > (Л+ р, Л+ р) если Л вЂ” отличный от ы вес модуля Е. Предыдущая формула лает, таким образом, способ последовательного вычисления размерности и (Л) ').) 6) Пусть х«-«х* — инволюпия в алгебре й(Р), которая переводит ер в е и для любого р гн Р.
а) Положим 0 л'г) Ц (1 — еа). Показать, что г( =(-1) а, где аыа Аг=Сагб(Е ), н, следовательно, 1) (-1) г(. б) Определим две линейные формы е и г' на й (Р) по формулам е (1) 1, е (ер) О, где р еи Р— 10), 1 (() = — е (() . (), где т Сагб (йг). 1 Показать, используя формулу г( Х(ес), что 1(1) 1, ') Подробности относительно этого упражнения см.
в статье: Ргепбеп. !Ьа! Н, Енг ВегесЬпипй бег СЬагай(еге бег Ьа1Ье|п(асЬеп ЫезсЬеп Сгнрреп, Ргос. Коп, Айаб. %е1. Ашз(егбаш, ЮП (1954), 369 — 376. 316 ГЛ. УП!. РАСШГПЛГНПЫЕ ПОЛУПРОСТЫЕ АЛГЕИРЫ ЛИ уз В частности, 1(сьс )=бьа, если Л, и~Р! е) Если Л, р, т гы Рьь, то целое число ш(Л, р, ч) из предложения 2 равно 1(сьс„с„). Вывести отсюда тождество гт(Л) г((р) Х (Л )з ) гг (т) Л )т. ш Р++ тыРЬг (Применить утвергкденне д) к г)-молулю Е = Е (Л) гбг Е ()г).) 1] 7) Воспользуемся обозначениями из доказательства теоремы 2.
а) Показать, что (7 (еа)) = П (е!а! го тР а-(и )а) гп) аюд+ б) Выберем в качестве (.].) каноническую билинейную форму Фя (гл. Ч1, $1, и'12). Показать, что а (~ (а )) ~ау г 1 + 46 (р ] р)) (шоб 7У~~((!(7П) где г)и П а ад'+ в) Вывести формулу (р]а) из утверждения б) и из равенства 7(е +")= сй(Е) .7(еа) (р ~ р) ГВп! Еа = — 4 (Л ] Л+ 2р). и Р г) Предположим, что алгебра Ли 9 проста. Поназать, что (р] р) = б!ш й/24. (Применить утвергкдение в), взяв в качестве Л наибольший корень системы Е, н воспользоваться упражнением 3 нз в 6.) т] 8) Пусть ф — полиномиальная функция на пространстве 1)' степени г. Показать, что существует единственная полиномнальная функция гу на пространстве 1)", инаарнантная относительно (р' и степени яь г, длн которой ф (р) ойш Еа = гу (Л + р) б)ш Е а%Р при любом простом 9-модуле Е со старшим весом Л (Исследовать сначала случай ф(р) (р]т)г, где вес тгмР не ортогонален никакому корню; для этого воспользоваться гомоморфизмом )т из докааательства теоремы 2, а также предложением 5 (1) из гл, Ч, в 5, й'4.) 9) Воспользуемся обозначениями из гл.
Ч1, таблица 1, для алгебры Ли 9 типа Аз. Пусть а, р — целые числа ~0. а) ч (ла! + Раз) 1+ ш( (и, Р). в) Пусть Лы Р и сь сЬЕ(Л) 7(е +Р)/г). Показать, что 7(сь) О, если Л ~ О. (Доказательство проводится так же, как и доказательство утверждения б).) г) Показать, что форма 1 принимает целые значения на подалгебре Х [Р] сй Лг (й) алгебры й (Р). Если Е есть й-модуль, то размерность подет пространства иннарнаитиых относительно й элементов в Е равна I (сй Е) (Свести к случаю, когда Е прост, и использовать б) и в).] д) Доказать, что ГВгп Е ~ 1(сьев Е)г)(Л), где г)(Л) =-б!ш Е[Л).
ХюР++ 3П УПРАЖНЕНИЯ 1 б) Пусть л = лй, + рйз Тогда б)ш Е ()А) 2 (л+ 1/(Р+ 1) (л+ Р+ 2). Кратность веса 0 в модуле Е()А) равна О, если )г — не радикальный вец т. е. если л Ф р (гпод 3), а если й — радикальный вес, то кратность равна 1+ !п1 (л, р). 10) Воспользуемся обозначениями нз гл. Ч1, таблица П, для алгебры /!и 0 типа Вз, Пусть л, р — целые числа ~) О. а) Имеют место равенства ф !ла, + р(а, + 2а,)) 1+ — р(р+3), 1 2 г1~ (лат+ р (а, + ат)) = ]рт/4] + р+ 1, ч) (л (а, + а,) + р (а, + 2аз)) (л'/4] + л + 1+ лр+ — р (р + 3). б) ПУсть )А =и(а, + а,) + Р (а, + 2ат).
КРатность веса 0 в модУле Е(Х) равна (л/2] + 1 + л р + р. 11) Предположим, что алгебра Ли 3 не является произведением алгебр ранга 1, Пусть л ш М. Показать, что существует простой й-модуль, у которого есть вес кратное~и ~ )л. (Предположить, что утверждение неверно. Пусть Ех — простой модуль, отвечаюгций старшему весу й гм Ре+. Сравнить гВш ЕХ и число различных весов модуля ЕХ, когда (л] )А) и оо (обозначения из теоремы 2).) 12) Пусть (/о — цептрализатор подалгебры Картана !! в алгебре (/(3).
Если ранг алгебры Ли й равен 1, то (Го — коммутатнвная алгебра. Если ранг алгебры Ли 3 не меньше 2, то у алгебры (/о существуют неприводимые представления сколь угодно большой конечной размерности. (Воспользоваться упражнением 11, а также упражнением 23 а) из $7.) 13) Пусть /г — система корней в векторном пространстве У. Два элемента о, и оз 'из пространства )г называются разъединенными, если система Š— прялгая сумма двух таких систем корней Е, и Е, (гл Ч1, 4 1, и'2), что векторы о, принадлежат векторным подпространствам пространства )г, порожденным системами Ег, г 1, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
