Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (947351), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

ге щч' э. ч ил!ест собственное значение, — зто элементы из СН. В случаях в) — д) элементы л лыв, для которых эцдоморфизл! р ч(х) облалает собственным значением, состапляют СН+ СХН Ее!и элечент х нильпотентен (а следователю!о, пропорционален Х ) и це равен нулю, то эндоморфизч р, (х) имеет собствене. ч пое значение О кратности 1. Если элемент х полупрост, то пространство прелгтазле!ц я р„имеет базис, образованный собственными векторами зндоморфизча ох, (х). Аналогичные результаты верны для представления р+ если элем! пт Х+ заменить на Х ж! Пуст~ )г — простой й-модуль и р — соответствующее представление. Тогда р(С! — гомотетия (использовать упражнение 11). Предположим, что р(С) = — 4ф Показать, что если представление р Н-днагонализнруемо, то нзочорфеи одному из модулей 5„, 5„ч или 5„, рассмотренных в п.

6) — д), в 7(оказать, что предстзвление р является Н.диагонализируемь!м тогда и только тогда, когда у зндочорфнзма р(Н) есть собственное значение; достаточно также, !тобы у зиломорфпзча р (Хэ) было собственное значение О. 1) (4) Сохраним обозначения предыдущего упражнения. Обозначим через Вч фак! оралгебру алгебрь! (7 (й) по днусторопнечу плеалу. порожденному элементом С вЂ” 4ф а через и ! —. и' обозначим канонический гомоморфизм [7 (Ь) э Вч Рассмотрим представления из упражнений 12 и 13 как представления алгебры В„. а) Все элечецты алгебры Вч единственным образом выражаются в виде ~ Х+'р,(Н)+ ~' рз(Н)Х', з)о г>в где р, и цз — мпогоччены. Если два этемевта алгебры Вч порождают один и тот же левый идеал, то опн пропорциональны.

хи Р лж не г! и и б) Пусть мы находичся в условиях и. б) уира киения 13. 1)усть а — ненулевой элемент пространства Вз ч. Если а — собственный вектор энзочорфнзча р, ч (Н) с собственныч значениеч )ь, то анну зят;ро ~ вектора а является левый илелл алгебры Вя порожденный втемснточ Н' — !л если элемент а ле лвллется собствелнызг вектором энзочорФ~ зчл рь ч (1!) то его анну.тятор — немоиогениый левый идеал. в) Рассмотрим представления р из упражне~гия 13. Если а — ненулевой з,з элемент в пространстве одного из этих представлениЕ то его аннулятор в алгебре Вч — лечологенный левый идеал.

г) Рассмотрим представление рч нз упражнения 12. Алпулятор элемента с, в алгебре Вч порожден элементом Х+ — 1. Если элемелт а щ (Е вс лропорпионалеа элементу с,, то его аннулятором является нечоногсллый левый идеал. д) Любой автоморфизм алгебры Ля 6 продолжзется до звточорфизча алгебры (7 (61 и определяет прн переходе к факторалгебре лвточорфпзч алгебры Вч, пусть Л' — подгруппа группы А = Аи! (Вч), по.тучею яя такнч образом. Показать, что А'ФЛ.

(Пусть ф — эпдоморфнзч х~ — ~Х~, х) алгебры В; з этот эллочорфиям локально нильпотентен, ек зы А, гч М6 А ) е) С помощью переноса структуры группа А действует па множестве классов простых представлений алгебры Ва. Пусть и, (соотв. пз я,) — представление типа р„а из упражнения 13 б! (солта представление типа о„— з из упражнения !3, соотв. представление типа ра из упражнекия !оь Тогда множества Аи . Лгг и Амз попарно не пересекаются. (Использовать а! — г).) Если Ц щ А — такой звтоморфизм, что йп — предстал,з~ япс типа оа з лз упражнения 13 б), то ф щ А' (использоваю а) н б)Ь Бывестн отсю:ш, что если ф — авточорфнзм вида еч из д), то представление а=и.

ф обладает слезую~пизг свойством: для любого элемента х щ 6 — (0) у эндочорфизма а(х) нет собственных значений '). 15) Пусть 9 — трехмерная алгебра Ли Показать, что слелуюгппс условия эквивалентны (см. гл. 1, э 6, упражнение 23). (П й=(й й!. (Н1 форча Киплинга алгебры Лл й певыро>кзгелнз. (!Е) злгеб!за Лн 3 пол)л!засти. ()у) алгебра Лл а проста.

з!) !6) Пусть 9 — простая 3-мерлля алгебра 1!и, и пусть Ф вЂ” ее форма Киллпягз. Обозначим через о (Ф) ортогональную алгебру форзпз Ф, т. е. пол- алгебру алгебры Ли й119), образованную элемелтамл. огнос)гтезьло иоторыь форзга Ф инвариантна, а) Покззать, что аб; 9-ь о (Ф) — нзоморфизм. б) Доказать, что следующие свойства алгебры Ли й эквивалентны: (11 й содержит ненулевой изотропный (относительло формы Ф) вектор. (11) 9 содержит ненулевой нпльпотеитпый влез~сит, (!11) 9 изоморфпа 6. в) Показать, что существует расширение й, поля )г степени м.

2, иад ко- торым алгебрз Ли й,з)= й~ ®ь й изоморфна алгебре Лл 6,з 1. ') Подробности относительно упражнений 12 — 14 сч. Агпа) (з., Р(псзоп О., Яиг !ез гсргезеп1зНопз а!пйЬг!циешеп! )ггедис!!Ыез бе Га1йеЬгс з(е Ь!е 61(2з Л о)' Ма((г, Рйуз., Хт' (!974), 350 — 359. 28! !.ч. ! !!!. Р !омыл!лп!и!Нв !И)ля!Р(>гть!и лл!"пг!'ы лм й! г) Снабдим нектарное пространство А Й®9 единственной структурой алгебры, н которой 1 — единичный элемент и произведение 9 Х 9-ь А задано формулой 1 1 х.у = — Ф (х, у). 1+ — [х, у[ (х, у ~ 9). 2 Показать, что А — алгебра квэгернионов над полем й') и что 9 — подалгебра Ли алгебры А, образованная элементами со следом нуль (расшириа основное поле, ограничиться случаем 9=8 и показать, что тогда алгебра А отождествляется с алгеброй матрип М! (й)).

Обратна, если Π— алгебра кватеринонов над полем й, то элементы со следом пуль образуют простую 3-мерную алгебру Ли и соответствующая алгебра А отожлгствлястся с В. д) Доказать форт!улы Ф(х, х) = — 8(гб„(х), Ф (х, у) =4Тгд (ху), 2[я, [р. хЦ = Ф (х, у) х — Ф (х, з) р (х, р, 3 ~ 9), е) Показать, что дискрпминант формы Ф (относительно некоторого базиса алгебры Ли 9) имеет вид — 2)сэ. где Л гы й'. ж) Пусть и — делос число > О. Показать, что 9-модуль 8«(9) обладает единственныл! простым подмодулем размерности 2« + 1, и этот модуль абсолютно прост (свести к случаю 9 В и воспользоваться упрэжнением 9). Показать, что алгебра Ли 9 имеет абсолютно простой модуль размерности 2«, только если она изоморфна В, т. е.

если алгебра А изоморфна М! (й). (Пусть )/ — такой модуль. Если л)~2, то показать с помощью упражнения 6 в), что 9-модуль )г !9! 9 имеет единственный абсолютно простой подмодуль размерности 2« — 2. Свести все, таким образом, к случаю и =1, который тривиален.) Ч[ 17) Сохраним обозначения предыдущего упражнения. Показать, что прн всех л )~ 1 алгебра У (9) содержит единственный двусторонний идеал ш«, такой, что У(9)/и!„— простая центральная алгебра размерности л' (расширением поля скалярон свести анализ к случаяэ, когда 9 = й, и показать, что тогда ш« — ядро гомомарфнзма У (9) -+ Епб ()) (п — 1))). Любой идеал конечной коРазмеРпостн в алгебРе У (9) имеет вид н!«() н!» () ...

() ш«, где числа «! «! «э з т и!, „пг, попарно различны; его кора!мерность равна и-, + ... иг, (применить теорему пл!юности), Идеалы ш« — единственные максимальные двусторонние идеалы копс пшй кора!мерности а алгебре У (9!. Показать, что ш, пороишш! (как двусторонний идеал) элемеитамп ви,!а ! х' — — Ф (х, х) (х гы 9) и что факторалгебра У (9)/ш! отождествляется 8 с алгеброй кватерннонон А нз упраэкнения 16. Когда алгебра Лн 9 нзоморфна й, алгебра У (9)/ш„изоморфна М«(й). Если же алгебра Ли 9 яе кзоморфна й, то алгебра У (9)/и!«изоморфна М„(й) тогда н только тогда, когда « нечетко (использовать упражнение 16 ж))']. ![[ 18) Предположим, что й равно й, С или пол!о, полному относительно дискретного нормирования с полем вычетов характеристики р ~ 0 (например, конечному расширению поля р-адических чисел Яя).

') Илн алгебра патрик Мт(й). — //рял!. лерга. ') Когда л четно, та можно показать, что алгебра У (9)/иг„ нзоморфпа а.тгебре М«Г, (А). 281 у и и з ж н щ яд я йг а) Пусть и — нильпотентная алгебра Ли, 7т' — группа Лн, полученная из и с помощьк~ закона умножения Хаусдорфа (гл. 1П, й 9, п'5), и р: и -ь 81(Е) — линейное представление алгебры Ли и в копечиомсрном векторном пространстве Е Предположим, что эпдоморфизм р(х) нильпотентен при любом хшп. н положим н(х)=ехр(р(х)), Показать, что н — единственный гомоморфизм групп Ли йн )т' .ь ОС (Е), тзкой, что Е (~р) = р. !Котла й=)( яли С, использовать связность группы )У.

Когда поле й ультрачетряческое, показать, что собственные значения эндочорфнзчов ф (х), х ш )т', раины 1: для этого доказать сначала, что если /г' — конечное расширение поля /г н (Ао ..., Л„,...) — такая последовательность злечентов поля й', что 3,и Лич, при всех и н )., = 1, то Л„ = 1 при всех и.) б) Пусть р: д — ь 91(Е) — конечвомерное линейное прелставление алгебры Лн й, и пусть н — гомоморфнзч группы 8С(2, й) а группу ОС(Е), согласованный с представлением р(п'4). Показать, что н — единственный гомоморфизм групп Ли ф: Я.

(2, й) -ь 63. (Е), такой, что Е (ф) = р. (Использовать а) для доквзательстна того, что гомоморфизмы н и ф сонпадают нз элементах вида ехр (и), где п — нильпотентный элемент н 8, и заметить, что группа Ли 8). (2, й) порождается элементама вида ехр (л).) 1) Пусть 8 — простая 3-мерная алгебра Ли и Ф вЂ” ее форма Киплинга (см, э 1, упражнения 15 — 17). а) Элемент х ш 9 регулярев тогпа и только тогда.

Характеристики

Список файлов книги