Bourbaki - Topologie generale (Elements de mathematique) (947346), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Мопсгег срл'!1 ехЪгс ип ЪогпеошогрЪ]ягпе сго(ваап! л с1е ) яиг )' ге1 с!ис Р61егпспг (а = лглл ' л!е Г()') волг ге! с!ие гв(х) > л '(х) роиг а' < х < б' (игНЪег с!)). л') Бо(епг !'ип е1еплепс г)е Г, [а, Ь) шл лпгсгча!1с л!е К ге! срлс ) (х) — х = 0 роиг х = а ег х = Ь, о(х; Г) = — 1 роиг х < а сг о(х;Д) = + 1 роллг х > Ь. Мопггег г]и'11 ехаие ип е!еплепг в в!е Г, сощирис с)е ! с)апз Г ег гс1 с]ие в(х) > ! (х) роиг сош х а К (шаг шсгЪог]е).
з) Оп с)ев(апе раг Н" (гезр. Н ) !е зоил-агоире г!!яг(папе с!е Г легше с(ез /о Г ге1я г!ие ) (х) = х с!апз ип чо!я]пахе г(е 1- со (гевр. г!е — со). Мопггег с]ие Н', Н ег Н = П+ О Н яоп! 1ея зеи1з зоил-агоирея с)1вг!паиея с)е Г с!!вгшсвв л!е Г ег л!е (е',. (Е! !Ч! езг ип вопя-агоире Йягшаис г1е Г л!!яг]пег г!с Г ег в! ) а !чг п'аррагйепг рая а Н+, гпопггст срл'л1 ехиге с!апз Ъ! ип е1еплепс я ле! с!ие 1'спзеплЫе г1ся х а К ге!я с!ие о(х; я) = -1- 1 яо!с ип шгегча11е )а, + со) ег с!ис 1'оп алг ! (х) = х роиг х < а.
Оп иг]!!вега роиг се!а 1ся сопзггисйопя с)е в) ес г'), алпял г!ие Ь) ег с). Роиг ргоичег с]ис Н пе сопНепс аисшл вопя-агоире йяг!папе г!апя Г ег с!1вг(пег г)е Н сг г!е (з), сопяйегег ип 61ешспг,г а Н г)ыл]псс с!е е; во]епг а ег Ь 1ся Ъогпез ш!сг(сиге ел яирепеигс фп(ся раг ЪурогЪеяе) с)е 1'епяеплЫе с1сз ха К геЪ срле о(х; /) Ф О. ОЪзстчег а1огз с!ие Г ((а, Ь)) ев! 1яошогрЪс а Г сг иН1ыег!е геяи1гаг ргссег)епг.) Ь) Мопггег л!ие 1е агоире Н евг вопр!с, (Мсгпс шег!лог!е с]ие роиг ргоичег г!ис Н пс сопглепг раз Йс вопя-агоирез г)!вг]паиса поп гплаих с(с Г.) 4) Яо1спс ) ипе Гопсгюп зепи-сопЕпие шЕспеигсплепг в!апя ип сврасе горо!ос]с!ис Е, ср ипс !опсйоп зепи-сопгишс ]п!епеигеплспг сг его!ввапсс с]апя !'(Е) < К; плопггег срлс Р !'еяг яегп1-гоп!!пие 1лллег(сигсшспг в!апя Е, 5) Бой )'ипе !опсгюп вегп1-сопгшис 1п(сПеигсплспг г1апв ип сзрасс горо!оа(с(ис Е.
Мопсгсг с!ие рош сои!с рагЕе поп чЫе А л!е Е, оп а впряг(А) = вир)'(А). '~) 6) Ео(г „!' ипе лопсгюп пшпбпг!ие г1ейшс л!апв ип езрасе соро1оЕ]с!ие Е. Оп арре11е оля!(!а!гоп г!е л'еп рошг а о Е 1е погпЪге (Йп( ои шиш) ол(аЪГ) = 1!ш.вир) (х] — 1ип.]ил 1(х) х а 1огяг!ие 1е весопг! гпеплЪгс езг г!ЬУлп1. ТС 1Ъ'.57 ЕХЕКСГСЕ8 а) Мопггег Оце х т-з <о(в!„Г) св! зепц-сопйпце вцрепецгегпепс йапв 1е вопя-еярасе А йея ро!пь с1е Е ой се!ге арр!!сагюп ся! йейп!е. в) ГК„Гез! йа!е с!апз Е, оп а А = Е, ег роцг гош ро!пя а и Е ят(а;Я) = 1!ш.яцр (Г(х) — Г(у)). <х,зт сл ) з) Яо!г„Гцпе 1опсйоп пцшег!Оцс йше ес зепи'-сопгшце шГейсшсгпеп! с(апя Е.
Мопягег с!ис я1 сп цп рош! а а Е, вт(а;Д) а цпе ча1ецг Яа1я, оп а 1!ш.!пГчт(х; Г) = О. (Каыоппсг раг а 1'аЬвцгйе, еп тпопггап! с!це, с)апз ГЬурогйеяс сопсга!ге, 11 схйгсгай с!ев рошгя х агЬЬга!гегпепг чо(йпя с!е а е! ге!в с!ие /'(х) зоЬ абай йгапй с!ц'оп чеш.) в') Роиг гоц! потпЬге гайоппе1 т = р(у пнз вопя Гоппе ЬгесЬзсйЫе (ачес у > 0), оп розе Дт) = у; пюпггег с!це /' ея! зепи-сопйпце 1пГепецгетпеп! с1апз Я тпай с!ц'еп гош ро1п! т а 1х, оп а ов(т; Г) = -1- со.
5т, 7) Яо1сп! Е цп еярасе !оса1ешеп! согпрасй Гипс Гопсйоп зепи'-соп!нше шГсг!сигегпеп! с1апя Е. — т а] 81, роцг гоц! а ш Е, оп а!!ш.вцрГ(х) = + со, пютнгег с!це !епяешЫе Г (+ со) ез! рата соц! йепяе йапз Е (роцг гоц! а и Е е! гош чоишабе зт с1е а, оп с!сейл!га цпе яш!е (с!я) грспзегпЫея оцчеггв ге!айчетпепс сошрасгя ге1я с!це Г7„чт ш 15з е! с!це,Г(х) > а роцг гош х ~ ~в) вЬ) йой л ~ т„цпе Ьцссйоп йс !яГ вцг 1'епвешЫс без пошЬгез гайоппеЬ арраггепапг а (О, 1), е! вон 3т(х) = 1тчт(х( (ачсс ту(0) = + со); 1а Готтсйоп„Г(х) = Х 2 зу(х — т„) евц з=я -1 зепи-сопйпце шГепецгешеп! йапв (О, 1),Д+ со) ея! с1епзе йапв се! !пгсгча11е, ашз1 с!це воп сошр1егпспга1гс (роцг ргоы сг се йсгп!сг рошг, оЬяегчег йцс 1а яег1с с1е геппс йепега1 2 "(' Р(х — т) Ях евя сопчегйепзе (1ЬГТт 1зт, б 3, пз б, гЬ.
5))тв г) Гй 7 ев! йшс, тпопггег с!це 1'епзегпЫе йея рошгя х геЬ срзе вт(х; Г) зо)! 6ше ся! раггоц! с1спве (цй1йег а)). т() Мопггег с!не 1'епясшЫе с(ея ро!пгя йе Е ой Гсвг сопзшце („Гегап! йп! оц поп) еяг раггоц! с1епве. (Ве гагпепег ац сая оц Г св! Ьогпее, еп гешр1ачап! Г раг 7((! -1- ~ Я) ехсгс. Ф); оЬвегчсг с!це 1!со(х;Г) ев! яепннсопйпце !пГег!ецгешепг, ц61!вег а) е! 1'ехегс.
б в) йс 15тт р, 56). 8) Яо!еп! Е цп еярасе горо!ой!Оце, А цпе рагйс Гсппес йс Е х К. Мопггсг с!не 1'арр1!сагюп х .т !пГ(А(х)) йс рг, А йапя К ея! зепн-сопгшце !пГег!сцгсшепс. 1пчсгвешспг, й Г; Š— т К ся! цпс Гопсгюп яспн-сопйпце !пГбг)ецгсшспг, 1а рагйе В йе Е х К Гоггпйе с1ся соцр1ся (х,у) ге1з т!не у > Г(х) ев! Геппее йапя Е х К.
лв 9) а) йо!етн Е с! Р йец» сзрасев зерагез, л цпе арр!!сагюп соцйпце ргоргс (1, р. 72) с1с Е с1апз Р. ВоВ у цпе Гопсйоп пцшег!с!цс зепи-сопшгце !пГепецгешепг йапя Е. Роцг гош у а Р, зой Г(у) 1а Ьогпе ЫГепецге йе у йапз 1'епзешЫе л (у) (Ьогпе шГепецге ейа1е ,-1 5 + лт я! л (у) = С). Мопггсг ОцсГсз! яеш(-сопйпце !пГсг!сцгешепгйапз Е. (1761ысг1еГа!! — 1 -1 Оце л(Е) ез! Геппс ес с!це роцг соц! у и л(Е), л (у) евг согпрас! е! гои! чогйпайе с1е л (у) сопиеп! цп чо!вшайс зашгс рош' 1а ге1аг(оп грез!ц!ча1епсе тт(х) = л(х').) ч) йо!! у 1а Гопсгюп сопйпцс <хтхз — 1! йебше с1апв К х )О, -1-со(, ес роцг соц! х, иК Яо!г,( (хт) = шГ У(хн хз); гпопггег с!це 7 птев! Рав Ясин-сопйпце шГетйеигсшсп. хз о 10] Езепов!а йеГ.
1 (1Ъ', р. 28), 1а ргор. 1 (1зт, р. 29) е! 1е гЬ. 3 (1зт, р. 30) ацх Гопсйопя йебп1ез йапв цп еврасе сори!ой!с!це Е е! ргепап! 1ецгз ча1еигз йапя ип епяетпЫе тс ~чав ЬОЗГВЛСЕ3 9ЕЯГ Х соса(яттс вгйввая' |рле1соп|рлс р. 31 Ге| у |оп| йеих арр1|са|юпв йе Е йапя Г, яешрсош!пиеа шГепсигешеп| еп ип рош| а, шГ( Гл у) с! вир( Г, у) |оп| ясий-сопйпиея шГсйсигегпеп| аи ро1п| а. П еп ся| йе гпБшс йе Г + у я| Р св| ип 3гоирс соп|ппл|айр |о|а1ешеп| огйоппс. 3| р, пшш йс Яя(р), ся| сот|Басс (1Ъ', р. 47, ехегс. 6), с|сп|Ье аих Гопсйопв а ча1еигя йапя Р 1с |Ь. 4 (!Ъ", р. 30) с| !ся ргор.
4 е| 5 (1Ъ', р. 31). 5) 11) Оп шип!! К йе 1а лоро!о91с йго1ся (1, р. 90, схсгс. 2); роиг |рл'ипе арр11сас|оп„Г й'ип езрасс лоро!оу!Оис Е йапв К яо6 соп|ише аи яепя йе сете лоро1о31е, 11 Гаи| е| 6 ялГ6| |рлс„Г айп|е||с ип пйшпплгп гс!айГ еп !ам! рош| йе Е. 31 оп ргспй Е = К (пшш йс 1а соро1оу!е ыис11е), п|оп|гег Оис 1'спзеп|Ыс Г(Е) ея! а!огв ввавтугаБ!я. (КаЬоппап| раг 1'аЬзигйе, ырровопв |рве Г1пгсгча!1е («, 3) сл„Г(Е) зоб поп йспошЪгаЫе, с| рош сои| у о («, 6), зоЬ -| Г7(у) = Г ((ул -1- ео)), с!ш ея| ип епзеп|Ыс ввжгс йапз К. Боб (1„) 1а вш|е (Оп|с ои|п6шс) йев сошршаплсв соппехез йс !7(6) е| роиг сЬа9ие а, зоЬ «„о 1»й роиг |ои! у и («, 5), яоЬ у„(у) (гезр.
Б„(у)) !'ог19)пс (гезр, !'ехггсш!14) йс !а соп|рояап|е соппехе йе Й(у) соп|спап| х„; пюп|гег с!лле роиг ип я аи п|о1пя ш|е йсв Гопсйопз ут Б„йо1| ргепйге ипе 1пбп)гс поп йепо|пЬгаЫс йе ча1еигя йайшс|ев йапз («, 3), с| сопс1иге Б !'а)йе йе 1'ехегс. 8 йе !Ъ', р. 54.) 12) ЯоЬ Гипс Гопсйоп пишепс!ие 6п|е сопйпие е| поп сопв|ап|е йапв ип ш|егча11с соп|- рас| (а, Б) йе К, |е11е с!ив,Г(а) = Г(Б) = 0; яоЬ Е !а рагйе !спейс йе (а, Б) ГолшБе йез «|е1з с!ие Г(х) = О, е| яо6 с !а р1ия угапйе йев 1опуиеигз йея ш|егча11ез сопл!Зов йе Х йапв (а, Б). Моп|гег 9||с, роиг |оп| ! |е1 с!ие 0 < | < с, |! ехЬге ип ро(п| хи (а, Б) |е! с!ие» 4 ! и (в, Б) е| Г(х -1- !) = Г(х]. 13) Бои Гипс Гопссюп пип|469ие 6шс сопс(пие йапя ип 1псегча11е соп|расс (а, Б) йе К, с| поп тпссеп|еп| шопосопе.
Моп|гег с!и'1! ех(все ип роша»р а )а, Б( |е! Оие роиг |оис я > О, 11 ехы|с йапя (а, Б) йсих ро)п|яу, х ссЬ с!ие»о — в < у < хо < я <»в + я е|„Г(у) = Г(з). 14) Яо1| Гипс арр1|са|юп соп|шис йе К йапя !ш-гпсше. а) Моп|гсг срле а Гев! ип(Гогшешепс сопйпие йапя К, 6 ехтспе йеих поп|Ъгез гбеЬ «> О, ~3 > 0 се1| Оие ) Г(х)! < «~«! -1- (Б роиг сош хо К. Б) Моп|гег |!ие 6 Гси шопогопс е! Ьогпее йапя К, Ге|| ип1Гогшйшепс сопйпие йапв К, в', 15) 3о|еп| Е 1а йепиийго1|е й'А1схапйго6 (!Ъ', р.
49, ехегс. 12 Б)), Е' зоп соп|рас66с раг а|)опсйоп й'и|л ро|п| Б Ршбп| Й. Моп|гсг |рле роиг соиле арр1|са|юп соп|шис Гйе Е йапя1ш-п|сгпе, ои Ыеп оп а 1|п| Г(«) = Й, ои Ъ|сп 1!с«!все хо Е |с1 Оие 7'вой соайате п,» к йапя 1'ш|егча!1е (я, — «(. (Моисеев |!ие 6, 1огярле х |епй чегя Й, Гайп|е| ипе ча1сиг |РайЬегепсес о Е, оп а песеззаие|пеп| 1пп Г(») = я; оп ргоичега с!ие Гпе реп| ачопй'аилге и.» .в ча1сиг й'айЬегепсе йапз Е', еп ип1иапг!с Габ |!ие сои!с яш|е его|тапсе сопчег3е йапя Е. |161!вес спзш|е Гсхсгс.
12 Б) йе 1Ъ', р. 49 е| !е Габ |ряс йапя Е' |оп|с ш|егвссйоп йспоп|ЬгаЫе йе чоГя1пауея йе Й ез! епсоге ип чоЬлпаде йе Й.) 16) Ео(спл Е ип сярасс соро1оу)цис 1оса1ешеп| соппсхс, Гипс Гопсйоп пшпйгп!ие йебшс йапз Е. Оп зиррозе с!ие: 1' роиг |ошс рагйс соппсхе А йе Е,лг(Л) ев| ипе рагйе соппсхе йе К (аи|гсп|еп| й1! оп 1псегчабс) 12' |1 ех|я|е йапз К ип епзеп|Ые раг|ои| йепзс Х) |е1 л!ие роиг -| сои| у о В, Г(у) воЬ Гегшсл йапя Е.
Моп|гсг |!ие йапв сез соп|66опзГеял |оп|тая. (Роиг |ош уо и В, шоп|гег Оие 1'епяешЫе йев х о Е |е1в Оие „Г(х) > уч ез| оичсг|, еп сопйййгап| 1ея -| согпрояап|св гоп пехея йи сошр1йшепга!ге йе Г(уя) ), Моп|гег Оие 1а ргорг14|е пе з'ассой рая аих с|расея Е поп 1оса1егпеп| соппехсз (сопв|йегег 1а Гипс!!оп сагаслейв|1|!ие йе 1а соп|- ровап|с соппсхе й'ип епяешЫе оичег|).
ТС 1Ъ',59 ЕХЕГяСГСЕЗ 2) Бо!г (х,) нпе Ганн!1е йе погпЬгея гее1я арраггспапг гоня а Ршгегча!1е А' (гевр. Л') ег яагиГгйяапг 5 1а сопййюп Ь) йе Рехсгс. 1. Мопггег г!не гонге вона-Гапн11с йс (х,) еяг яопипаЫе йапз К, ег 1!не 1а яопнпе йсв х, сзг аяяос(айче (сЕ 111, р. 39, гЬ. 2). 3) Бой (хп)пап нпе вшге звсговввааге йе погпЬгся Оп!в > О. Ронг г!не сене вшге зоК зошгпаЫе йапв К, 11 Ганг ег 11 вн(8г сузе 1а яшге (2«хвп)пап яоК яопвпваЫе йапз К (я спгеге йс сопйепва- йоп йе СансЬу я). "Еп йсйшге г!не1а пепе йе гегше 3епега! 11а«еяг сопчег3спге я1 «> 1, поп сопчег3епге я! О < «< 1<п 4) БоК (а„) ипе яшге гуве1сопг!нс 11с попвЬгев йпЬ > О. Мопсгег 9 не 1а ян11е ( зп — ~ сзг яопнпаЫе йапв К (гпеиге сЬас(нс гсгше 11е се!ге зЫгс (1 4 «1)(1 4 ав)... (1 4 ап)1 воы Гоггпс й'ипе й)ГГегепсе). 5) Яо(Г (4) шге Яшвс йе погпЬгев ОпЬ >О Се11е 1!не 1 йп = +со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
