Bourbaki - Topologie generale (Elements de mathematique) (947346), страница 94
Текст из файла (страница 94)
а~ 17) Вой Е ип еярасс зсраге соппехе, се! Оие роиг соцс гесоичгеплепс йе Е !аппо йе сгои епвешЫея соппехсв поп чгйсз ес гВясспссз йе Е, 11 у а)с с1еих с)с сея спвеплЫся йопс 1а геишоп еяс йЖегспсе йс Е. а) Мопсгег срле роиг сош к о Е, С(х) а аи р1ия с1еих согпрояапсея соппехев (гпсше гпесЬос!е 9ие йапя Гехегс.
16). Ь) Мопсгег с!и'11 у а аи р1ив с1еих роспь йе Е с1ош !е соплр1еплепса)ге евс соппехе. Еп оисге, з'11 у а с)еих ро)пц с11вйпсся а, Ь ауапс се!се ргорглесе, плопсгег срле роиг сош х гВвйпсс йс а ес йе Ь, а ес Ь аррагслеппепс а йев сошрозапсея сопп*хез йс(ссгесссев йе С(х). с) !Оейцсге йе а) ес Ь) с!и'с1 у а яиг Е ипе всгиссиге сГогс1ге соса1 сошрас1Ые ачес 1а соро1о61е йе Е (и!11)вег Гехегс.
15). оз 18) а) Бой Е ип еярасе соплрасс, соппехе, !оса1сгпепс соппехе сс )ггес1исссЫс епсге йеих йе яез роспся а, Ь (П, р. 39, ехегс. 19). Вой х ип роспс йе Е йийпсс йс а ес йе Ь. Мопггег сСие С(х) айшег ехасгешепг йеих сошрояапгев соппехея ег 9 ос а ел б аррагйеппепг а йез соспрозапсез соппехез йсйсгепсея йе С(х).
(Еп га)яоплсапс сопипе йапв 1'ехегс. 16, пюпСгег й'аЬогй сбое С(х) пе реиС айспеиге р1из йе йеих соплрояапоея соппехез. В'ацгге рагЬ роиг сЬасбие чиатал соппехе сс (егше 5л йе х, пс сопсепапс пл а ш Ь, яолепс А, В„1св соплрояапссв соппехез геврссйчея с1с а сс Ь йапя Слгс гпопсгсг сул'с11ев вопя сБзйпссея еп ш)1Вапс 11, р. 39, схегс.
17; сопягйегег епйп !а гсишоп йев А, (гсяр. йез ВЫ 1огз9ие Ъ' рагсоигс 1'епзеспЫе йея чо)яшаЕсв (егшсз сошссхсз йс х с1апв Е). Еп йес1шгс срл'11 схецс яиг Е ипе ясплссигс сГогс1гс соса1 сеБс сула .чв(Е) яо)с 1а соро1о61е с)оппсс виг Е (1У, р. 49, ехсгс. 15 сс 14 г)). Ь) Вой Е ип сзрасс соплрасс соппсхе лггсйиспЫе епсге йеих йе яев ролпь а, Ь. Мопсгсг В ос яс Е сопйепс р1из й'ип сопясйиапс ргсппег (11, р. 40, ехегс. 20), Гсврасе Е' йея сопзсйиапся ргсппегз йе Е ((ос. гсс.) евс лггейисйЫе спсге 1ея сопвсйиапь ргспцсгя йе а ес йе Ь, ес Ои'11 ехсзсе зиг Е' шле зсгцссиге сГогс)ге соса1 сс11с срле 1а сори!оЕ)е с!е Е' зоВ Ыепйс!ис а У~л(Е'). *Ооппег ип ехешр1е о6 Е' езс с!Вйпсс с!е Е (с6 15г, р.
49, ехсгс. 15 а')).з !9) а) Восепс Е ип езрасе соппехе яераге, а, Ь йеих ро)пь еВяйпсь йе Е се1я сби'1!и'ехВсс аисипс рагйе7згтее соппехе йе Е, сВвйпссе йе Е сс сопсепапс а ес Ь. Рош Ои'ип роспс х йе ТС 1'Ч.51 ехеисгсез Е, йЬйпсг йе а ег йе Ь, зои ге1 с!ие С(х) яои поп соппехе, !1 !аиг ег В яи!Вг с!ие роиг сои! у и С(х), 11 ехыге йапя С(у) ипе рагс!с сопиехе, Геггиее с)апв Е, сопгепаиг х ег 1'ип йев ро!пы а, Ь.
(Роиг чогг с!ив 1а сопрВгюп евг песеяяа!ге, иВВяег 1, р. 114, ехегс. 4 аЬ Роиг чогг с!ие 1а сопййюп ез! яи(Взапсе, во1г А (герр. В) 1'епяегиЫс йея у и Е ге1в Ои'В у а1г ипе рагс(е соппехе йе С(у) Гегшее йапв Е, ег сопгепапг а ег х (геяр. Ь ег х); гпопггег Оие А ег В вопя оичегы поп чЫев ес вапз рошг согпишп ег срле С(х) = А сг В.) Ь) Яо(с Е ип еярасе сошрасг соппехе, 1ггейисс1Ые си!ге йеих йе зез ро!пы а, Ь (П, р. 39, ехегс. 19). Мопггег с!ие и роиг гоис соир1е йе ро!пгя йыйисгя х, у йе Е !1 ехЬге ип епяегпЫе согпрасг соппехс йапя Е, сопсспапг у ег Гии йея ро1игв а, Ь ша1я пе сопгепапс раз х, а1огя 11 ехысе шг Е ипе яггисгиге грогйге гога! ге11е с!ив Ргр(Е) хогг 1а соро1о81е с1оппее яиг Е (ехегс. 15 ег 18).
20) Папа 1а сопвггисйоп йе 1'ехегс. 24 с) йе 1, р. 109, оп ргепй роиг Хр Гшгегча11е (О, 1) йе К. Моиггег с!ие 1ея ЬовпеогпогрЬ!зшея йе Х виг 1и1-шеше яопг 1ев гпсшез Оие 1ез ЬошсогпогрЫппея йе Хр зиг 1и1-гпеЬпе, Ьгеп Оие !а соро1о8!с йе Х зоВ ягпсгегпепг р1из Опе Оие се!1е йе Хр (иг111вег 1'ехегс. 20 Ь) йе 1, р. 103). 21) Мопггег с!ие я1 г» 2, !1 и'ехыге рая йе угоире г Гоы ггаппйу (А, 1, р. 131, ехегс.14) Гогше йЪошеошогрЬВвшея йе К яиг еВе-пвегпе (соппйегег 1с вопя-Сгоире 1а1взапг (пчапапы йеих ро1псв йе К). з22) ВоЬ с'.
К вЂ” Х ипе арр1!сагюп сопйпие ЬЦесг(че йе К яиг ип езрасе 1оса1ешсп! согпрасг ег!оса!егпепг соппехе Х. СопвЫсгапг К сошгпе р!опуее йапя 1а йго1ге асЬечее К, зои Н+ (герр. Н ) 1'епзегпЫе йея ча1еигз й'айЬегепсе йеу 1огя9ие х гепй чегв -1- со (гсср. чегя — ро). а) Мопггег с!и'11 и'евг раз роза)Ые с!и'В ехыге ггоы рошгя а, Ь, с с1апз Х се1я срле а и Н', Ь и Н+, с о Н, а Ф Ь ег а ~ с. (81 Ъ' еяг ии чоыша8с сошрасг соппехе йе а йапв Х, пе сопгепап! и( Ь и1 с, шип!вес срл'В ехыгега)г ипс яи(се (г„) „,х с1аиз К, вгпсгегпепс сгоЬзаиге ег ге11е сузе !ип г„= -1- со, 1ип г„= — со, ег ) (г,) х 5г рош гош а.
Еп гешаг9иапс Оие Ъ' р вега!с геипюп йея епяегпЫея Ъ' г~ г'фр, г„рг)), еп йейшге ипе сопсгай)ссюп еп ий1ыапс 1'ехегс. 18 а) с1е П, р. 39). Ь) Пейи(ге йе а) Оие сЬасип йев епвегпЫез Н', Н а аи р1ив ип е1ешепг, Еп йейшге Оие Х еси песезза1геигепг ЬогпеоиюгрЬе Ь Гии йев сш9 еярасев вшчапгв с 19 К; 29 1е яоиз-еярасе г1е К', геипюп й'ип сегс1е !х~~ = 1 ег йе Гшгегча11е (1, -';со( с1е К; 39 1е зош-езрасе с1е К', геишоп йи сегс1е = — 1)~ = 1 ег йе хоп зугпегп9ие раг гаррогс а 0; 491езоиз-еярасе йе Кз, геипюп йи сегс1е !х) = 1 ег йе Г!пгегча!1е ( — 1, 1) с1е К; 59 1е вопя-еярасе йе Кв, геипюп йи сеге1е х~! = 1, йи сегс1е:х,'~ = 2 е! йи ве8гпеиг (1, 2) йе К, (гвогег цие 1огз9ие раг ехешр1е Н+ еяг гейш! а ии рошг а, оп а 1ип ) (г) = а.) „ 1) Бо(епг х ип погпЬге гее1» О,,р ег у йеих епйегя» О.
Пегпопсгег 1ся ге1айопя (хи")' р = хг'"р, (х")ир = (хв'р)з, хпзхив = (х" рв)г~вр. 2) а) Виг Гаппеаи йе ро1упогиея А = К!Х), оп сопяЫсге 1а яггисгиге сГаппеаи соса1ешепс огйоппе роиг 1а9ие1!е 1ев е!ешепы» 0 вопя 0 е! 1ев ро1упогпея ФО йопг 1е рос%с!епг с)огшпап! еяг» О. Мопггег с!ие 1а горо!оЕ)е ор(А) (1, р. 91, ехегс. 5) и'евг раз соиграйЫе ачес 1а зггисгиге й'аппеаи йе А.
Ь) Виг ип согря огйоппе К (А, Ъ'1, С 2, и' 2) 1а горо1оВ!е . р(К) евг согпрайЫе ачес 1а ягпзсгигс й'аппсаи йе К ег!ся епяешЫея Ьогпез роиг сегге сори!оу(с й'аппеаи (П1, р. 81, ехегс. 12) вопя 1св епзешЫея Ьогпез роиг !а в!гас!иге й'огйге. 1.а горо!ау(е, р(К) езг ТС лЪ'.52 1ЕОМВВЕВ ВЕЕМ 1оса1ешепл гелгоЬогпее (111, р. 83, схегс.
22), ел еп рагйси11ег сошрайЫе ачес 1а гигисгиге л1е согрз с)с К; еп ошге 1е согпр1еЫ Й йе К роиг сеые горо1о31е, с!и! еял ип согря (1ас, сО,), езс сапопнрлешепг пшпл сГипе вгплсшгс с1е согря огйоппе (1Ъ', р. 46, схсгс. 3 Ь)). с) Ьиг 1е согря К = Я(ъ'2), сопвсйсге сопипе яоия-согря огс1оппе йе К, оп сопзсйсте 1а горо!о31е У, сгапяроглсе йс 1а горо1о31е ргойи1л зиг 9з раг 1а Ь1)есг1оп (х, у) ° > х 4 уъ'2. Се!ге лоро1о31с еял р1ш йпс лрле хя(К) ел соплраг1Ые ачес 1а яггисгиге йе согря с1е К; плаы 1е солпр1елс йс се согрз лоро1о3п3ие п'езл раз ип согрз. л1) 1.с согрз К = 9(ч'2), сопвсйеге сопипе езрасе чессопе! виг Я, ега юпипе й1гесле йи зоил-еярасе чесгопе! С' епдепйге раг 1 ег ч'2 ел йи вопя-еярасе чесгопе! С" епОсллйге раг Ъл4.
Оп сопвсйеге зиг С' е! яиг С" 1ея горо1о31ея 1пйи)гсз раг сеБе йе К, зиг К 1а горо!о31е,~~ ргойшл с1ев лоро1о3!ся йе С' ег с1е С". Мопсгег срлс ~~ сяг сагпрайЫс ачсс 1а зггисгигс с(с 3гоирс айй!Ор г1е К ег езг р1ия Опе срлс Хв(К) (лрлапй К еси сопзсйсге сошгпе вопя-согрз огйоппе йе К), лпаы п'евс рая сошрайЫе ачсс 1а яггислигс й'аппсаи йе К. 3(3) а) Злу'еял ип ЬопюгрЬыгпс сЬл согрв К вш' ллп зоил-согрв с1е К, плопсгег грле ~еял пессввалгегпепс 1'арр1ссалюп сйепйсрлс йс К яиг 1ш-гпйпк. (Кегпагсрлсг срле 1ев погпЬгев гагюппе!з вопя шчапапгз раг „~ сл й'ашге рагс с!ис Дхя) = (7(х))' > О, йопс л!ос 7 сял сгоЬзап!), я) 3оЬ Кя 1е согря К(Х) йез Ргасйопя гагюппе11ез 5 ипе !пйелегпипее яиг К, огйоппс еп ргепапг сошгпе ро1упошся > 0 ссих с1опл 1е сос!Ес1спг с1опипапс езг > О.
ЯоО К !'схгепз1олл а13еЬг(г!ие агйоппсе шахипа1е йс Кр. Мошгег л!и'11 ехыле ип ашопюгрЫвпле сгоызапс / с1с К гс1 лрлсЯЦ) = я роиг 3 а К елДХ) = Хл (ий1ыег А, Ъ'1, 3 2, схсгс. 15). 1) Моплгег срле 1ея !плегча11ея зепи-оичеглз Ьогпев е11ея шлегча11ея Еегш5я 111!пи!ел с1е К вопя лоиз ЬоплеоплогрЬез епгге еих. 63 а < я, аисип йея лгоы шлегча1!ез )а, 5(, [а, Ь(, (а, я) п'евг ЬогпеоплогрЬе 5 1'ип йев йеих аилгев. 2) Моплгег с!ие 1'аррйсайоп х -я х)(! + (х() езл ип ЬоплеопюгрЬЬше йе К яиг 1'шгегча11е оичсгс ) — 1, 1(.
3) Бо(епг 1 Гшлегча11е (О, 1) йе К,у'ип ЬоплеоплогрЫяпле йе 1 зиг 1и1-ш5гпе ге1 с!иеЯО) = О, 7'(1) = 1. Мопггег с!и'11 ехыие ипе арр1лсайоп сопгпше у с1е 1 х 1 с1апя 1 ге11е срле: 1'роиг зоил х и 1, д(х, 0) = х, у(х, 1) = Дх) ! 2в роиг сои!у и 1, Гарр1лсайоп рагглс11е хв-чу(х, у) езл ип ЬогпеопюгрЬыпле с1е 1 яиг 1ш-шегпе ле! срле д(0, у) = О, у(1, у) = 1. 4] Мопсгег срлс 1а згплсгиге ип1Гогшс яиг К 1пс1шле раг 1'шисрлс ялгисгиге иппогше с1с К сяс апсгеплеШ плошв 6пе г!ис !а ясгиссиге шигоппе айй1йче йе К.
5) 1 огвс!ос1с рошг (х,у) гспс1 чегв (-1- со, — оо) еп сеяла~ля йапя К х К, пюпггег г1ие ГепяегпЫс йся ча!сига й'айЬегепсс йе 1а Ропсгюп х + у сзг сйепги!ие а К. !7е плепле, 1огяс1ис (х, у) лспй чегз (О, 4 со) еп гезгапс йапз К х К, 1'епвсплЫе с1ся ча1еигз й'айЬ5гспсе л1е ху сзл 1йепл)с!лле 5 К. 6) Моплгег грле соиле ропсгюп гагюппе1!е Р(х))Я(х) а сое(6с)спгз йапв К, с1ейшс с1апя 1'епяешЫе г1ев рошы оЬ Я(х) ~ О, реш зе рго1оп3ег раг сопйпшгс аих рошы 4 со ел — со (еп ргепапг яев ча1еигя йапз К). 5) 7) Яо1г Е ип епзелпЫе сова!елпепг огйоппЕ а\ 3олл Ел Гая)леяеяичлг г)е Е (Е, 111, р.
72, ехегс, 15Ь спяешЫе гога1слпепг огйоппе с)опг 1ез е1еплспь вопя !ев рагйев Х йе Е ле11ея с(ие л 1 й х и Х сс у ( х, а1огв у и Х; 2 з! Х рогысс)е ТС 1Ъ'.53 кхккссскя ипе Ьогпе яирег1еиге йаьи Е, сенс Ъогпе аррагйспг а Х (сопй1сюп с1и1 сс!и(чанг а й1ге с!ие Х сяг !егше роиг ~~в(Е) (1, р.
91, ехсгс. 5)); 1ся 41сшспи с(е Е, вопя огйоппея раг шс1из)оп. Ринг 1а горо!ну)с . в(Еь), Е„еяг согорасг (! "ьг, р, 47, схсгс, 6 а)). Е'арр11сагюп х ь-х )в —, х) йе Е йапя Е, сяг явггсгегпепг сгоквапге ес в! оп гйспггбе Е а воп 1шаке раг се!ге арр11сайоп, Е езг йепяе йапя Е, сг >в(Е) еяг шйшге раг >я(Еь).
Роиг с!це Е, яо6 соппсхс, 11 Гаш сг 6 ви!Ег с!не Е яок яапа сгои (!Ъ', р. 48, свого. 7). ч) Роиг гонг сагсбпа1 с, йоппег ип ехепьр!е й'еярасе сога1егоспг огйоппс Е соппсхс роиг .~~в(Е) сг ге1 с!не гоиг вувгсше Гопйашепга! с1е чонйпакея срип рошг с!не!сопя!не с1е Е а(с ип сагй(па1 >с (иг116ег а) ег!а гпегЬойе йе !ьг, р. 46, ехсгс. 4 Ь)). с) Ачес 1ея погас(опя с1с а), яоьг Ез 1е вона-спзегпЫе с1и ргос1шг 1ех(сокгарЬ)ь!ие Е, х ( — 1, О, !), согпр1егпспсаьге с1е1'епяспьЫс Гогшс: 1в с1ез роши (х, 0), ои х ф Е; 2Я с(св рошгз (х, 1) оц х н Е ег 1'епзепьЫе ь1ез у > х с1апя Е а ип р1цз рес6 е1еьиепг; Зв с(ся роьпгя (х, — 1) ои х н Е ос!'епзепьЫе йову < х йапя Е а ип р1ив Егапй е1ешепс.
Мопггег с!не Ев, пшш' ь1е .Ув(Ев), еяс соньрасс ег гога1епьепс й(зсопг1пи, с!ие Е я'1йепг16ьс раг 1'арр1юайоп ягг(сгсшепг сго1звапге х в (х, 0) а ипе рагие раггоиг йепяе йе Ез ес с!нс 1а горо!ну(с 1пйшге виг Е раг ~в(Ев) еяг !а горо1о81е й1зсгеге. й) Бок Е' ип епвешЫс гога1егпепг огйонпс сопгепапг Е, шс1швапг яиг Е 1а зггисгиге сГогйге с1оппее, сопьРасс Роиг Хв(Е') ес Гс! с!нс Е Яо(С с1спве йапв Е' Роиг се!се ГоРо1о81е. Мопсгег срл'11 ехзне ипс арр11сагюп яиг1ссйче его!ваап!с ег сопсннье 7: Е' — в Е, ег ипе арр1ьсайоп яиг!есйче сгоьзвапге ег сопгшис у: Ез — в Е', с1ш вс гейшзспг а 1'арр!1сайоп гйепйсрве с1апв Е.