Bourbaki - Topologie generale (Elements de mathematique) (947346), страница 89
Текст из файла (страница 89)
2 беГш1егча11е)Ь/2и, +со) бей, Роцг соцгхо ха~, розопз и„(х) = 2 " ', охи(х); х=г 1! сзг шппейаг Чце 1а зшге (и„(х))„д езг сто(ззапге ег а|1|пег х роцг 1шбге 11апв ас. Ка зшге без Еопсбопз 7 = и„Е езг бопс сго)ззапге ег сопчегде чсгз Е, ес я.2" -г Гоп а Е„' = 2 "~~~ у|ига „1, оц с)(Ь, п) езг ГепвешЫС оцчегс Я()Ь)2", +со)) бе а=г Е (1Ъ', р. 29, ргор. 1).
Ркороятюгя 4. — Роит уи'ипе7опеггоп питетгуие7, |Ее)пге гуапя ип еярасе 1оуо1о~гуие Е, яогг яетг'-еопггпие ггуепеитетеп! еп ип)гоги! а О Е, г(Еаиг ег 12 яи(ггг уие 1|т. гпЕ7 (х) = Е(а) х а (оц, се с)ц1 геч)еп1 ац шешс, 11це 1гш.шЕЕ(х) > Е(а)). х а Ка сопйбоп сзг песеееагте, Кп е1Есг, срзе1 с)це зогг Ь < Е(а), 11 схгзге цп чо121- паде ят бе а ге1 с)це Ь <Е(х) срзе1 с)це зогг хе'ят, 11опс Ь < шЕЕ(х) < 1пп.шЕЕ(х) ха' х а (1зт, р. 23, Еогпш1ез (12)), ег раг зшгеЕ(а) < 1пп.шЕЕ(х).
1а сопбшоп езг х а гиЯап1е; сп еЕЕе1, я' с11е езг чйпбее, роцг 1оц! Ь < Е(а), 11 схгзге цп чо1зшаде 'Ч 11е а ге1 срге Ь < гпЕ Е(х), 11опс Еезг зспп-сопбпце 1пЕепецгешеп! ац рошг а. хяЧ Ркороятюгг 5. — $огг Е ипеЕопе1гоп питепуие уие1сопуие, |!у|иге |гааз ипе фатве 1)атгоиг агепее А пои п его асе гоЕго1оегуие Е; яг, )гоит гои! х О Е, оп)гоге у(х) = 1ип. 1пЕ Е(у), д езг у х,уяА яетг-еопбпие гтуепеитетеп! ггапе К. Еп е)Ее!, срге1 с1це зо11 Ь < у(х), 11 ех)зге цп чо1зшаде оиоетг 'Ч 11е х гс1 с)це, рош гоцг х с 1т | !А, Ь < 7(х); ог 1г сзг цп чо121падс й'цп с(це1сопс(це 11е зез рошгзу; оп а 11опс 1пп.шЕ 7(х) = д(у) > Ь с)це1 срзе зоцу с 'ят, сроб 1а ргороя у,яяА ябоп. Оп йг срзе д езг 1а Еопсбоп Мди1апяее яетге еопггтгие гтуетгеитетеп! деЕ.
Оп 11ебшг 11с тете 1а тЯ~и1атиее гепп'-еопггпие яифебеитетепг Йе Е; Оп рсш сисогс |1спгйг е готте |и |зги стаи|)е йся Гоисг!оия у яспи"-соийиися !пгспсигспгсиг йапя Е, сг гс1!ся ггис о(х) < т (х) ггис1 ггис яок х и Л. Е! Е сяг яет|и еяпг!иие !твет!еигегиеиг |1аия Л, у сяг ип рго|яиаятяпс йс„Г а Е, |Гаргся 1а ргор, 3. ТС 1Ч.32 гвомкакв Вкккз 97. БОММЕБ ЕТ РКОЖЛТБ 1ХРя)ХЕБ ВЕ ХОМВКЕБ КЙЕЕБ Сошше соц! рош! с1е К роввес1е цп вутеше Еопс1ашепса1 вуепотБгаБ(с с1е чо!яшнев (ЕЧ, р. 4, еого11аце), цпе Еап611е (х,) с1е погпЬгев гее1в У)пи пе рецс с!ге вогпшаЫе с1апв К с!це з1 ГепзешЫе с1ев !побоев в се1в с)це х, Ф О езс йпотБтаБ(з (Ш, р. 39, сог.
1). песце)е с)ев Еапп11ев зопнпаЫев с)апв К ез! с)опе еззеп6е11ешеп! гашепее а ее11е с1ез жуег вопипаЫез. ТоцсеЕо(в, »1 агг)чега с!ц'оп аК Б сопя)с)егег цпе Еапп11е поп с)епошЬгаЫе (х,) с)е пошЬгев гбе)з 6п(з, с)оп! 1ез сеппез вегоп! Еопс6опв сГцп рагаше!ге у; 11 роцгга зе Еа(ге с!це сеие Еапп11е воК вопппаЪ!е срге! с)це яоК у, ша(в срге ГепвешЫе (с(спошЪгаЫе) с1ея шс(!сев с се1в с!ие х, Ф О скрепе)е с!е с. Ацзз( пе Еегопз-поцв, с)апз се с)ц1 вц(с, ацецпе Ьуро(Ьеве вцг 1е сагс1ша1 с)е ГепвешЫе с1ев шйеев.
1. РазпШев воп»зпа)»1ев в)апв К в)е поп»У»гев Кп)в ров)е)Хв Тнкоккмк 1. — Роит суп'ппс Уптз((с (х,) п«е потЬгез т1еЬЯпи > О т6 зоттаБ(с с(апз К, гу уаиу су »1 гпЯ суис ГспзстЫе п«сз готтег 1«атбсПся увпгсз вус се!ус упт(уус зо»2 тауотс »Уапя К, Еа Богаз хиу«епеитс «Уе ссс стятБ(с еяу а1отг Уа готте с«с 1а УптгИе (х,). Еп е(Ее!в роцг соц!е раг6ебше Нс)е1'епвешЫесГ(пйеев1,ровопз зп = Х х„' аяа сопипе 1ез х, зоп! > О, 1а ге1асюп Н ~ Н' епсгаше яа < га .
Еп сГац!хев сегшез, Гарр1геасюп Н «-э яп ез! сгошаиус с)апз ГепвегпЫе 61!гапс 6(1) с)ез раг6ез 6шев с)е 11 с)опе (Е'»У, р. 18, сого11агге), роцг с)ц'е11е аК цпе 1пшсе 6ше, 11 Еаи! ес 11 зц(Е»! с!ц'е11е зоК тауоие. гестас«уис. — Бо(! (Нх) цпе Еапи11е с1е раг6ез бп)ея с1е 1 се11е с)це, роцг !оцсе раг6е 6ше Н с1е 1, 11 ех)зсе цп шйее Х се1 с!це Н ~ Нх; роцг с)це (х,) зоК вошшаЫе, 11 Еац! ес 11 вцЕ6! еч!с)епппепс с)це 1а Еапп11е с1ез яп, зоК тауогзс с1апв К. Еп раг6ец!гег, воК (х„) цпе вшсе с1е пошЬгев 6шз > О, е! розопв, роцг !оц! епбег п, я„= л' х„; роцг с!це 1а вшсе (х„) зоК вопппаЫе с1апвК, !1 Еацс ес !1 зц(6!с!ие, »=о роцг ипс лагг среп6егз зсПссешеп! его)ваап!е (ггх), 1а зш!е раг6е11е (гзя) воК тауогзз с1апя К. Ехзту«уез.
— 1) Ропг гош потЬгс з гс! супе О < «у < 1, 1а яшге (зв) (в рговгсяя(оп Вв«1 Ксогпесг(г!пе в)е галоп д») еяг яопппаЫс с1апз К, саг з„= <; 1а Й 1 зоп«гпе с!с се!ге япбе е»1 1«гп »„=— 1 †2) Яо(е««г а ег Ь »1спх поп«Ьгея се!з супе О < а < 1, О < Ь < 1; 1а ва«п111е (а"Ь")с,„,»«зв в езг зогп|паЫе с1апв К. Еп еКег, госсе рагбе Опгс с1е Х х Х сзг сопгеппе в!япя ппс рагпе с!е!а 1оггпе (О,»ь) х (О, Ь),' ег 1'оп а 1 — а»+' 1 — Ьз" .4,„:~," ' = Я," )Я,') ! — з ' ! — Ь - (! — з)(1 — Ь)' !»(а 1 воммкв кт рноппггв псгппв пк ыомвнкв нкккв ТС 1в!.ЗЗ 3) Роит сои! сппсг о > 1, 1а яи!йс (л») (л > О) сяв яовпшгЫс, саг оп а г з»в — вг» = 2.
(2» -1- К) Р < 2» (2»)» с!'ой, сп а)писал! шсшЬгс а шсшЬтс сея !псда16ся 1 зг»< ! 2в» Ф) 1.а яи!сс (1(л) (л > О) и'сз! рая зопппаЫс с)апв вс, саг оп а я»в — в,= х.— >— 㻠㻠— Я.»2» -1- У 2»'' 2 сГпй, сп а)ошапс тпстпЬгс г шсшЬгс > л/2 св 1с ст!ветс Йи сЬ. 1 п'сз! с)опс рав за!и!а!и 5) Яо!! (1») ипс яшсс сГ!псстчаПся пиисгтя поп гЫсв, валя ро!и! сопипип в!еих г с1сих, сои!опия Йапв ип !пссгга!1с с!с 1опаисит Йп!с 1; 1а зогпшс с)ся 1опяисигя Й'ип ппшЬгс йш с!'!пвстиа11ся с!с се!!с Еаш!!1с ся! <! (1»т, р. 5), с!опс 1а Еапи11с в!св 1опяисшя йсх 1» юс зоштпаЫс йапя вв, сс яа зотптпс св! < !. Тнконймк 2 (рлпс(ре с(е сошрагагвоп). — Завел! (х,)„, е! (у,)„, в(еих Еатйег аве потЬтеюЯл(г > О, !еИи дие х, < у, уие1 уие зов! в. Яв' (у,) ег! зоттаЫе в(алг К, в( ел ег! в(е тете в(е (х,) е! ол а Х х, < Х у,; зв ел ои!те в( ехвзее ил (лйее зс !е1 див х„< у„, в опаХх, < Ху,.
Е.'Ьуро(Ьеве еп!га!пе с(пе, ропг соше раг6е 6ше Н с(е 1, Х х, < Х у„ н' нп сГой 1а ргеппеге раг6е с1п 1Ьеогеше, с1'аргев 1е 1Ь. 1; Гшеда1йе впг 1ев вопппев гевп11е с1п ргшс(ре с1е рго1опдегпеп! с(ев 1пепса111ев (1»т, р. 18, 1Ь. 1). 81 х, < у„ оп а Х~,=~,+1~, у„+Ху,=Ху,. Се 1Ьеогетпе Еоигпй 1е сПсеге 1е р1пв Егсс(пепипеп! ешр!оус ропг с1ес(с(ег в( ппе вш!е (х,) с1е пошЬгев ров(пЕв евс ои поп вопппаЫе с1апв К; оп сЬегсЬе а 1а сот!) атее а ппе вш!е (у„) р1пв в(шр!е, ропг 1ас(пе!1е оп ва(! с(е) а т6 е11е ев! вопппаЫе оп поп; в'11 ех(все цп пошЬге 6ш а > О се1 с(пе х„< ау„роцг !опс и а рагбг сГпп сегсаш гап8, сс вв (у„) св! воштпаЫе, 11 еп евс с(е тпстпе с(е (х„); з( аи сап!гане 11 ех(в!е пп пошЬге 6ш 5 > О !е1 с(пе х„> уу„ропг !оп! п а ратас српп сег!аш гана, е! в( (у») п'евс рав вопппаЫе с1апв К, (х„) п'евс рая вошпгаЫе с1апв К.
Моцв ъеггопв п11еПешешеп! (Р'зтК, Ч, ф4) сопппепс реп! ве Еагге сес!е гесЬегсЬе с1ев вш1ев с1е сошрага(воп с1апв 1ев сав с(ш ве ргевепсеп! 1е р1пв Ег61пепипеп1. /ам Ехеп р!ев. — 1) Сопя!с!стоп», рост ип потпЪгс гсс! Йп! а > О, 1а яшсс ( — ) ! япп лг ~л)) 1с р1из реп! спасе сс! с!ис а < л» Рпиг !оис л > лг, оп а ТС 1Ч.34 !домпккв ккккв а тозд ед еопипе о = — < 1, !а зшде (оз "ю) езд яопдпдаЫе, с1опе аиззд ( — ) ° ло (гл!) 2) Бо)д (а,) ипе зшде зопипаЫе с!е погпЪгез роз(д16; сопипе 1дпд аз = О, д1 ехйде ип епд)ег ля се! ярде, роиг л > ля, о„< 1; раг зшде, роиг дошл > ля, оа < и„, се срп' гпопсге г!ие 1а яшде (аа) езд зопипаЫе с(апз К; 11 еп езд с1е шяше с1е (а1) роиг доид епбег у > 1.
3) Бо)епд а ед о г)еих пошЪгез де1з ядие а > 1, о > 1; оп а 1 1 а" + Б" 2(у'а)л(чтя)"' 1 г(опс 1а дапп!!е ! ) езд зопипаЫе сдала К. з,о" -1- ОЯ/ Сокоы.адик. — Яодй (х,)„, иле ~атдПе дотлдаЫе д(апд К е(е пототед (дпй > О; роит !ои1е фат!де Н е(е 1, оп а 1ед ддеих тетотед п'едал! еуаих дие дд' х, = О дие1 уие году д с 0Н. 2. лапа!Бел вопззивЫев зявпв К Ке поиъЬгев йпгв з!е в!Кое згпе1еопегпе Тнкоккмк 3. — $одг (х,), д ипетатЖе аде лот)дтед тее1» 1)пдд, Хез утоупеуед зииап1ед долг едидоа1еп!ез: а) (а)атдИе (х,) едс зоттаЫе адапз К; Ь) 1а)атд((е (/х,) ) ез! доттаЫе сдапз К; с) Гетнетв(е Ыед доттед фатйейед )дпдед е(е (а~атд((е (х,) едг Ьотле сдапд К.
Бой 1, ГепяегпЫе с1ея д о 1 се1я срде х, > О, 1я ГепяетЫе с1ев г о 1 се1в с(не х, < О. Ронг срде 1а Гат)11е (х,)„, (гевр. ((х,()„д) яой яопнпаЫе, д1 Ганс е! 11 Ян(й! с(не сЬаснп с)ев Еапн11ев (х,)„,, ед (х,)„,, (гсвР. ((х,()„д, е! ((х,!)„д,) 1е яой (П1, р. 39, ргор. 2 ес П1, р. 41, ргор. 3). Ог, д1 гечдеп! ан те!не с1е с)1ге с(не (х )„,, ев! вопппаЫе, он с(не ((х,()„,, еяс зопнпаЫе, он срде ГепяедпЫе с1ев вопнпея рагйе1!ев йшев с(е 1а Гат(11е (х,)„д, ев! Ьогпс (1чт, р. 32, !Ь. 1); ес 1а тете аввегйоп евс ча1аЫе еп гстр1ачапс 1д раг 1я.
1)'ой аняйсос 1е сЬеогете. 1.е гЬ. 3 гпоп!ге срде Гсднс1е с1е 1а яопнпаЬ1111е с1апз К сГнпе Гат(11е с(е потйгев гее1я йшв ев! епйедгетеп! гашение а сс11е йс 1а Гатд11е с(е 1енгв ча1енгя аЬво1нея. Карре1опв (Ш, р. 42, ргор. б) Чне, в1 (х,) е! (у,) яопс с(енх Гатд11ев вопдтаЫев с)е потЬгев гее1в йшв, 1а Гадпд11е (х, + у,) ев! вопнпаЫе, е! Х (х, + у,) = е~ х, + Ху,.
Еп он!ге, й (х,) евс нпе Гат(11е вопнпаЫе с(е потЬгев гее1в йшв, ес а нп потЬге йш с(пе1сопсрде, 1а Гат)11е (ах,) ев! вопнпаЫе с)ад!в К, ес оп а Х ах; = а. Х х,. з ТС 1У.36 номвнкв нинся Сез ге1асюпв вопс ечсс1епсев в1» = 1; е11ев вс с(спюпсгепс раг гесштепсе виг». 61 П (1 + а,) > 1 + Х а„ оп а р Р 1 П (1 + а,) > (1 + ар) (1 + Х а,) р 1 р =1+ Ха,+ар.Ха,>1+ Хар 1-1 ' " 1=1 1=1 Срс тете, в1 Р 1 П(1 — а,) > 1 — Ха„ оп а Р р Р П (1 — а,) > (1 — ар)(1 — Х а,) = 1 — Х а, + ар. Х а, > 1 — Х ав Се 1спипе есапс с1етопсгс, гетагс!иопв ссие, в1 1а Гат111е (1 + и,) евс пш16- р11аЫе, 1! еп евс 11е тете 11ев Гат(11ев (1 + и,+) ес (1 — и, ) ршвсрсе КР евс ип дгоире сотр1ес (1П, р.
39, ргор. 2); ес гессргоссиетепс, в1 1св Гат111ев (1 + и,+) ес (1 — и, ) зопс пш16р11аЫсв, 11 еп еяс с!с тете с(е (1 + и,) (П1, р. 41, ргор. 3). Оп реис с)опс ве Ьогпег а сопя!с)егег верагестепс 1е сая оЬ соив 1ев и, вопс > О, еС се1ш ой 1!в вопС Сопя < О. Бирровопв С('аЬогс! и, > 0 с!ие! с)ие воп 1. 31 !а Гапи!1е (1 + и,) евс пш16- р11аЫе, роиг соис з > О 11 ех1все ипе раг6е 6ше ! с!с !'епветЫе с!'1пс!!сев 1 се11е с)ие, роиг соисе раг6е 6псе Н с)е 1 пе гепсопсгапс рав 1, оп ай 1 <П(1+и) < 1+в; с)'аргев (2), 11 еп геви!се с(ие Х и, < я, се с!ш пюпсге ссие (и,) евс вопипаЫе ссапв 1ЕН К еп чегси с!и сгссеге с!е СаисЬу (1П, р. 38, сЬ.
1). КсссргосСистепс, вирровопз (и,) зопипаЫс ссапз К. Роиг соис я се1 сСис 0 < з < 1, 11 ехгвсе ипе ратас 6ше Я 11е 1 себе срае, роиг соисс раг6е 6ше Н де 1 пе гепсопсгапс рав ), оп агс 0 < Х и, < я. П'аргев (3), оп а с!опс ~РН 1 П (1 — и,) > 1 — в; та!в оп а 1 + и < роиг соис потЬге и се1 с!Не ВЕН 1 — и 0 < и < 1, 11опс 1 <П(1+и) < 1 се ссш пюпСге с)ие (1 + и,) езг пш16р11аЫе (сгсгс1ге с(е СаисЬу). зоммкв кт ркопцгтв ггвкгвггя пк момвккв кккгл ТС 1вт.37 Ме 5 1.а сЫтопвсгабоп еМ апа1ойце 1огяс1це соцв 1ев и, вопс < О. Роцг ЬсаЫ!г сряе (и,) свс вопппаЫе !огас)це (1 + и,) сяс тц111рйаЫе, оп ц61!вега !с! 1а Гогтц1е (2), 1 атя с)це ГтЬйайсе 1 — и < роцгО < и < 1;роцгтопсгсгс(це (1 + и,) 1+ и еяг пш1брйаЫе !огас(це (и,) евг вопппаЫе, оп ц61!вега 1а Гогтц!е (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
