Bourbaki - Topologie generale (Elements de mathematique) (947346), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Хоив айоршпв сене сопчепсшп Ьшл ся ззатаятглрй ес Ыаш Еел иоп лшзапгл; сЬас!ие ГаЬ с)слс поил !'ас)орссгопв раг 1а вшсе, пою в!ипа!стопа ехргсввешепс а срле11с рагс!е с1и ссхш е11е в'есепс). о! а евс оп пошЬге тес! Пп!, 1ев1псегча1!ев !а, + оо! ес ) — со, а) (гевр. ) а, 4 ш! ес ) — со, а!) »)е К вопя сопсепы с1апв К ес Ысписрлев аих 1псегча1!ев с)е К с)Св!спев 1ивсрл'кл раг 1ев погас!опв !а, -»! сс )» —, а) (гевр.
) а, -»! сс )» —, а !) ! сев поиче11св посапопв вопя Ьеаисоир р!ив Егяс!испипспс сшр1оуясв. Ве гпегпе К ея 1с)епс)ссис а р)пссгча11е ) — со, + со! с)е%; оп 1е с)ев)ипе рагЕоЬ раг ссссо посайоп. Ркороястгом 2. — Тои! Ьот1отофЬсяте~с)е К гит ип тпгетаПе )а, Ь! яе !!то!опде еп ип ЬотдототРЬсгте ~йе К яит(а, Ь); яс ЕтшС ипе )опсг(оп стоиьапгсяу ег1 ип !яототфЬите г)е !а г)тисгите с)'отс)те псе К яит сеПе с(е !(а, Ь).
Еп еКе1, яой сраЬогс) Е ип ЬошеошогрЬ)япе его)яяапг. % оп рго!опие Е' а К еп рояапс /( — со) = а, Е'(+со) = Ь, П еяс пшпссПас с!ие/'еягипе арр1кабоп яггкгешепг его!яяапсс (с1опс Ь!)есс!че) с1е Й яиг 1а, Ь). ЕПе арр1и~ие с1опс сонг шгегчаПе оичегг с)е Й яиг ип шгегчаПе оичегс раг гаррот! а 1(а, Ь), с)опс еяг ип Ьошеошогр)пяпе с)е К яиг 1а, Ь), еп чегго с)е 1а с)етЕ 1, ес с)е 1а ргор.
5 с)е 1 ят, р. 5. Я 1 еяс с)сего)яяап1, оп аррПс)иста се с)и1 ргесес1е а !'ЬошсошогрЬ)яше сгоыяапс х г-~ — Я(х) с1е К яиг ) — Ь, — а !(. Тоигея 1ея ргорг)егЬя с)е РшсегчаПе яа, Ь), оЬГепиея аи 2 2, с)и1 пс Еопг шяегчешг с!ие 1а яягисяиге срогс)ге ес !а горо!пи)е с1е се! шгегчаПе, яе ггапярогсепс с1опс а К, сГои 1ся ргорояПопя яшчапсся: Ркороягтюсг 3. — л.а с)то)ге пггтс!т!г)ие асйеиее егг сот!гааге. 1! ех!яе с1опс 111, р.
27, сЬ. 1) ипе ягиссиге ип1Гогше ес ипе веи1е сошрас1Ые ачсс !а горо!ои!е »1е К; сенс всгисшге свс лвогпогрЬе а 1а всгиссиге ишгоппс ик1шсс виг !л, Ь) рас 1а ясгисплге ип11огплс ас!»)1с!че »1е К. Ма!* !1 Ганс гешагссслгг с!глс 1а всгиссиге ип)Госте гаг)осте виг К раг се!1с с)е Й (всгисшгс с)ш евс соплрайЫе ачсс 1а соро1оипе с)с 1а с)го)се пашет!с)ие) а'ялт рал !а лттытите иплТвтте айййсг с!е К; саг роиг сене с!егп1сгс К евс ип еврасе сотр)ят, а1огв с)ие К п'ся рав ип вот-еврасе сошр1сс с!е К, ршвс)ие К п'свс рав Геггпе с)апв К.
Ркороягтгом 4. — Тои1с !лат!те поп стоге 1е Й Ьоягет)е ипе Ьотпе яи!лсттеите ес ипе Ьоттиг гафт)сии е. Еа Ьогпс яирег)сиге (геяр. !пЕег)сиге) с)'ипе рагуне поп чЫе А с)с К яе посс яир А (геяр. шЕА). Оп а сч)с!епппепс (1) шЕА < яир А. Яо 5 сА пао1та кимйагдия Аснечйе ТС 1вт.15 61 А ~ В, яир А < яир В ес 1пГЛ > 1пГВ (Е, 111, р. 10, ргор.
4). Раороягтгогч 5. — Роит ди'ипе(гас!ге Л гГе К гоге соппехе, г(Цаи! е! П сифе дие Л еогП ип гпеетоаПе. Сокоыслжк. — Еа с(тогПе питепдие асйеоее ее! ип ее)гасе соппехе е! 1оса1етеп! сотгехе. Раороктюся 6. — Роит диипе аррГгсаегоп ~гдалг К гдип гпйчоаПе 1 с(е К гоге ип Гготео- тотРЬ15те сге 1 сит) (1), г7Цаие ег П еитгг! дие7 еог! еепсеетпеп! топоеопе е! сопгтие гГапз 1; Г (1) еве а!оте ип гпеетиаПе где К. Еп6п, 1ея Гопсбопя яир(х, у) сс гпГ(х, у) яопс сопбпиеь с1апя К х К.
3. г 'агЫвсгов ег 1а вгвШрйсагяов г!ава К Раороя!т!отг 7. — е,а Гипс!гоп х + у феиг егте фтоГопдее Ггат сопггпгггге' а с)гасип сгее епеетИее А' х А', А" х А", пггоап! Гее 7оппи(ев с х + (+ о) = (+ о) + х = + о (х ~ — о) х + ( — со) = ( — со) + х = — оо (х Ф + со). (2) Мопггопя раг ехетр1е с(ие, 1олс(ие (х,у) сепб чего 1е ро(пг (а, +со) (а ~ — со), еп гсясапс с1апя К х К, х + у сепс1 чел + со. Еп сбег, 11 ехлге ип потЪге 6пг г! < а, есртсегчаВс ) Гг, + со) еяс ип чо(я(паде с1е а с1апя К; с1ие1 с)ие яо(! с6ш, 1ея ге1абопях ) гг,у > с — Гг еггггагпепс х + у > с, се с(ш топ!тес(ие х + у евг аияб чо(я(п с!и'оп чсш с1с + со 1огяс!ис (х, у) сяс авосек чогбп с1с (а, + со) . Оп га(яоппе бе тете бапя 1ея аисгея сая.
Раг сооггсх -т у гг'арыоеПтие аихрогогв ( — оэ, + со) сг (+ оэ, — со) с1сК х К; со сйег, в! х ~- у ачагг ипс!Ьписд (Ваге ои гойпге) 1огвг!ос (х,у) гсог! чел (+ го, — оо) со гсвгаог с1аов К х К, 11 сп гсг а1гсгап грлс, роог гош о Впг, 1а Гопсг!оп (х + аг — х гсойга!г чсгв в1огвггое к гспгГ чсгв г- со сп гсыаог с!аов К, сс сги! свг аЬвогс1с, ро!вегас (х ~- о) — х = о, сг с!ос о свг агЬпга!гс. 1.а Гопсбоп х + у аррбс(ие А' х А' (геяр. А" х А") с1апя А' (гсяр. А") . С'еяс с1опс ипе Го( аге сотфотПгоп бапя А' (гсяр. А") с(ш рго1опис 1'асЫ)боп бапя К; еп чегго с1и рппсгре с1е рго1опиетепг с1ея Ыепбсея (1, р.
53, сог. 1), сессе 1о1 еяс К.статс(иопя сГаЪогд цис 1а Гопсбоп — х яе рго1опие раг сопбпшгГ а К, яшчапс 1ея Гогти1ся — (+ со) = — со ес — ( — со) = +со; 1а Гопсг)оп агпб рго1опцСс еяг епсоге ип ЪотеотогрЪ(яте бе К яиг 1ш-тете. Еп яесопс1 11еи, сопя(сЫгопя 1ея Гопсбопя х + у ес ху, с1е6шея с1апя К х К, а ча1ешя бапя К; б оп сопяЫеге с(и'е11ея ргеппепс 1еигя ча1еигя агапе Пес(гасе ео)гоГодгдие К, поия а11опя чо(г с(и'оп реиг аияя1 1ея рго1опиег раг сопбпшгс еп сегга(пя ро(пся с1е К х К. Еп се с)ш сопсегпе х + у, рояопя А' = ) — со, + со), А" = 1- со, + со(! оп а 1а ргороябоп яшчапге: ТС 1чг.16 геомВеея Йееея соттигаг(ое ес аггоеГайое10 езг еуетепг пеиРе роиг сессе 1о1; 1е яеи1 е1етепс с!е А' поп зГтЫфаИе (А, 1, р.
15) еяс + со, с1'аргея 1ея Гогпш1ея (2). й1 х, у, а, е яопс с1ся ро(пся с1е К се1я с!ие х < у ес х < г, оп а х + г < у + е 1огзс)ие 1ея с1сих тетЬгея с1е сесге 1пееа11сес яопс с1ейпес Оп псгсга г1пс, с1апв зв, 1а гс1апсп х < у п'спгга1пс х + х < у + е с1пс 1сгвсгпс х сы аЫ, сраргсв1св Гсппп1св (2); оп чсг1Ггс айстспг с1пс 1св гс1аггппв х < у сг е < г спгга1пспг спссгс х + з < у + г 1агвс1пс 1св с1спх пгспгЬгсв г1с ссггс 1пеиа11г6 спг пп вспв. Оп розе епсоге, с1апя К, х» = яир(х, 0), х = яир( — х, 0)„(х! = яир(х, — х); оп ас1опс (+со)' = ( — со) = +со, (+со) = ( — со)+ = О, (+ оо( = ( — оо! = + со. Еея яопипея х — х ес х+ + х опс ип яепя с!ие1 с1ие яо11 х ~ К, ес ча1епс с1опс геяресс(четепс х ес !х! сГаргея 1е рг!пс!ре с1е рго1ощетепс с(ся Ыепг!сея.
Еп оисге, сЬас!ие Го!я с!ие 1а яопипе х + у еяг с)ейп(е, оп а !х + у( < !х! + 1у(. Оп псгсга раг сспггс с1пс 1св Гсггпп1св (6) сг (7) с1с Гч', р. 2, рспчспг ссввсг суача1г пп вспв ропг сета!пса ча1спгв с!с х агу с1апв К; раг схсгрР1, рспг х = — сс, у = О, сп а впр(х, у) = О, та!в 1а ваттс х + (у — х) с п'свг рав с1сйп1с, саг (у — х)' = + го. Е1ез(епопя та)псепапс раг К* 1е сотр1егпепсагге 11е 0 с1апя К; Гапа!оеие с1е 1а ргор.
7 роиг 1а тиЫр!!салоп еяс 1а зшчапсе: Реорозгтгозг 8. — Ьа 7опейога ху)геиг егге рго1опсее)уаг еопйпиггеа Гепзето)е К» х К*, лигоапе 1ег алости)ез х. (+ со) = (+ со) . х = ~ !+со я)х > 0 (з) ~,— со з)х < Πà — со ей х > О х. ( — со) = ( — со).х = ~(+ со гй х < О. Моиз 1а1ззопз аи 1ессеиг 1а с!етопясгас)оп с(е сессе ргороз11!оп, с!ш еяс апа1оеие а сейе с1е 1а ргор. 7. Оп чо11 с1е тете с!ие ху и'а роз е(е Ытзее аих ротгя (О, + со), (+ со, 0), (О, — со), ( — со, 0) с1е К х К. 1.а Гопсйоп ху сяс ипе ГоГ где сотроп6оп с)апя К», рго1опееапг 1а пш111рйсайоп с1апя К"; сегсе 1о1 еяс аиосхайое ес соттигайое (рг1пс(ре с1е рго1опеетепг с1ея Ыепбсея); е11е асЬпес 1 роиг е1етепс ишсе; 1ея е1егпепгя поп яппр11йаЫея с1апз К» яопс + со ег — со.
й1 х < у ес г > О, оп а хд < уг !огас)ие 1ея с!еих тетЬгея с(е се!се)пееа11се яопс с1ейп1з; 1огяс)ие 1е ргос1шс ху а ип яепя, 11 еп еяс с1е тете с1е /х!. )у!, ес оп а Ь!=И Ь! ° Епйп, 1а Гогти1е с(е с!1ясг(Ьис)ч(сс х(у+ а) =ху+ха ~ 5, 1»!с 1 ТС ПГ.!7 омстюмя»гцмаагоцея св! спсогс ча1аЫс, сп чегго ди рг(пс!рс дс рго1опдстспг дся !дспд!ея, !огас!цс !ои!ег 1ся орсгайопя с!ш йгдцгспг ацх дсих тстЬгся зов! с1сйтся. Оп пагега г(пе 1е ргеппег тегпЪгс г(е (4) реп! ачо(г пп зепз запз г(пе 1с зесопг1 зой с1ейп1; 11 за(йг г(е сопя(г!сгег раг схсгпр!с!с саз оп х = 4 со,у = 2, а = — 1, 11 Гаш г!опс п'пзег г(п'ачес ргесапиоп с(е 1а Гоггпп1е г!с г(1»гг(Ъггг(ч(гс г(апз К.
Епйп,роиг сои! с > О, 1а ге!а!!оп )х! > асп!га!вс (1(х! < з, допс1а !опсйоп 1(х, дбйв!с дапв Ка, а роцг !!т!гс 0 !огас!цс х гспд чсгя + со оц — со; с11с яс рго1опдс довс раг сопйпшгс а К*. ~ 5. ГОЬ!СТ1ОЯБ Х1)МЕК1ЯГ.)ЕЯ 1. Ропса!опа ппзззяз4гузев !)алятюм 1. —.бег а!г!г(зсадоиг гГ'ип ететб(е Е даиг Га гГго!!е иитсги(гге гои1 афферз Яопсдопв питегзг!игл (ои !оисйоиг ЫеПез) гГеЯигег агаиг Е. Раг цп аЬив дс !аидам апа!оицс а сс1ц! я!ипа1е дапя 1'»г, р. 14, пои» аррс11сгопя !бис!Гоиг питащигя дейв!ся дапв Е, Мать се !гагауафбс е! с(апг !с зигиаий 1св арр1кадопя с1с Е 11апя К; 1св аррйсайопв с1с Е дапя К ясгоп! арро!бсв~опс6опз питсп'диез Яи(еа 6! Г с! я яоп! дсцх Говсгюпя пи!пег!с!цся дейв!ся дапя Е, 1а гс1айоп Г < д ся! раг дс6шйоп бс(ц!ча1спгс б з с!цс! ~ис во!! х я Е, ( (х) < д(х)»; ссмс гс1айоп ся! цпс ге!айои д'огдге дапя РспвстЫс Кв дев Гопсдопв пшпег!с(цсв с1сйтся дапв Е.
Еп оп!ге, Кв, огс1оппс раг ссмс гс)адоп, ся! цп спястЬ!с ЫГси1е'; сп сйсг, Гд Г'с! д яопг 11сцх 1опсгюпя пцтсгк!цся, 1а Гопсйоп пшпспс!ис б гс11с с!цс, роцг гои! х е Е, б(х) = яцр(Г(х), д(х)), с»1 1а р1ця рой!с 11ся Гопс!юпя пцгпспс!цся с!ш воп! а 1а Го!я > Г сг >ос; сопГогтстспг ацх погагюпя иепега1ся, оп с1сйбпсга ссггс Гопсдоп (с(ш ся! 1а Ьогвс ворог!сцгс с1с Г'сг д с1апя Кв) раг 1а во!аг!оп яцр( Г, ос); с1с тете, 1а Говсйоп пшпег!с!цс еда!с а тГ(Г (х), д(х)) роцг гоцг к я Е, вега во!се !пГ( Г, д). Оп гегпагсрлега г!пе зпр( Г, я) сзг Рарр11саггоп сотрозес с1е 1'арр11саг(оп (а, с) ° з зпр(а, с) г1е К х К г1апз К, ег с1е !'арр11сацоп х г ( Г(х), я(х)) г1с Е г1апз К х К. Оп а ппе ргорг(его апа1ояпе ропг (пГ( Г, з). 1.1пс Гопсгюп пцтег!с(цс Г с1сйтс с(апя цп спястЫс Е ся! д!гс та)оп!е (ггвр.
тгпогсге) с1апя Е, я(Д(Е) ся! цвс рагйс тадогсс с1с А" = ! — со, + со[ (гсяр. цпс рагйс пцпогсс дс А' = ) — со, + оо)) ! Г" ся! д!гс ботпес дапя Е вд сПс сяг а 1а Го!я та)огсс с! пипогбс, с'сяг-а-д!гс я! Г (Е) ся! цпс рагйс Ьогпбс с(е К (гаррс1опя с!цс !сиге рагдс с1с К ся! Ьогпсс). Тогпе Гопсдоп Ъогпее еи с1опс,зги»11а гсс(ргог(пе еы (пехасге сопппе 1с споре 1'ехегпр!с с1с 1а Гопспоп 11х с1апз К*„= 10, 4 лй ТС 1Ч.16 ггомкккя ккккз 2.
Ропсвавпв ппьььйхяьяпев ьаейяяев ьяапв пп еивеьььЫе 6!все Ркорояггюх 1. — вогеп1~ ег о йеих гопсиопг питепоиев, г1фпгев Мати ип етиетЫе Е, ЯЪерат ивгг1!те й. Яг Ьтк ! ег 11т„-д ехгвсепг, е! л, )упит сои!е Ьатсге А о 3, г1 ехиге х о А ге! две Ях) < з(х), оп а 1нп„-. /' < 1ц- д. Роцг егаЫ(г осуге ргороянюп, поня с(етопггегопя!'епопсс яшчапг, г)ш 1ш езг сг)шча1епг: Ркоронтюн 2. — вогепг у е! з г1еих 1Бпсйгопв питетгдиег, г1еЯпгев г1аги ип етиетЫе Е, (г1Мфат ип Я(сте 3. Яг'!нп.;, ! е! 1пп;, о ехи!епй, е! вг 1!то~ > 1цп;, д, г1 ехгвсе ип епветЫе А о 'ьг се! дие,фоат !оий х о А,)г(х) > д(х). Розопя а = 1цпк г, Ь = 11т;,д, сг яо1! с ге! г!це Ь < с < а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
