Bourbaki - Topologie generale (Elements de mathematique) (947346), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Еа Ъогпе вцрег|ецге с 11е А рецс есге сагассбг|вбе раг 1ев 11ецх ргорг|бсев вц|чапсев: 1' Оце! с|це во|с х ыА, х < с. 2' (.тце! г|це во|с а < с, |1 ех|все х о А се1 с|це а < х < с. 1 а Ъогпе вцрег|ецге с| цп епвспгЫе~етте (гпа)оге ес поп ч|с!е) аррагс|епс а сес епяегпЪ|с ес еп сопвс|сце !ее!иг ралИ е!етеггс; 1а Ьогпе вцрбг|ецге сГцпс рагВе А с!це1сопс!це, гпа)огее ес поп РЫе, с!е К, рецс с!Опс Бсге с|БВгп|е сопцпе !е Р!ие рапИ потбте тее! аИБететй а А. 4. Сееаевеесеаввоо гвее сосехеаВее Ркоготтгои 1.
— Роит ди'иле !татйе поп огИе А ае К гоП ил !пгеюаПе, П Баас ес П еиЯ1 дие, диеЬ дие зогелг !ез Роги!1 а, Ь Ие А геП дие а < Ь, !'гпбетоа!!е~етте' Са, б) тои сап!ели Иапз А. ТС 1У.8 ссомвкхя кккс.я 1.а сопс!!с!оп еяс сч1йеттепс песеяяаЬс. Кес!Ргос)цетепс, яцррояопя-1а чег!Ьес. 81 А и'еяс т та)оге т т)посс, 11 еяс !с)еппссце а К, саг, роцг соцс х а К, с1 схЬсе а1огя с!ецх рошся а, о с!е А се1в ссце а < х < о. 81 А сяс тайогй ес поп т(посс, яоЬ 7е яа Ьогпе яцрсг!ецге; ссце1 с)цс яоЬ х < 1, 11 ехЬсе а ес о с)апя А сеЬ с!пей < х < о < 7е,с)опсх аА;А пе рецсс(опсесгес!це Гипс!ея с)ецх(псегча11ея )< —, 1), )< —, 7е (.
Оп гаЬоппе с)е тете с!апя 1ея ацсгея сая. 5. Рахсвеи еоипепеи йе К Тнйокквск 4. — Роит ди'ипе фат6е А йе К еос) еоппехе, су )аис ее г! яиЯ~ дие А яос) ип спсеяа!!е. 1' 1.а сопс)1сюп еяс пеееевагте. 8цррояопя А соппехе; я'11 еяс гсс)ц)с а цп рошс, с'еяс цп шсегна11с. 8!поп, яо)епс а ес о с1еих рошся с1с А ссЬ ссцс а < о; 11 яц!Гсс, сраргся !а ргор. 1 с!с 1ч", р. 7, с!с пюпсгсг с!це соцс х сс1 с!ос а < х < о аррас!(епс а А. Ог, я! оп ача(с х ф А, оп ацгаЬ А ~ й(х); таЬ в(х) еяс 1а гецп)оп с)е ссецх епясспЫся оцчсггя )< —, х ( еС ) х, «С с!ц1 яопС яапя рошС сопипцп ег с!оп! сЬасцп гепсопсге А; А пс яегаЬ с1опс рая соппехе, сопсга1гетепс а ГЬуросЬеяе.
2' 1 а сопс!1с)оп еяс еиуиапсе. Мопсгопя сГаЬогс1 ссце соцс 1псегча11е еотссаес Са, о) еяс соппехе. Роцг соцс епс!ег п > 0 яо)с ~си„репсоцга8е Госте с1ея соцр1ея (х, у) сеЬ с!це (х — у! < 1 си; сраргея 11, р. 32, ргор. 6, !1 яц!Ьс с!е чо)г с!це с!ецх ро!пгя с)цс!сопс)цся х,у с)е Са, о) Се!я с)це х < у рецчспг егге йо!пЬ раг цпе Ъ'и,-сЬа1пе.
8оЬ !о 1е р1цв 8гапс! епс(ег се1 с!ие фп < х, д 1е р1ця 8гапс! епс!ег се1 ссце д)п < у (сея епс!егя ехЬ сепг сГаргея 1е сЬ. 1 с1е ! вг, р. 6); оп а Р < д. 81 д = ф, у — х < 1/и, 1ея ро)псв х ес у Гогтепс с!ййа цпе Ъ'гт-сЬа!пе. 8! д <,Ь, рояопя х, = (,0 + г)/п (1 = 1, 2, „д — р); оп а х, — х < 1/п, у — х, „< 1сп ес х;„, — х; = 11п, с1опс 1ев РошСЯ х, х„хя,..., х, „, У 1оппепС цпе Чц„-сЬа!пе !о!8папс х ес у.
81 та)псепапс 1 еяс цп шсегча11е с!цс!сопс)це поп гсс)ц)с а цп ро(пс, ес а ес о с!ецх рошся с)е 1 сс1я с!це а < о, Г!псегча11е са, о) еяс сопсепц с)апя 1 ес еяс соппехе, ссопс 1 еяс соппехс. Сокоылскк 1. — Еа йто(се питепдие ее! ип ееРаее еоппехе ес !оса!етепс еоппехе. Сокосглскх 2. — Еег зеи!ее фатстез сотсас!ее ес еоппехее йе К еопс !ее спсегоа!!ее 7егтЬ 'оотпй.
С«'архея !е сС«. 4, спе рвете йе К пе сопсепапс ацсцп спсегчаПе поп гейше а ип ротс езс еоеасепипс йкеопипие; !1 еп евс а!пвЬ еп рагс!сц11ег, йе Гепвстше ве йев папвЬгсз гайоппе1з, рц!зеСие !'епвевпгйе Щ йез сотЬгев !гг«вс!оппе!з езс рагсот йепве. Ркорояггсося 2. — Таис епзето!е оиопс поп о!йе йапг К ее! !а тйипдоп й'ипе Ротс!!е йепотбгао!е й '1пгегоа!!ее оиоетЬ, яапг фо!пг еоттип йеих а йеих. ЯоЬ А цп епяетЫе оцчегс поп ч)с)е с1апя К; сопипе К еяс 1оса1степс соппехе, соисс сотроеапсе соппехе с1е А еяс цп епяегпЫе оцчегс соппсхе (1, р. 85, с>1> Ь ТС 11т.9 Ркоркгйтйв пе йА око!те ьспвсккгчспа ргор. 11) с1опс пп спгетоа1)е сияет! с)'аргея 1с сЬ.
4. 1)спх г)ис1сопс)ися с1с сея псссгнаВея яопс сощопгя яапя роспс сопппип; сГапсгс рагс, сЬасип сГспх сопссспс пп пошЪгс гасюппс1, с)опс ГспясшЫс с)с сея шссгчаВся а ппс ршяяапсс 1пГег)сиге а ссВс с1с (~, с'сяс-а-с)1гс сяс »ГепотЬтаИе. Тоис епвсшЫе)рте »1апв К евс »1опс!е сошр1ешепсасге с!с 1а геипюп »1'ипс вшсс (Гсшс ои гпбпгс) (1„) б'спсегча11ев оичегсв вапв роспс со»пиши »1еих а с1сих; сев »пссгча1!ев вопс »11ц 1псегча1!св с>лйеж а!'епвегпЫе Ееппе соп»Ыегс. Ксссрго»Сиешепс, >1 оп ве с1оппс ипе сс11е вшсе Й'1псегча1!св, 1е сошр!сшепсасге ссе 1еиг геишоп езс ип епвешЫе Геппе аис)ис1 сев 1псегча11св вопс сопбяш. Ехеслс>1». — ГЬсбшввопв раг гссиггепсс, ипс Еапи!1с с1спошЬгаЫе (1„„) »С'спссгча1!ев оичегсв, »1еих а с!сих вапв роси» согппшп, с!с 1а спашяге вшчапсс: 1.'спас» л ресин сои>с> 1св ча!сигв >О; роиг сЬасСссе ча1сиг »Се л, р ргепсс 1ев часеигв 1, 2, 3, ° °, 2".
Топя!ев шсегча!1ев 1„> вопс сопсепив »1апв А = 10, 1), ес оп ргепс1 1>, = )~, я( (» бег> шсбсап > бе )О, 11). Бирровопз епвшсе 1ев 2 >' — 1 1псегча11ев 1„» дейпЬ роиг О < л < т, с)е >отсе срсс, и,),„евс1ессг геишоп, репвешЫс А тс Ь)„, вок1а гсипюп с1с 2 +' спсегча11ев Геггпев К„, р (1 < ф < 2»г) с)еих а »1еих 1 вапв роси» соспгпип, ес ауапс сош рош' 1опбцеиг — 31 К„р —— Га, Ь), оп ргспс1 Ь вЂ” о Ь вЂ” оГ а1огя роиг 1 >со 1'спсегча11е оиссгс ) л +, Ь вЂ” — ~ (» бел спегбап > »Се 1'гпсегча11с )о, ЬГ); оп нег!бе !пипес!!асс»цепс с!ие К„р г с С 1,„» с р езс геишоп »1е с!сох 1 1псегча11св оба!о!псв »се !опдцеиг — „,я с)опс А т> 6 ) >, евс геипюп йс 2"+ я шсегча11ев 1 Гегшев с1и)оспы с1с 1опаеиг — > (Гси.
1) . Ггг 1»г 1яа 1».» 1»,> 1»,» 1»,» о а, г в;, » ».б Х»д к» к,ак„' ' К,лк е К1.» . К»а К»,» К»а Ка.» К>» Нише ! 31 К' евс 1е сошр1ешспсасге с!е 1а гсипюп дев 1„> 1'епвешЫе Геппе К = А т> К' евс аррс1е 1'елгетЬГ» С»сойди» ое Сап!от; »1 езс ечЫепипепс сотРо»С (! ч'» р. б, сЬ. 2); сп аисте, >1 евс сосо!»теле»11»голе>ли. Еп ейес, в'с! сопсепай ип спссгча11е 1 »Сс 1опииессг > О, 1 вегас! пест>а!гспсепс сопсепи с)апв ип гпсегча!1с К р, ссопс ва 1опаиеиг вега!с < 113 +' с!ос! с!ис воп и, сс с!ш евс аЬ»игс1е. 6. НоивеоивогрЬ!вивсв»рии !иссхча11с вих ии Гиссхча11с Тнйокймк 5. — оосГ 1 ип спсетоаПе осе К; Ьоит г)и'ипе а1>1ЬГсеаГсоп Г Ие 1 гГапз К го1! ип )сотГотот)г!сссте »Ге 1 зитГ (1), с) (аи! е! с1 гс))с! дие 1 го!1 а!по!епсеп! топо!опе е! сосйспие »Гапг 1; т'(1) ег! аГотз ип спйетоа1)е »Ге К. 1' Еа сопсВ11оп сяс пееееяасте. Еп сКсс, яо)спс а сс Ь с)спх роспся с)с 1 сс1я г)ис а < Ь сс япррояопя раг схстпр1с Д(а) < Г'(Ь), Мопсгопя с)цс 1 сяс ясг)с!с!попс ого)яяапсс йапя 1.
Тоис сраЬогс), я а < с < Ь, оп а пбссяяа)гстпспс Г(а) < Е(е) < ЯЬ); сп с))сс, я оп ана(с раг схсспр1сГ"(а) <Г(Ь) < Г"(с), Г)тпаКс сяомВР.ея Внес.в та в ПО рагус1е 1'шсегча11е са, с) вега!с ип епвеспЫе соппехе (1, р. 82, ргор. 4) ес сопбепбгай бопс Гшсегча11е ( 7(а), 7 (е)); й ех)всега1С раг яшСе х а !(а, е) Се! с!пей(х) = 7 (о), сопсга)гешепс а ГЬуросЬеве с!ие г еяс ш)есбче. Оп еп бебшс с!ие, б х ес у яопс бсих ро!пся бе 1 се1я с!ие х < у, оп а Ях) <Д(у); еп ейег, оп а Яа) <Д(х) <7'(л) роиг а<х<о, 7(а) <7(о) <Я(х) роиг о < х,Ях) < 7(а) < Я(л) ропг к < а; еп гересапс 1с га!яоппешспс роиг а, х сс у аи 1!еи С1е а, й ес х, оп чой с!ие7(х) < 7(у). 2' Еа сопйСюп сяС гифяапге. Яирровопя 7'сопбпие еС ягбсСешепС гпопоСопе (раг ехешр1е, яспссешепс его)вяапсе) с1апя 1; Д(1) еяс соппехс, с1опс еяс ип шсегча11е, ес сопппе 7 свс яспссешепс его!вяапсе, г евс ипе арр11сабоп Ьйесбче бе 1 яигД1).
Еп оисге, !'ипате раг г сГип !псегча11е оичегс асалг 1 евс ип 1псегча11е оичегС лСаля г (1); с1опс (1ч', р. 5, ргор. 5), 7 сяС пп ЬошеошогрЫяше с)е 1 яиг У(1). Яетогуие. — С л ргеппсге раггге ссссо гсогпппеггап!оп ргсссесспгл егаЫС г лп !ай гСп'ппс лррйгайпп оолсглие ес туееггое гсо? осипе К оег еагегетеле толосоле; гГарггл 1а елоппгсо рагбе, пп лпй оспе гипсе осаосиойол елсееаое ес оолстие г ес'ил елеегооССе 1 еголг К еес ил ееотеотогрлилге ое 1 еигГ"(1). 93. 1.Е СОКР5 ПЕЯ ЫОМВКЕЯ КЕЕ?8 1. е а зпп!ссрИпасспп есапл К 1.а сори!ой!с С1е 1а бгойе габоппе!1е 9 еяс поп веи1ешепс сошрабЫе ачес 1а ясгиссиге с1е дгоийе айг)г~'с1е Я„ша!в аияб ачес яа ясгиссиге С1е оогйа Еп ейес, 1а Гопсс!оп ху еяС сопбпие аи рсппс (О, О) С1е лх х Я„саг рош СоиС епбег и > О, 1ея ге!асюпя)х) < 1(л, )у! < 1|п епсгашепс )ху) < 1/пв < 1(л; б'аисге рагс,рош Соис пошЬс'е габоппс! а ,-о О, 1а !опссюп ах еяс сопбпие аи рошс х = О, саг роиг 1 л епс1сг > О, 1а ге1абоп )х! < — епсгаше )ах! < 1!и.
Се1а пюпсге с!ие ху еяс л~а! сопбпие еп соис ро)пс с1е Я х Я (1П, р. 49). Роиг пюпсгег с!ие 1сх сяс сопбпие с1апя Я"', оп ча есаЫ)г, С1е Гачоп р1ия ргсс)яе, с!и'е1!е еяс илЦоттетелг оолбпие (роиг !а всгиссиге абйбче) бапя 1е сошр)сопгепсап.е СГип чо)япаце агЪ!сгасгс яг бе О. Еп ейес, оп а 1 1~ )х — у! х у~ )ху) й ех(все ип епс)ег т > 0 се1 с!ие, роиг сопсх я 0Ч, )х) > 1/т; я х есу яопс с)еих 11 1 ро)псв с1е 1Ч се1я с!ис )х — у! < 1!тол, оп а с1опс ~ — — — < 1/и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
