Bourbaki - Topologie generale (Elements de mathematique) (947346), страница 95
Текст из файла (страница 95)
1) Ео1епс Еь, Ев с1еих епвешЫея огйоппея 61сгапи а с1гоне, ег„ь' цпе !опсйоп пигпепсрье ь)ебпье йапв Е, х Ев ссПе с!не, роиг гонг хь и Е„1'арр1ьсайоп хз -вЯх„хз) яой сгоьшапге с1апв Ев ег с!не, роиг гонг хв н Ез, 1'арр1ьсагюп х, ь-ь-7'(х„хв) яоьг сгоЬвапге йапя Е,.
Мопггег срве, вшчапг !е ргос(шг с1ся 6!ггея с1сз зесйопя с)е Е, ег с1е Ев, 7'а ипе 1ппбе с1апя Кь ека1е а за Ьогпс внрег(сиге. 2) а) Бо1епг у'ипс Гопсгюп пшпсг)ь!це йе6ше йапз ип епяыпЫе Е, А ипе рагйе поп чгйе йе Е, ь!ь ипе Гопсйоп пшпсгщие сго1язапге йс6ше йапя 7'(А). 81 ь7 сзг сопйпие аи рошг а = яирЯх), оп а янр ь!ь(„Г(х)) = ь7(вир)(х)). вх хьа еа ьь) 8оьспс7'иььс Еопсс1оьь пшпегщис ь1ебпье ь1апя ип епяспьЫс Е 61!ге раг ип 61!ге Я, р нпе Гопсгюп пшпсгщне йебп1с йапв ип го!в!паке ончегг 'ьь йе 1'спяегпЫе йев ча1енгз й'айЬегспсе йс7'вн)чанг Я. Мопсгсг с!ис 6 р сяг сгоияапге сг сопгшнс йапз Ъ', оп а 1ьгп.шра(ьр 7) = ьр(1нпишряЯ.
3) Бо1г 7'иьье гоььсв1оп пигпейсрле с1ебше ь1апв шь епвепьЫе ьпбш Е ег вок ьн 1е 61гге ь1ев согпр1ешспга(гев йея рагйез 6п1ея с1с Е. Мопггег с!ие 1нп.вира /езг 1а Ьогпе шрейеиге йе -1 1'епзеньЫе йез поиьЬгсв гсс!я х ге!в с!ие 1'спзегпЫе /'((х, -~- со)) воьг шбпь. 4) Еоьепг (ь у йсих Гопс6опз пигпегщися йсбшея йапя ип епвсшЫе Е 61сгс раг ип 66ге $. Мопггсг с!не 1нп.янр;,(вцр( ь', у)) = вир(1ип.вира7ь 11ш.зирв ф). !7оппег ип ехешр1е сГип епвсшЫс Е 61!ге раг ип 61!ге Гг ег й'цпе Гаш111с шбп1с Я) с1е Гопсйопя пишегщиез йе6шея йапя Е ег ге11е с!ие внр(11ш.зироД < 11ш.виру(вирД. ь ТС 1Ъ'.54 МОМВККЛ ККККЛ 5) Бо)епг „Г, д с1енх Гопсйопя пшпегщиез с1ейп)ея с)аы нп епяегпЫе 6!гге. Мопггег с!не М 1нп я ех1яге ег см > О, оп а !нпншр ф = (1!ш.яирД)(11ш я\ !огас!не 1ея с)енх шепгЬгсз зонг Йейпм. 6) йой Ез (гсяр. Ея) нп епяешЫс 61сгс раг нп 61!ге Яя (геяр.
ГГз), сг зо)г Гипс Гипс!)оп пншегщне с!сйп)е с1апз Е, х Ея. Мопггег раг нп схсгпр!е с!нс 1сз гго)з пошЬгея 11ш.заря „а Дхз, хя), 1пп.яира,(11ш.злр- Дхн хз)), 1!гп.заро (1пп.янушах„хг)) зонг еп кепега1 с!1яг)псгя. 1! 7) йои Гнпе Гопсгюп пшпепцне с!ейп1е г)апз нпе рагйе й:ггпес А с!е К. Оп йсядпе раг 1пп.янушах) (гезу. 11ш.знрЯх)) !а 1нпйе знрепснгс я1сЯх), 1огясуяе х сепг) гсгя нп ро1пг х ахая а а. аа а и А, сп гсзгапг с!апя А ш Га, -~ со) (хсзр.
А гз à — со, л)). Мопсгсг с!нс 1'спясгпЫе с!ея ро!пт а и А гсЬ сузе 1ип.зорких) ~ 1!ш,знрГ!х) сяг с1епошЬгаЪ1е. (Ргоннсг йне, ронг гош а.х з х а ха сонр1е г)е погпЪгся гайоппсЬ р, л гсЬ с!не р < я, ГепясгпЫе Ср а г!ез ро!пгз ли А ге1з Оне 1пп .знр ГГх) < р < я < 1нп .знрГ!х) ада а.х а сяг йспошЬгаЫе, еп нй1ыапг 1'ехегс. 1 йе 1Ъ', р. 4?). 8) Все!н!гс с)с 1'ехегс. 7 с!н'нпе Гопсгюп пшпсгщне Г с!ейп!е йапз нпе рагйе Геггпее А с!е К, ег тала!зле с!апз А, езг сопсшнс с1апя А, занГанх рою!я сГнпе рагйе йепогпЬгаЫе г!е А.
1! 9) Яо)епс Е оп сярасс горо!оа)с!не ас!шсггапг нпе Ьаяе с!еспогпЬгаЫс, Г нпе 1опсйоп пшпег)с!нс с!сйп)е с)апя Е. Мопггег 9не!'спяегпЫс с)сз рою!я х к Е сеЬ с!ие 1нп ?а!х) а.хая ехЬге ег яой еййсгепге с1е„Г(а), еяг йепошЬгаЫе (шсгпе шегЬойе с!не с1апя Гехегс. 7, 7! 10) Яо)епс Е нп еярасе горо1окщие аг)гпесгапс нпе Ъаяс йепогпЪгаЫе (Гга), Гнпе Гопсгюп пшпсгщне г!сйп!е г!апя Е; оп с!!г сузе Г а!ге!пс шг тах?тлт ге!а!!Г я!г1сг сп нп рогп! а и Е яй! сх!згс нп чо!нпайе 1г с)е а гс1 с!не, ронг гонг х и 'аг гя А, ге! с!не х ~ а, оп ай Г!х) < Да). Мопггег с!не 1'спзегпЫе М йся рошгя с1е Е он Г аггсшс нп шахипшп ге!а!)Г я!пес сяг г!епошЬгаЫе. (Сопя!с!сгег 1'епяешЫе г!ез Еа гс1я с!лс Гагсс!дпс еп нп рогпг с!е 1~а нгг пгах!пннп ге1аг1Г зсг)сс ела! а за Ьогпе знрег!снес с!апя 15„; шопггег с!и'!1 саге опс арр!!сагюп с!е сег епзегпЫе ялг М.) 11) йо)г (ла) нпе яшге г!е погпЬгся гес1я > 0 ге!1е сузе !нп и, = О.
Мопсгег с!н'!1 ехЬгс нпе шйп1се сршойсея л гсЬ сузе л„> и„ронг сонг т > л. 12) Бой (л„) нпе яийе с)с попгЬгез гсе1з > 0 ге11е с!не 1нп.шГза = О. Мопсгег с!н'11 ехмге нпе !пйп)ге сГгпсйсез л геЬ сузе л„< л ронг гоп! т < л. 13) Бо)епс (и„) лпс зшге с1с пошЬгея гееЬ 6пЬ, (я„) нпе зшгс яГе попгЬгея > О, ге11ез с!не 1нп я„= О, сс с!не за аз > и„— яа с!не! с!не яой 1'епйег л > О.
Оп розе а = 1ипйшГи„, 6 = 1пп >нр иа; гпопггег сузе ГепяегпЫс г!ез са!снгз сГас1Ьсгепсе с1с 1а знйе (л„) сзг Гшгегча11с Га, 6). 14) Бой (г„) нпс яшге сго1яяапсе г1е погпЬгся Опав > О, се!1с сузе !нп т„= -1- ео; ронг сонг погпЬге гее1 6п! г > О, оп с)ся)апе раг Х(г) 1е р!нз агапа) шг)!се л ге1 сузе г„< г. Мопггег сузе Х(г) . л .. Х(г) .. л 1нп.знр ' = 1ип.янр — я 1нп,шà — = 1ип.шГ-. гл п ТС сЪ'.55 ЕХЕВСССЕо »с15) Бозспс (х„) ипе яшсе »1е позпЬгсв гееЬ йпы, (р„) ипе зшсс йе попзЬгев йпзз >0 се11е з з »Сис 1пп ( зз,аз] = + оо.
Оп рояс ув = ( зззлзхз)7( а'злз] роиг 1ез а сей ссис аз-,аз Ф О. в з о з=о з=о =о Мопсгсг сузе 1пп.шГх„< !ип. шГу„< !пп ишру„< 1ип.яир х„. в Вой Н ипе рагсзс поп чгйс »Сие1соп»Сие с]с 1'спясшЫс йсв ча1сигв »С'а»СЬсгепсе с(е 1а зшсе (х„) »1апя К; пюпсгег с!и'оп реис ссссегпипег 1а яшсе (сь„) »1е пошЬгев >О сеПе срле !пи ( а'.РД = + со, йе загсе орле 1'спвешЫе »1ев ча1еигз й'айЬегспсс йе 1а зшсе (у„) соггезо ропйапсе сопйеппе Н. (Вс гапзепег аи сая ои Н еяс депоспЪгаЫе, ршв йейшг (Гз„) раг гесиггепсе, еп ргепапс яез ссппея сйаих а 0 ои а 1.) Еп с)ес(шгс срзс, рою орле 1а яшсс (х„) соззчегйе йапя К, 11 Гаис сс виГйс с]ие, роиг сои!в зшсе (Р„) с)с погпЬгев >0 Се!1с с!ис 1пп ( а".
Рл) = + со, 1а вшое (У„) сопчсгйе »1апз К. л=о 16) йосспс хо,уо йсих попзЬгез гее1з се1з с]ие 0 < уо < хо,' роиг и > О, оп йейпй раг гссиггепсс с)еих зшсез (х„), (У„) Раг !ев ге1айопз х„»з = (х„4 Уо]72,У„»з = ъ'хвУ„. Мопсгсг с!ие 1ея с!сох яшсез (х„), (у„) сеп»1епс чегя ипе ш4ше 1зписе а (» пюуеппе апсйшесссо-86опзссг]»Сие я ссе хо ес уз); еп оисге, 1!ох!все йея пошЬгез а > О, у се1 орле 0 < у < 1, се1» орле х„— У„< а7»" Роиг Сове а (оЬзегчег с]ие х„, — У„, = (х„— У„)л(4(х„~з 4 У„, с]]. 17) Босс у ипе арр1соайоп с)е )О,!) с!апя ( — 1, 1) се11е »Сие 1!пз у(х] = О.
Мопсгег с]и'!! о,х о ох!все ипе аррйсас!оп сопйпие сгозявапсе ув ес шзе арр1зсас)оп сопйпие йесгойвапсе уз с)с (О, 1) йапя ( — 1, 1), сс!1ез »Сие уд(О) = уз(0) = 0 сс уз(х) < у(х) < уз(х) роиг 0 < х < 1. (Роиг сош спс]сг а > О, соп»Ыегег 1а Ьогпе ]пГепеигс х„йея х сс1я »Сис у(х) > 1)а.) 18) Йсссзс)ге1ея ссейпйюпя ос гези]гася с(ея п" 1 а 6 аих сопссюпз ргепапс!еигз ча1еигя »1апя ип спяепзЫе соса1епзепс огс1оппе Е се! с!ие Е яой сои»расс роиг 1а сори!ой)е ао(Е) (сГ.
1Ъ", р. 47, схсгс. 6). 1) йозс /'ипе арр1зсайоп сопйпие »С'ип 1псегча1!е оичегс 1 < К »1апя К; пюпсгег »Сие й — з „/ (1) сяс оичегс ес зс, роиг сош у и К, РепяепзЫс Г(у] а аи р1из »свих розпь с)со»спася,| сзс пюпосопе. 5(2) йой В ипе Ьавс с)е К сопя)с)сг4 сопипе с»расе чессогсе1 яиг 1е согрв »4 (» Ьаве с)е Нагпе1 в); В п'с»с рав йепопзЬгаЫе (1Ъ', р. 47, ехегс. 2). Босс р ипе Ьцесссоп грипс рагсзс С ~ В»1с В виг!'спзспзЫс В. Оп »Сейпсс ипе арр1зсасзоп Гс]с К л)аззя 1и1-тешс еп розапс, роиг сои! х = 2'. л(ф) 6 (ачсс Лщ и »4, Ля) = 0 яаиГ роиг ип попзЬгс Гии »Ге1есшепь » в йи В), Г(х) = х аЛ(4)Сз(о). Мопсгег с]ие Г(х -1- у] = Г(х) -1- Г(у) шазз »Сие роиг сош »»с -з х и К, Г(х) еяс злпе рагйе рагсоис с1спзс с)с К, се с!ш епсгашс сузе / п'еяс пза)огес п1 зшпогее с)апв аисшз 1псегча11с с!с К.
5( 3) а) Роиг соис юсегча11е 1 и К, оп ййййпе раг С(1) 1с 8гоире с)ея ЬогпеошогрЫзшев йе 1 яиг 1ш-пзеспе. Мопсгег с)ие роиг йсих 1псегча!1ез 1,) с)с К поп гсс(иссв Л ип роспс, С(1) ес С()) яопс иогпогрЬез. Назло С(1), 1'еп»сгпЫе Р(1) с)ев Ьогп4опюгр!зйспез сгоизапся евс ип зоил-8гоире йиппйие 6'зпойсе 2. Тз> 1Ч.56 !вОВшлчЕЯ БЕЕ!.3 Ь) Оп рокс С = С(К), Г = Г(К). Роиг гоиг ) а С, сг сош х а К, оп розе а(х; )) = ядп(Ях) — х). Бор Т+ (гевр.
Т ) 1'спясшЫс с)ея ) о Г веЪ г!ие о(х; 1) яо!г сопягапс ес еаа! а 1 (гезр. — 1) г1апя К; пюпггег г!ие гоиг с1слпепг с1с Т+ (гезр. Т ) сяг сощиаис г1апя Г г!е 1а ггапв1аЕоп х -ч х -1- 1 (гевр, х- в х — 1). (Е1 /'а Т+, сопяЫегег 1а яи]ве г!ея Г" (0] роиг и а У.) в) Оп ровс Т = Т" О Т; шопггсг г!ие гоиг е1ешепг )'а Г п'арраггепапг рав а Т ез! ргог)и]г йаллз Г г(е с)сих е1сшепгв с!с Т.
(ЙсПге у' = /, )а г)апз Г, ачсс (,(х) = вир(х, л'(х)) ег лв(х) = шл"(х, ! (х)); в! Ь езг 1а ггапв1абоп х. ч х -1- 1, )лЬ ег Ь ~)в аррагглслшеш а Т.) Н) Роиг г!ие г!сих е1ешспгв л; я зо1сш сощиаиев г!апз Г, 11 лаиг ег 11 вийя л!и'!! ех(вге л и Г ге1 с!ис о(х; л ) = а(л(х); я) роиг гош х а К. (СопяЫегсг 1ея согпрозапгея соппсхсз !з с!е РепяегпЫс оичсгг с1ея х ге]в срлс а(х;Д) Ф О, оЪяегчсг срле сраргся а), Г(1„) ег Г вопг ЪогпогрЪсз ег и61ьсг Ь).) Еп рагйси1!сг, в! (а, Ь) сзг шл шгсгча]!с г(е К гс1 с!ие о(а;,!) = о(Ь;л ) = 0 роиг ип г' и Г, 1'е1егпепг „~' г!е Г еаа! й,) роиг х < а ои х > Ь, сг ге1 лрле )'(х) = х -1- я( ((х) — х) рош а < х < Ь, ои 0 < я < 1, св! сощирие г!с ! л!апя Г. я) Яо]спс л' ип с1сгпспг л!е Г, а, Ь, с, Ы с!па!ге погпЪгея гсеЪ ге!в с!ие а < я < Ь < Ы сг л (х) — х = 0 роиг х = а, х = Ь, х = с, х = Ы, о(х1!) = 1 роиг а < х < с сс роиг Ь < х < А Яо!епс а', Ь' г)еих полпЪгсз ге1я с(ие а < а' < с, Ь < Ь' < Ы; оп ровс) = (а, Ь), ,)' = (а', Ь'), сс оп л!Ьв]алле раг ), 1а геягпсйоп л!е ) й Д, л!и! евг ип е1сшепг с(е Г(,)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
