Диссертация (793627), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Предполагается, что инвестор предпочитает положительнуюасимметрию отрицательной (поскольку в этом случае вероятность получениядоходностисверхожидаемойвыше)иотрицательныйэксцессположительному (вследствие нетолерантности к риску).Наиболее простой способ учесть в модели асимметрию (Skew) и эксцесс(Kurt) был предложен Я.
Ватанабе [174]. В данном методе более высокиемоменты вводятся в формулу явно наиболее простым способом – через ихотношение (7):( ( ), ,,)=()+.(10)Более сложная формула была предложена В. Закамулином и Ш.Кекебаккером [179]:42( )(()=, ,)( )(+( )().)( )((11))Как видно из формулы (8), коэффициент при параметре «асимметрия»основан на знании однофакторной функции полезности богатства. Такимобразом, фактически использование данной функции сводится к определениюистинной формы однофакторной функции полезности от богатства.Поскольку оба способа являются корректировкой коэффициента Шарпа,они разделяют присущие к нему недостатки.
Кроме того, определениефункции полезности в явном виде через асимметрию и эксцесс сложно напрактике, поскольку представляется затруднительным определение профиляинвестора по отношению к этим параметрам.В неявной форме учет асимметрии и эксцесса характерен для описанныхвыше показателей UPM и LPM, если в качестве соответствующих моментовиспользуются моменты третьего и четвертого порядка. Однако идея методикисвязана не столько с вводом асимметрии и эксцесса в качестве аргументов,сколько с учетом поведенческих различий в отношении инвестора к риску.Поэтому порядок момента в такой модели должен выбираться произвольно, наоснове анализа профиля инвестора.Обобщая, можно отметить, что не существует единого подхода кмоделированиювероятности,типичнойпредпочтенияувеличения/уменьшенияфункцииполезностиинвесторауровняинвестора.изменяютсябогатства.ПовсейврезультатеПредельнаяполезностьдоходности и риска также не являются постоянными.Из описанного выше ясно, что большая часть функций полезности,существующих в литературе, являются едиными для всех инвесторов(например, коэффициент Шарпа и его производные).
Однако на практикепредпочтения инвесторов относительно потенциала и риска различаются. Поэтой причине представляется необходимым определение поведенческихпараметров для инвестора и введение их в функцию полезности. На данный43момент существуют методики, позволяющие учитывать отношение кпотенциалу и риску, но на практике выявление поведенческих параметров,заложенных в модель, представляет собой трудновыполнимую задачу.1.3.ОграничениясуществующихметодовпостроенияфункцийполезностиКак было показано ранее, не существует единой точки зрения по поводувида функции полезности инвестора.
В целом, фундаментальный подход Дж.Фон Неймана и О. Моргенштерна, предполагающий моделированиеоднофакторной функции полезности богатства, допускает, что визуальнаяформа функции полезности может быть достаточно сложной (например, какпоказано на рис. 1-4). В подобной функции участки вогнутости сменяютсяучастками выпуклости.В связи с этим представляет определенную трудность выявлениефункции полезности для отдельного инвестора. На практике, по понятнымпричинам, ни один инвестор (профессиональный или непрофессиональный)не сможет описать свои предпочтения через некую гладкую кривую.В теории при моделировании полезности инвестора чаще всегоиспользуют следующие функциональные формы (W – размер богатства):1.
ЛогарифмическаяЛогарифмическая функция полезности имеет вид=.(12)Ее коэффициенты Эрроу-Пратта определяются следующим образом(табл. 3):44Таблица 3. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты рисктолерантности для логарифмической функции полезностиКоэффициентКоэффициентрискнеприятия рискаАбсолютные=Относительныетолерантности (τ)1==1=1Подобное поведение коэффициентов Эрроу-Пратта свидетельствует отом, что с ростом величины богатства доля, приходящаяся на рисковыеактивы, не изменяется. Толерантность инвестора к риску равна 100%богатства.
При этом в абсолютной величине вложения в рисковые активыбудут расти с ростом богатства (поскольку абсолютный коэффициентнеприятия риска является падающей функцией богатства).2. СтепеннаяСтепенная функция полезности имеет вид=.(13)Коэффициенты Эрроу-Пратта для данной функции определяютсяследующим образом (табл. 4):Таблица 4. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты рисктолерантности для степенной функции полезностиКоэффициент неприятия КоэффициентрискрискаАбсолютныеОтносительныетолерантности=1−=1−=1−1=1−Абсолютный коэффициент неприятия риска свидетельствует о том, чточем больше богатство инвестора, тем более он склонен к риску и тем большуюабсолютную сумму будет вкладывать в рисковые активы. Риск-толерантностьинвестора определяется как соответствующая доля богатства.
Относительный45коэффициент неприятия риска постоянен, что свидетельствует о неизменнодоле рисковых активов в общем объеме богатства.3. ПолиномиальнаяПолиномиальная функция полезности имеет вид=( +Эрроу-ПраттадляКоэффициенты) .полиномиальной(14)функцииопределяются следующим образом (табл. 5):Таблица 5. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты рисктолерантности для полиномиальной функции полезностиКоэффициент неприятия КоэффициентрискрискаАбсолютные=ОтносительныеАбсолютныйтолерантности(1 − )1+= (1 − )(1 +коэффициент11+неприятия=1+(1 − )11(1 +)1−)=рискаявляетсяпадающейфункцией богатства, что свидетельствует о том, что в абсолютном выражениивеличина богатства, размещенного в рисковых активах, будет расти с ростомбогатства. Однако относительная риск-толерантность является падающейфункцией богатства, что свидетельствует о том, что в относительномвыражении доля богатства, инвестированная в рисковые активы, будетснижаться при росте богатства.4. ЛинейнаяЛинейная функция полезности имеет вид= +.(15)Все коэффициенты Эрроу-Пратта для подобной функции полезностиравны нулю (табл.
6).46Таблица 6. Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты рисктолерантности для линейной функции полезностиКоэффициент неприятия КоэффициентрискрискатолерантностиАбсолютные=0=0Относительные=0=0В данном случае мы наблюдаем ситуацию, в которой толерантность криску фактически равна нулю. Такой субъект всегда будет предпочитатьбезрисковые вложения рискованным.5. ЭкспоненциальнаяЭкспоненциальная функция полезности имеет вид=−.(16)В табл. 7 представлены коэффициенты Эрроу-Пратта для даннойфункции полезности.Таблица 7.
Коэффициенты Эрроу-Пратта и коэффициенты рисктолерантности для экспоненциальной функции полезностиКоэффициент неприятия КоэффициентрискрискаАбсолютныеОтносительныетолерантности====11По поведению коэффициентов Эрроу-Пратта можно сделать вывод, чтосумма, инвестируемая экспоненциальным инвестором в рисковые активы,всегда постоянна, а соответствующая доля снижается с ростом богатства.Следует отметить, что функции, описанные выше, в качестве аргументаимеют богатство инвестора. По причинам, описанным в 1.1, такой подход невсегда удобен. Однако можно без потери общности заменить в даннойфункции аргумент на величину дохода/доходности. Однако доход отинвестирования может принимать отрицательные значения, для которыхследует модифицировать соответствующие функции. Следует добавить47свободный член в некоторых функциях, чтобы соблюдалось равенство (0) =0.
Кроме того, в этих функциях на замену толерантности к риску придутфункции предельной полезности единицы дохода. Ниже перечисленыфункции, по форме аналогичные ранее описанным, но трансформированныедля случая= ( ):Таблица 8. Стандартные функциональные формы, используемые длямоделирования полезности инвестораФормаВаловая полезностьПредельная полезностьЛогарифмическаяСтепеннаяПолиноми-==альная1, ≥0+1=1, <01−ln( + 1) , ≥ 0− ln(− + 1) , < 0=, ≥0−(− ) , < 0(1 + ) − 1, ≥ 0−(1 + (− )) + 1, < 0Линейная, ≥0(− ) , < 0==(1 +(1 −=Экспонен-=циальная−)), ≥0, <0=+ 1, ≥ 0− 1, < 0=, ≥0, <0Как ясно из описания выше, в теории смоделированы ситуациимонотонного поведения коэффициентов неприятия риска, риск-толерантностии предельной полезности единицы дохода.
Между тем, большая частьтеоретическихиэмпирическихисследованийповеденияинвесторовпредполагает, что предельная полезность и другие описанные вышехарактеристики могут менять характер монотонности на определенныхинтервалах. Например, ситуация, показанная на рис. 1-4, описывает случайнемонотонного поведения предельной полезности (поскольку характервыпуклости/вогнутости функции меняется).Иными словами, для моделирования реального поведения инвестораприходится прибегать к комбинированию различных функций полезности.48Фундаментальную проблему также представляет выбор функцииполезности из имеющихся.
Представляется не вполне ясным, на основаниикаких признаков можно определить, какую функциональную форму следуетиспользовать для отдельно взятого инвестора. Кроме того, даже пригипотетически заданной функциональной форме полезности представляеттрудность адекватный подбор соответствующих параметров.Описанные выше проблемы позволила бы решить кусочно-линейнаяаппроксимация функции полезности.
Кусочно-линейная аппроксимацияиспользуется чаще всего для целей интерполяции (нахождения значенийфункции между некими узловыми точками) и экстраполяции (нахождениязначения за пределами узловых точек). Линейные интерполяция иэкстраполяция позволяют найти приближенные значения целевой функции сопределенной точностью. Принципиально с помощью кусочно-линейногоприближения можно аппроксимировать функцию любой сложности.При этом в традиционных задачах линейная аппроксимация приводит кпотере точности расчета. Однако в связи со спецификой решаемой задачи вданном случае можно утверждать, что методологически кусочно-линейнаяаппроксимация – не просто способ упрощенного представления целевойфункции, а приближенная к реальности модель.Описанное выше свойство объясняется тем, что функция полезности – этоповеденческая характеристика, зависящая от психологических особенностейинвестора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
