lek_ee_ruch_15 (554232)
Текст из файла
Лекция №15 ([6] - стр. 27-53, [7] - стр. 22-49).Спектральный анализ непериодических сигналов.На прошлой лекции мы установили, что если амплитуду каждой спектральной линииумножить на период, то полученная характеристика не зависит от периода и можетслужить для описания свойств непериодических сигналов.
Мы назвали этухарактеристику спектральной плотностью.cc 2π2πСпектральная плотность: s(ω ) = Lim cnT = Lim n 2π = Lim n;, где T =ω1 → 0 ωΔω → 0 ΔωT →∞ω11T /2cn =1S (t )e jnω1t , Δω - расстояние между 2-мя соседними гармониками.∫T −T / 2Периодический сигнал можно представить в виде комплексного ряда ФурьеS (t ) =∞∑ c en =−∞njnω1t.Δω → 0nω1 → ωS( nω ) → S( ω )Если T → ∞ , то⎫⎪⎪⎪1∞⎪1 S ( ω )e jωt dωΔω → dω⎬ → S( t ) =∫2 π −∞1⎪Cn → S ( ω )dω ⎪2π ⎪⎪∑→ ∫⎭∞Равенство S ( t ) =1 S ( ω )e jωt dω называется обратным преобразованием Фурье.2π −∫∞Существует и прямое преобразование Фурье S (ω ) =∞∫ S (t )e− jωtdt .−∞Используя прямое и обратное преобразования Фурье, можно решить задачу анализапрохождения непериодического сигнала через цепь с помощью спектрального метода.Спектральный метод анализа удобно использовать в двух случаях:1) Когда входной сигнал представлен малым числом гармоник или являетсянепериодическим.2) Когда прямое преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье вычислитьпроще, чем прямое преобразование Лапласа и обратное преобразование Лапласа.Спектральное свойство непериодического сигнала характеризуется спектральнойплотностью S (ω ) , которое определяется отношением амплитуды гармоники к полосеcn.
При стремлении периода кΔωбесконечности и cn , и Δω → 0 , однако, их отношение не меняется и называетсячастот, содержащих только эту гармонику:⎡В⎤спектральной плотностью. Размерность спектральной плотности ⎢ ⎥⎣ Гц ⎦⋅S (ω) = S (ω) e jΘ (ω)S (ω ) - спектральная плотность амплитуд.Θ(ω ) - фазовый спектрПример 1.Определим спектральную плотность одиночного четного прямоугольного импульса.РешениеДано:τu2S (ω ) =∫τu−2E eНайти: S (ω ) − ?jωτu2ωe − jωtEe − jωt dt = E− jωτu2−τu2−e2j− jωτu22ττjω uE ⎛ − jω 2u=−e 2⎜e− jω ⎝⎞⎟=⎠ωτu2 Eτ u sin 2ωτ=== Eτ u Sinc usinωτ u222ω22Eωτ uСравним спектры периодической последовательностипрямоугольных импульсов и одиночного импульса:1.
Огибающая амплитудного и фазового спектра иогибающая сигнала совпадает со спектральной плотностьюамплитуд и фазовым спектром одиночного прямоугольногоимпульса.2. Спектры периодического сигнала дискретны иопределены на частотах, кратных частоте первой гармонике.Спектры одиночного импульса непрерывны и определеныдля любого значения частоты.3. Размерность амплитудного спектра периодическогосигнала совпадает с размерностью самого сигнала, аразмерность спектральной плотности амплитуд определяетсяотношением размерности сигнала к размерности частоты.4. Размерность фазового спектра периодического инепериодического сигналов совпадают, так же как и ихсмысл.
Физический смысл фазового спектра – фазовыйспектр показывает зависимость начальных фаз гармоник отчастоты.Свойства преобразования Фурье.1. Изменение знакачастоты.S ( −ω ) = S ∗ (ω )2. Значениеспектральнойплотности в нуле.11⇒ S ( −ω ) == S ∗ (ω )1 + jω1 − jωЕсли изменить знак частоты на противоположный, тополучим спектральную плотность, комплексно сопряжённую сисходной спектральной плотностью.Если S (ω ) =S (ω ) =F {S (t )}S ( 0 ) =+∞∫ S (t )e− jωtdt - прямое преобразование Фурье−∞∞∫−∞S (t )e − jωt dt =∞∫ S (t )dt−∞Значение спектральной плотности в нуле численно равноплощади под кривой, описывающей сигнал. Это свойствоудобно использовать для проверки правильности вычисленияпрямого преобразования Фурье3.
Умножение сигналана число (const).Если S1 (t ) = aS (t ) иF {S (t )} = S (ω )⇒ S1 (ω ) = aS (ω )F {S (t )} = S (ω )11Если сигнал умножить на const, то и на эту же constумножится и его спектральная плотность.4. Сдвиг сигнала вовремени (теоремазапаздывания).S1 (t ) = S (t − τ з ) ⎫⎪F {S (t )} = S (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = S (ω ) e − jωτ з⎪F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎭Если сигнал запаздывает во времени на τ з , то егоспектральная плотность умножается на e− jωτ з . Если сигналопережает исходный сигнал на τ з , то есть смещается влево пооси времени, то показатель экспоненты меняет свой знак напротивоположный. Смещение сигнала во времени влияет толькона его фазовый спектр и не влияет на его спектральнуюплотность амплитуд.Пример 2.Найдем спектр одиночного прямоугольного импульса (см.рис.), используя результаты примера 1.τз =τu2ωτS (ω ) = Eτ u Sinc u2S1 (ω ) = ?5.
Спектр суммысигналов.S1 (ω ) = S (ω ) e − jωτ u / 2 = Eτ u Sincωτ u2e − jωτ u / 2S (t ) = S1 (t ) + S2 (t ) ⎫⎪F {S (t )} = S (ω ) ⎪⎬ ⇒ S (ω ) = S1 (ω ) + S2 (ω )F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎪F {S2 (t )} = S2 (ω ) ⎪⎭Спектр суммы сигналов равен сумме спектров каждогосигнала.6. Изменениенаправления временисигнала.⎫S1 (t ) = S (−t )⎪F {S (t )} = S (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = S ∗ (ω )⎪F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎭Если изменить направление времени сигнала, то естьзаменить t на –t, то спектральная плотность нового сигнала будеткомплексно сопряжена спектральной плотности исходногосигнала.Пример 3.⋅S 2 (ω) = ?7.
Дифференцированиесигналов.Найдем спектр сигнала S 2 (t ) (см. рис.) по спектру сигналаS1 (t ) , заданного в виде прямоугольного одиночного импульса(см. пример 2)Для этого воспользуемся свойством: Изменениенаправления времени сигнала. Тогдаτ⋅ωτ и − jω 2иS 1 (ω) = Eτ и Since2τ⋅⋅ωτ и jω 2и*S 2 (ω) = S 1 (ω) = Eτ и Since2⎫F {S (t )} = S (ω ) ⎪⎪F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = jω S (ω ) (15.1)⎪dS (t )⎪S1 (t ) =dt⎭При дифференцировании сигнала по времени егоспектральная плотность умножается на jω .
При этомуменьшается амплитуда низкочастотной составляющей иувеличивается амплитуда высокочастотной составляющей.Пример 4.Продифференцируем одиночный прямоугольный импульс.Результат дифференцирования приведем на рисунке.Из рисунка следует, что в результате дифференцирования,сигнал становится более изрезанным. Сопоставляя этот рисунокс формулой (15.1) , найдём, что чем изрезанней сигнал, тембольше амплитуда высокочастотной составляющей и наоборот.8. Интегрированиесигналов с нулевойплощадью.⎫F {S (t )} = S (ω ) ⎪⎪S (ω )⎪F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) =(15.2)jω⎪tS (t ) = ∫ S (V )dV ⎪⎪⎭−∞При интегрировании сигнала по времени его спектральнаяплотность делится на jw.
При этом повышается амплитуданизкочастотных составляющих и понижается амплитудавысокочастотных составляющих.Пример 5.Проинтегрируем пачку из двух разнополярныхпрямоугольных импульсов одинаковой длительности иамплитуды. Результат интегрирования приведем на рисункеИз рисунка видно, что в результате интегрирования сигналстановится более гладким. Сопоставляя рисунок с формулой(15.2), можно утверждать, что с увеличением амплитудынизкочастотной составляющей и уменьшением амплитудывысокочастотной составляющей, сигнал становится болеегладким. Справедливо и обратное.Пример 6Найти спектр одиночного треугольного импульса(см.рис.)Решение1. Продифференцируем исходный сигнал по времени(см.рис.).2. Используя спектральную плотность для одиночногопрямоугольного импульса, а также свойства: смещение сигналаво времени, умножение сигнала на число и сложение сигналов,запишем спектральную плотность полученного сигнала.Обозначим спектральную плотность одиночного⋅прямоугольного импульса через S 0 (ω) .⋅⎛ ωτ ⎞S 0 (ω) = Eτ и sin c⎜ и ⎟ (см.пример 1).
Тогда⎝ 2 ⎠S (ω ) = ?⋅⋅⋅− jω bS 0 (ω) jω 2b S 0 (ω) − jω 2b S 0 (ω) ⎛⎜ jω 2b2−=−S1 (ω) =eeeeτиτиτ и ⎜⎝⋅ττττ⎞⎟⎟⎠Для определения спектральной плотности заданногосигнала S(t ) воспользуемся свойством 8 – интегрированиесигнала с нулевой площадью. Тогда , используя (15.2), имеемτ⋅⋅⋅− jω b ⎞⎛ jω τ b⋅ωτS1 (ω) 2 S 0 (ω) ⎜ e 2 − e 2 ⎟ 2 S 0 (ω)S(ω) =sin и ==⎜⎟=jω2j2ωτ иωτ и ⎜⎟⎝⎠⎛⎛ ωτ= Eτ и ⎜⎜ sin c⎜ и⎝ 2⎝⎞⎞⎟ ⎟⎟⎠⎠2Воспользуемся свойством 2 для проверки правильностирешения:S (0) = Eτ u , то есть значение спектральной плотности внуле равно площади под кривой, описывающей сигнал.9. Изменениемасштаба временисигналов.⎫S1 (t ) = S (at )⎪1 ⎛ω ⎞F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎬ ⇒ S1 (ω ) = S ⎜ ⎟a ⎝a⎠⎪F {S (t )} = S (ω ) ⎭Если a > 1 , то сигнал сжимается во времени, а егоспектральная плотность уменьшается в а раз и растягивается в араз по частоте.Чем короче сообщение, тем шире его спектр и тем ширедолжна быть полоса пропускания канала обработкиинформации.Если 0<a<1, то сигнал растягивается во времени, а егоспектральная плотность увеличивается в а раз и сжимается в араз по частоте.10.
Перемножениесигналов.F {S (t )} = S (ω ) ⎫⎪∞F {S1 (t )} = S1 (ω ) ⎪1S1 (u ) S2 (ω − u )du = S1 (ω ) * S2 (ω )⎬ ⇒ S (ω ) =∫2πF {S2 (t )} = S 2 (ω ) ⎪−∞⎪S (t ) = S1 (t ) S2 (t ) ⎭Если сигнал получается в результате перемножения двухсигналов, то его спектр определяется с помощью интеграла сверткиспектров сомножителей.11. Спектр сверткидвух сигналов.⎫tS (t ) =∫ S (τ )S (t − τ )dτ ⎪12⎪⎪⎬ ⇒ S (ω ) = S1 (ω ) S2 (ω )⎪⎪⎪22⎭Если сигнал получен в результате вычисления интеграласвертки двух сигналов, то его спектр равен произведению этихсигналов.−∞F {S (t )} = S (ω )F {S1 (t )} = S1 (ω )F {S (t )} = S (ω )12. Свойствообратимости частоты ивремени.S( t ) = S(− t ) ⎫⎬ ⇒ F{U( t )} = 2πS(ω)F{S( t )} = U(ω)⎭Если сигнал S (t ) чётный со спектром U (ω ) , то для расчётаспектра сигнала U (t ) , повторяющего по форме спектр исходногосигнала, достаточно в формуле S (t ) , описывающей исходныйсигнал, заменить t на ω и результат умножить на 2π .13.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
