lek_ee_ruch_12 (554226)
Текст из файла
Лекция № 12.([2], стр. 53-61).Диаграмма нулей и полюсов передаточной функции. Связьпередаточной функции с основными характеристиками цепей.1. Связь шести основных характеристик линейных цепей друг сдругом.Изобразим на схеме связь между шестью характеристиками линейнойцепи: передаточной функцией К(р), комплексно-частотной характеристикойK(jω), амплитудно-частотной характеристикой (AЧХ), фазочастотнойхарактеристикой (ФЧХ), импульсной g(t) и переходной h(t) характеристиками.Из этой схемы (см.
рис12.1) вы можете понять, как, зная одну из характеристик,вычислить остальные.t∫ g ( x)dx0dh(t )dtРис.12.1Связи между характеристиками были установлены раньше. Приведенная схемапозволяет систематизировать полученные сведения. Из этой схемы в частностиследует, что, зная передаточную функцию цепи можно с помощью обратногопреобразования Лапласа найти ее импульсную характеристику и наоборот, знаяимпульсную характеристику цепи можно с помощью прямого преобразованияЛапласа найти ее передаточную функцию. С помощью схемы высамостоятельно можете установить связи между другими характеристикамицепи.Напомним, что переменная p = σ + jω , используемая в качествеаргумента в преобразовании Лапласа, имеет размерность с −1 .
У этойпеременной действительная часть σ называется затуханием, а мнимая jω циклической частотой. Эти понятия мы будем использовать при анализевлияния диаграммы полюсов передаточной функции на поведение импульснойхарактеристики. Они используются при описании сигнала S (t ) = e σt cos ωt ,амплитуда которого меняется по экспоненте. Причем сигнал затухает поамплитуде при σ < 0 и нарастает при σ > 0.2. Связь диаграмм “нулей” и “полюсов” передаточной функции симпульсной характеристикой линейной цепи.Установим связь диаграмм “нулей” и “полюсов” передаточной функциилинейной цепи с ее импульсной характеристикой. Передаточную функциюможно представить в виде отношения двух многочленов, разложив которые намножители, получимa ( p − p01 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( p − pon )A( p) an p n + an −1 p n −1 + ...
+ a0K ( p) === n, гдеmm −1B( p) bm p + bm −1 p + ... + b0 bm ( p − pn1 ) ⋅ ⋅ ⋅ ( p − pnm )P0k - нуль, значение переменной P, при котором числитель обращается в 0.Pni - полюс, значение переменной P, при котором знаменатель обращаетсяв 0.Исследуем влияния диаграммы “нулей” и “полюсов” передаточнойфункции последовательного колебательного контура с емкостной нагрузкой наего импульсную характеристику.
Для этого, зная КЧХ контура, найдем егопередаточную функцию и импульсную характеристику. Для определенияпередаточной функции по КЧХ достаточно заменить « jω » в формуле КЧХ на«р».K ( jω ) =1jω CR + jω L +1jω C1Cp11LC.K ( p) == 2=11R1pLC+pRC+2R + pL +p + p+pCLLCНайдем полюса:⎡ p = −α + α 2 − ω 2⎡ p = −α + j ω 2 − α 2n1pn1p⎡ pn1 = −α + jωсв⇒⎢⇒⎢p + 2α p + ω = 0 ⇒ ⎢⎢ p = −α − α 2 − ω 2⎢ p = −α − j ω 2 − α 2⎣ pn 2 = −α − jωсвpp⎣ n2⎣ n2где:1- квадрат резонансной частоты контура,ω 2р =LCR2α = - затухание контура, ω 2р − α 2 = ω св - частота свободных колебанийLконтура, p n1,2 = −α ± jω св - полюса передаточной функции.22pИмпульсную характеристику найдем с помощью обратногопреобразования Лапласа от передаточной функции.2⎧⎪⎫⎪ω р e p ( p + α − jω св )⎧⎫e (−α + jωсв )t2= 2ω р Re⎨g (t ) = 2 Re⎨ lim⎬⎬ ⋅ 1(t ) =⎪⎩ p → − α + jωсв ( p + α + jω св )( p + α − jωсв ) ⎪⎭⎩ − α + jωсв + α + jωсв ⎭⎧ e −αt e jωсвt ⎫⎧ cos ωсв t + j sin ωсв t ⎫22 − αt= 2ω р Re⎨⎬ ⋅ 1(t ) = ω р e Re ⎨⎬ ⋅ 1(t ) =jωсв⎩ 2 jωсв ⎭⎩⎭2ω р − αt⎧ cos ωсв t j sin ωсв t ⎫2= ω р e −αt Re⎨+e sin ωсв t ⋅ 1(t )⎬ ⋅ 1(t ) =ωjjωωсвсвсв⎩⎭jωω р2ωсвωсвg (t )1−α1δ−ωсв1t2πωсвРис.12.2.На рисунке 12.2.
изображены диаграмма нулей и полюсов передаточнойфункции цепи и ее импульсная характеристика при затухании α 1 > 0 и частотесвободных колебаний ω св1 .При смещении полюсов влево импульсная характеристика затухаетбыстрее.jωω р2ωсвωсвg (t )1−α 2−ωсв1δt2πωсвα 2 > α1Рис. 12.3.На рисунке 12.3. изображены диаграмма нулей и полюсов передаточнойфункции цепи и ее импульсная характеристика при смещении полюсов влево, тоесть при увеличении затухания контура α ( α 2 > α 1 ).Если затухание отрицательно, то полюса лежат в правой полуплоскости, иимпульсная характеристика нарастает с ростом аргумента. Это означаетнеустойчивость данной линейной цепи, т.е. после прекращения воздействияизвне (входного сигнала) напряжение на выходе не стремится к нулю.Рис.12.4.На рисунке 12.4. изображены диаграмма нулей и полюсов передаточнойфункции цепи и ее импульсная характеристика при отрицательном затуханииконтура ( α 1 < 0 ⇔ −α 1 > 0 ), когда полюса передаточной функции расположеныв правой полуплоскости плоскости р.С увеличением частоты свободных колебаний ω св при том же затуханииα диаграмма полюсов расширяется относительно оси абсцисс, а импульснаяхарактеристика, сохранив ту же скорость убывания, будет иметь болеевысокочастотное заполнение.jωωсв2−α1g (t )ω р2ωсвtδ−ωсв22πωсвωсв > ωсв21Рис.
12.5На рисунке 12.5. изображены диаграмма нулей и полюсов передаточнойфункции цепи и ее импульсная характеристика при исходном затухании α 1 > 0и частоте свободных колебаний ωсв2 > ωсв1 .3. Признак устойчивости линейной цепи:Из приведенных результатов следует, что, если полюса передаточнойфункции линейной цепи лежат в левой полуплоскости, то линейная цепьустойчива, если же полюса лежат в правой полуплоскости, то системанеустойчива. Неустойчивость цепей используется в автогенераторах дляформирования гармонических колебаний.4. Алгоритм построения АЧХ и ФЧХ линейной цепи по диаграмме“нулей” и “полюсов” её передаточной функции.Представим передаточную функцию в виде отношения двух многочленов,разложив которые на множители, получимapn + … + 0n( p − p01 )… ( p − p0 n ) ;a p + … + a0 anan= ⋅=k⋅K ( p) = n mbm p + … + b0 bm p m + … + b0( p − pn1 )… ( p − pnm ) m ≥ nbmanbmПерейдем от передаточной функции к КЧХ, заменив «р» на « jω ».
Тогда( jω − P01 )...( jω − P0 n )P = jω ⇒ K ( jω ) = K( jω − Pn1 )...( jω − Pnm )k=→jω − P0 k = Q k (ω )→jω − Pni = R i (ω )nnK ( jω ) = K→П | Qk (ω ) | ek =1m →П | R i (ω ) | ei =1j Ψ i (ω )=Kj→njϕk (ω )П | Qk (ω ) | e∑ ϕ k (ω )=Kk =1m→mП | R i (ω ) | enk =1j∑Ψ i (ω )i =1i =1→П | Qk (ω ) |k =1m→П | R i (ω ) |ej(nmk =1i =1∑ϕk (ω ) −∑ Ψi (ω ))i =1Геометрическим образом разности jω − P0 k = Q k (ω ) будет вектор Q k (ω ) ,проведенный из точки, отображающей ноль передаточной функции P0 k , к точкеjω .
Геометрическим образом разности jω − Pпi = Ri (ω ) будет вектор Ri (ω ) ,проведенный из точки, отображающей полюс передаточной функции Pпi , кточке jω . Напомним, что АЧХ это модуль КЧХ, а ФЧХ – аргумент КЧХ. ТогдаnАЧХ = K ( jω ) =| K |→П Qk (ω )k =1m→П Ri (ω )(12.1),i =1nmk =1i =1ФЧХ = arg K ( jω ) = ∑ ϕ k (ω ) −∑ Ψ i (ω )где К =an,bmQ k (ω ) - модуль (длина) вектора Q k (ω ) , проведенного из точки, отображающейноль передаточной функции P0 k , к точке jω , ϕ к (ω ) - аргумент этого же вектора(угол между этим вектором и положительным направлением действительнойоси),Ri (ω ) - модуль (длина) вектора Ri (ω ) , проведенного из точки, отображающейполюс передаточной функции Pпi , к точке jω , ψ i (ω ) - аргумент этого жевектора (угол между этим вектором и положительным направлениемдействительной оси).Рис.12.6.На рисунке 12.6 изображены полюс передаточной функции Pпi (отмечензнаком ⊗), ноль передаточной функции P0 k (отмечен знаком ο), векторыQ k (ω0 ) и Ri (ω0 ) , поведенные к точке jω0 и их аргументы ϕ к (ω0 ) и ψ i (ω0 )соответственно.
С учетом выше сказанного и формул (12.1) рассмотрималгоритм построения АЧХ и ФЧХ по диаграмме нулей и полюсов передаточнойфункции.Алгоритм построения АЧХ.1. Найти “нули” и “полюса” передаточной функции.2. Изобразить в выбранном масштабе эти нули и полюса на плоскости P.3. Выбрать на оси ординат точку, соответствующую частоте ω0 , длякоторой хотим рассчитать АЧХ.4. Измерить расстояние от всех нулей до этой точки в выбранноммасштабе.5. Найти их произведение.
Если нулей нет, то числитель дроби,aописывающий АЧХ, принимается равным К = n .bm6. Сделать пункты 4-5 пункты для полюсов.7. Разделить первое произведение на второе.8. Перейти к следующей частоте и проделать пункты 1-7 снова.Алгоритм построения ФЧХ .1-3. См. предыдущий алгоритм.4. Измерить углы ϕk (ω0 ) и найти их сумму.5. Измерить углы ψ i (ω0 ) и найти их сумму.6. Найти разность между первой суммой и второй.7.
Перейти к следующей частоте и проделать пункты 1-6 снова.Пример:Построить АЧХ CR цепи по диаграмме нулей и полюсов её передаточнойфункции.CRНайдем передаточную функцию CR-цепи, нуль и полюса передаточнойфункции. Тогдаpτ 0pK ( p) ==pτ 0 + 1 p + 1τ0p01 = 0pп1 = −1τ0Изобразим диаграмму нулей и полюсов и построим векторы Q 1 (ω 0 ) иR1 (ω 0 ) для произвольной частоты ω 0 (см. рис.
12.7).Рис.12.7.АЧХ заданной цепи будет определяться отношениемQ1 (ω )R 1 (ω ). Графикзависимости этого отношения от частоты ω приведен на рисунке 12.8.Рис. 12.8.Контрольные вопросы к лекции №121. Используя рисунок 12.1, поясните, как по передаточной функции линейнойцепи найти ее амплитудно-частотную характеристику?2. Используя рисунок 12.1, поясните, как по передаточной функции линейнойцепи найти ее фазочастотную характеристику?3. Используя рисунок 12.1, поясните, как по передаточной функции линейнойцепи найти ее переходную характеристику?4. Используя рисунок 12.1, поясните, как по переходной характеристикелинейной цепи найти ее передаточную функцию?5. Используя рисунок 12.1, поясните, как по переходной характеристикелинейной цепи найти ее амплитудно-частотную характеристику?6. Сформулируйте признак устойчивости линейной цепи.7.
Сформулируйте алгоритм построения АЧХ линейной цепи по диаграмменулей и полюсов.8. Сформулируйте алгоритм построения ФЧХ линейной цепи по диаграмменулей и полюсов9. Как изменится АЧХ CR-цепи в рассмотренном примере, если полюспередаточной функции приблизить к оси jω ?Типовые задачи к экзамену1.
Передаточная функция цепи имеет два полюса рп1= -0,5+2j, рп2= -0,5-2j .Найдите несколько значений АЧХ и ФЧХ этой цепи.2. Передаточная функция цепи имеет один ноль р01=0 и два полюса рп1= 0,5+2j, рп2= -0,5-2j . Найдите несколько значений АЧХ и ФЧХ этой цепи.3. Передаточная функция цепи имеет два одинаковых нуля р01= р02=0 идва полюса рп1= -0,5+2j, рп2= -0,5-2j . Найдите несколько значений АЧХ и ФЧХэтой цепи.4. Постройте АЧХ последовательного колебательного контура синдуктивной нагрузкой по диаграмме нулей и полюсов его передаточнойфункции, если R = 2 [кОм], L=1 [мГн], C=10 [мкФ]..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
