lek_ee_ruch_09 (554223)
Текст из файла
Лекция № 9.([2], стр. 42-48; [5], стр. 27-34).Составление операторного уравнения на основе принципиальнойсхемы цепи.1. Замещение пассивных двухполюсников.Операторное уравнение цепи необходимо для анализа переходныхпроцессов операторным методом. При составлении операторного уравнения наоснове принципиальной схемы цепи в самой схеме происходит замена реальныхэлементов цепи на их операторные эквиваленты.Установим связь между токами и напряжениями на пассивных элементах и ихоператорными изображениями. Это позволит найти операторные эквивалентыпассивных элементов.
Для этого мы будем использовать свойствапреобразования Лапласа, разобранные в предыдущей лекции.РезисторИспользуя свойство линейности, перейдем от функций времени к ихизображениям. Тогда получим.^^R : U R ( t ) = RiR ( t ) = U R ( p ) = R I R ( p ).IˆR ( p)iR (t )RU R (t )⇔RUˆ R ( p )Рис. 9.1Таким образом, в операторной схеме замещения резистор остаетсярезистором (см.рис.8.1).КонденсаторИспользуя свойство дифференцирования оригинала, перейдем отфункций времени к их изображениям. Тогда получимiC ( t ) = CdU C ( t ) .
^⎛ ^⎞= I C ( p ) = C ⎜ pU C ( p ) − U C ( 0 ) ⎟.dt⎝⎠^^I C ( p ) = pC U C ( p ) − CU C ( 0 )^U C ( p) =U (0)1 ^I C ( p) + CpCp^^I C ( p)Ù^U C ( p)1pCI C ( p)^UC (0) CРис. 9.2ÙU C ( p)UC ( 0)pТаким образом, конденсатор при ненулевых начальных условияхзаменяется в схеме замещения на операторное емкостное сопротивлениеисточник тока U C ( 0 ) C или источник напряженияUC ( 0)p1иpC, где U C (0 ) -значение напряжения на конденсаторе в нулевой момент времени (см.рис.9.2).При нулевых начальных условиях, когда на ёмкости в момент коммутации нетзаряда, ёмкость заменяется только на емкостное операторное сопротивление.ИндуктивностьИспользуя свойство дифференцирования оригинала, перейдем от функциивремени к их изображениям.
Тогда получимU L (t ) = LdiL ( t )dt. ^.^^I L ( p) =U L ( p)pL^= U L ( p ) = pL I L ( p ) − LiL ( 0 )+iL ( 0 )p^^I L ( p)I L ( p)⇔iL ( 0 )^U L ( p ) pLp^⇔U L ( p)iL ( 0 ) LРис. 9.3При ненулевых начальных условиях катушка индуктивности заменяется всхеме замещения на операторное индуктивное сопротивление pL и независимыйисточник токаi L (0 )или источник напряжения iL ( 0 ) p , где i L (0 ) - ток черезLиндуктивность в нулевой момент времени (см.рис.9.3). При нулевых начальныхусловиях, когда в момент коммутации ток через индуктивность равен нулю,индуктивность заменяется на операторное индуктивное сопротивление pL.Пример:Для заданной схемы составить и решить операторное уравнение.Дано: схема цепи (см.рис.9.4)R1 , R2 , C1 , C2 , e ( t ) , U C1 ( 0 ) , U C2 (0)U (t ) − ?+ +-Рис 9.4Решение:Составим схему замещения:^E1 ( p ) =U C1 ( 0 )p^; E2 ( p) =Рис 9.5Используя закон Кирхгофа для узла, составим 2 операторных уравнения дляполученной эквивалентной схемы:^^⎧^⎛^⎞^^^U1 ( p ) − ⎜ E 2 ( p ) + U R2 ( p ) ⎟⎪ E ( p ) − U 1 ( p ) E1 ( p ) − U 1 ( p )⎝⎠ (1)+=⎪11R1⎪⎪⎪pC1pC2⎨^^^⎪U 1 ( p ) − ⎛ E 2 ( p ) + U R ( p ) ⎞ ^2⎜⎟ U R ( p)⎪⎝⎠= 2(2)⎪1R2⎪pC2⎪⎩Решением системы относительно U€R2 ( p ) будет (См [5], стр.
32-33):U C2 (0)p^pτ 2p 2τ 1τ 2U R2 ( p ) = E ( p )+ E1 ( p )−(1 + pτ 1 )(1 + pτ 2 ) + pR1C2(1 + pτ 1 )(1 + pτ 2 ) + pR1C2^^^− E2 ( p)pτ 2 (1 + pτ 1 ); где τ 1 = R1C1 ; τ 2 = R2C2(1 + pτ 1 )(1 + pτ 2 ) + pR1C2Если на конденсаторах в нулевой момент времени напряжения не будет, т.е.∧∧начальные условия нулевые, то E 1 ( p ) = E 2 ( p ) = 0 и уравнение примет вид:^^U R2 ( p ) = E ( p )^U R2 ( p )^E ( p)=pτ 2(1 + pτ1 )(1 + pτ 2 ) + pR1C2, тогдаpτ 2= K ( p ) - передаточная функция цепи.(1 + pτ 1 )(1 + pτ 2 ) + pR1C2Передаточной функцией K(p) линейной цепи называется отношение изображенияпо Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала, заданногов общем виде.
Под выходным сигналом понимается сигнал на выходных клеммахчетырёхполюсника. (в данном примере напряжение на резисторе R2). Под входнымсигналом понимается функция, описывающая ЭДС источника напряжения,подключённого к входным клеммам (в данном примере e(t ) ). Передаточная функцияопределяется по схеме замещения цепи при нулевых начальных условиях.
Она (то естьотношение двух изображений по Лапласу) зависит только от принципиальной схемыцепи. Если начальные условия нулевые и передаточная функция четырёхполюсникаизвестна, то изображение по Лапласу выходного сигнала можно найти по формуле^^U R2 ( p ) = E ( p ) K ( p ) .2. Определение передаточной функции цепи.1 способ:По схеме замещения цепи при нулевых начальных условиях (см. предыдущийпример).2 способ:По КЧХ цепи.Если известна КЧХ линейной цепи, то для получения передаточной функциидостаточно в КЧХ заменить jω на р.Эти способы отображены на схеме (см. рис.
9.6).Пример. Найдите передаточную функцию RC цепи (рис.9.7) по ееРис.9.7комплексно-частотной характеристике.Решение.1;τ 0 = RC . Передаточную функциюКЧХ заданной цепи: K ( jω ) =1 + jωτ 01получим, заменив jω на ρ . Тогда K ( p ) =.pτ 0 + 1На самостоятельную проработку:Найдите передаточную функцию последовательного колебательногоконтура с емкостной нагрузкой (см. рис. 9.8).Рис.9.83.
Алгоритм анализа переходных процессов с помощьюпреобразования Лапласа при нулевых начальных условиях.Алгоритм можно представить в виде схемы^∧∧123e(t) ⎯⎯→E ( p) ⎯⎯→U вых ( p ) = E ( p )K ( p ) ⎯⎯→U вых ( t )То есть задача анализа переходного процесса решается за три шага:1. шаг: Вычислить прямое преобразование Лапласа от входноговоздействия.2. шаг: По принципиальной схеме найти передаточную функцию цепи.Умножить на эту передаточную функцию изображения по Лапласу входногопроцесса и найти изображение по Лапласу выходного процесса.3. шаг: Определение выходного сигнала с помощью обратногопреобразования Лапласа.Контрольные вопросы к лекции №91.
Для чего составляется операторное уравнение цепи?2. На что заменяется резистор в схеме замещения при ненулевых начальныхусловиях?3. На что заменяется резистор в схеме замещения при нулевых начальныхусловиях?4. На что заменяется конденсатор в схеме замещения при ненулевыхначальных условиях?5. На что заменяется конденсатор в схеме замещения при нулевых начальныхусловиях?6.
На что заменяется индуктивность в схеме замещения при ненулевыхначальных условиях?7. На что заменяется индуктивность в схеме замещения при нулевыхначальных условиях?8. Дайте определение передаточной функции цепи.9. Назовите два способа определения передаточной функции цепи.10. Изобразите схему анализа переходных процессов с помощьюпреобразования Лапласа при нулевых начальных условиях.Типовые задачи к экзамену1.
Найдите передаточные функции RL и LR-цепей.2. Найдите передаточную функцию последовательного колебательногоконтура с резистивной, емкостной и индуктивной нагрузкой.3. Изобразите два варианта схемы замещения последовательногоколебательного контура с емкостной нагрузкой, еслиU C (0) = U 0 , I L (0) = 04. Изобразите два варианта схемы замещения последовательногоколебательного контура с индуктивной нагрузкой, еслиU C (0) = 0 , I L (0) = I 0 ..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
