lek_ee_ruch_11 (554225)
Текст из файла
Лекция № 11.([5], стр. 41-62).Анализ переходных процессов при нулевых начальных условияхметодом интеграла наложения (свёртки, Дюамеля).1. Содержание метода.В основе метода лежит принцип суперпозиции (наложения). Входной сигналможно представить в виде суммы коротких импульсов, идущих друг за другом.Амплитуды импульсов зависят от значения входного сигнала в момент прохожденияочередного импульса. Затем можно найти отклик на выходе цепи от каждого импульсаи, сложив эти отклики, определить выходной сигнал (см. рис. 11.1).Короткий импульс:Sвх (t )ϕ (t )1ΔVΔVkSвх (t ) ≈ ∑ Sвх (Vn ) ⋅ ϕ (t − Vn )ΔV , t = k ΔVn=0Vn Vn + ΔVОтклик от импульса:ψ (t )Sвых (t )ΔVtkSвых (t ) ≈ ∑ Sвх (Vn ) ⋅ψ (t − Vn )ΔVn=0Рис.
11.1Устремим ΔV к нулю, для увеличения точности представления входного сигнала.Тогда:ϕ (t ) → δ (t )ψ (t ) → g (t )tVn → V⇒ Sвых (t ) = ∫ Sвх (V ) ⋅ g (t − V )dV0ΔV → dV∑ →∫k ΔV = tСледовательно, выходной сигнал можно определить с помощью интегралаtS вых (t ) = ∫ S вх (t ) ⋅ g (t − V )dV , который называется интегралом свёртки.0Если входной сигнал задан до момента времени t=0, то более общей будетследующая формула интеграла свёртки:tSвых (t ) =∫Sвх(V ) ⋅ g (t − V )dV−∞В этих формулах Sвх (t ) - входной сигнал, g (t ) - импульсная характеристика цепи отклик на воздействие в виде δ-функции..2. Способы нахождения импульсной характеристики.а) По передаточной функции цепи.Вспомним, что если входной сигнал – дельта функция, то выходной сигнал –импульсная характеристика.
Тогда преобразование Лапласа от входного сигнала равноединице, а преобразование Лапласа от выходного сигнала – передаточная функцияSвх (t ) = δ (t ) → g (t ) = Sвых (t )^Sвх ( p ) = 1 → 1 ⋅ K ( p ) = S вых ( p)⋅Вывод: g (t ) = K ( p ) , то есть для определения импульсной характеристики нужно⋅вычислить обратное преобразование Лапласа от передаточной функции цепи.б) По переходной характеристике цепи.Переходной характеристикой h(t ) цепи называется отклик на выходе цепи, когдана вход действует единичная функция Хевисайда: 1(t).d ⋅ 1(t )dh(t )= δ (t ) ⇒= g (t )dtdt1(t)Л.Ц.h(t)Следовательно, импульсную характеристику можно получить с помощьювычисления производной от переходной характеристики цепи.в) Экспериментальное определение импульсной характеристики.Для экспериментального определения надо подать на вход цепи короткийимпульс, длительность которого намного меньше постоянной времени цепи.3.
Пример анализа переходных процессов с помощью интеграла сверткиНа вход RC цепочки (рис.11.2) подан одиночный прямоугольный импульс(рис.11.3). Найти напряжение на конденсаторе при условии, что напряжение на нем вмомент подачи импульса равно нулю (при нулевых начальных условиях).Рис.
11.2Дано:R ,CU C (0) = 0e(t ) = E ⋅ 1(t ) − E ⋅ 1(t − τ и )где τ и - длительность импульсаНайти u C (t )Рис 11.3Решение:1. Найдём импульсную характеристику цепи по её передаточной функции:1−1K ( p) =;τ 0 = RC; p n1 =τ0pτ 0 + 1g (t ) =C + jω1∫ ω K ( p )e2π j C − j1res1 = limp →−g (t ) =1τ01τ0e−pτ 0 + 1tτ0⋅1(t )ptdp = res1e (p+pt1τ0)=1τ0e−tτ0⋅1(t )2. Найдём выходной сигнал, вычислив интеграл свёртки:Сначала изобразим график функции g (t − V ) . Это поможет правильно вычислитьtинтеграл свертки Sвых (t ) = ∫ Sвх (V ) g (t − V )dV .
Графики функций g (t ) , g (− V ) и gt (− V )0изображены последовательно на рисунках 11.4, 11.5 и 11.6.g (t )1t0t0Рис.11.4g (−V )Рис. 11.5g (t − V )Рис.11.6.Теперь вычислим интеграл свертки. Он будет вычисляться по разным формулам взависимости от промежутка времени1. t < 0Sвых (t ) = 0 , т.к. произведение функций подинтегралом свёртки равно нулю.τи2. 0 ≤ t ≤ τ иttSвых1 (t ) = ∫ E0−t1τ0e−t −Vτ0dV =Eτ0e−t tτ0Vτ∫ e 0 dV =0τ0e−tτ0⋅eτ 01τ0=0−tt= Eeτ 0 (eτ 0 − 1) = E (1 − eτ 0 )(1(t ) − 1(t − τ и ))τи3.
t ≥ τ иτиS вых 2 (t ) = ∫ E0=eτиt−t01τ0e−t −Vτ0dV =Eτ0e−tτ0Vτиeτ 01τ0=0τи(e t0 − 1) E ⋅1(t − τ и )S вых (t ) = S вых1 (t ) + S вых 2 (t ) . ТогдаSвых (t )t⎛⎛−τ0⎜⎜S вых ( t ) = E 1 − e⎜⎜⎝⎝0EVτиt−⎛τ0⎜= E 1− e⎜⎝tτt⎞⎞− ⎛ и⎞⎟(1(t ) − 1(t − τ )) + e τ 0 ⎜ e τ 0 − 1⎟ ⋅ 1(t − τ )⎟ =ии⎟⎟⎜⎟⎠⎝⎠⎠t −τ⎛− и⎞⎟ ⋅ 1(t ) − E⎜1 − e τ 0⎟⎜⎠⎝⎞⎟ ⋅ 1(t − τ )и⎟⎠Сравним полученный результат с решением этого же примера операторным методом,приведенным в лекции 10. Как и следовало ожидать, результат совпадает.Контрольные вопросы к лекции №11В чем суть метода интеграла наложения?Дайте определение импульсной характеристике линейной цепи.Дайте определение переходной характеристике линейной цепи.Как найти импульсную характеристику, если известна передаточная функция цепи?Как найти импульсную характеристику, если известна переходная характеристикацепи?6.
Как экспериментально определить импульсную характеристику цепи?7. Вычислите импульсную характеристику CR-цепи, у которой выходной сигналснимается с резистора.8. Вычислите импульсную характеристику последовательного RLC- контура, укоторого выходной сигнал снимается с конденсатора.1.2.3.4.5.Типовые задачи к экзамену1. Используя метод интеграла свертки, определите при нулевых начальных условияхнапряжение на резисторе CR-цепи, если напряжение источника напряжения меняетсяпо закону E(t)=E.1(t).2. Используя метод интеграла свертки, определите при нулевых начальных условияхнапряжение на резисторе LR-цепи, если напряжение источника напряжения меняется позакону E(t)=E.1(t).3. На вход CR цепи подан прямоугольный импульс.
Найти изменение напряжения нарезисторе методом интеграла свертки при условии, что напряжение на конденсаторе вмомент подачи импульса равно 0 (при нулевых начальных условиях).4. На вход RL цепи подан прямоугольный импульс. Найти изменение напряжения наиндуктивности методом интеграла свертки при нулевых начальных условиях..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
