lek_ee_ruch_10 (554224)
Текст из файла
Лекция №10.([2], стр. 37-42; [5], стр.34-42)Определение сигнала по изображению(вычисление обратного преобразования Лапласа)1. Вычисление обратного преобразования Лапласа.Сигнал по изображению находится с помощью обратного преобразованияпо Лапласу:Y (t ) =1c + j∞ ^∫2π j c − j∞Y ( p)e pt dp = ∑ resiiОбычно вычисление интеграла заменяется вычислением вычетов пополюсам функции Y(t):^Y ( p) =A( p)B ( p)=an p n + ... + a0bm p m + ...b0Полюсами функции y(t) называют значения переменной p, при которыхзнаменатель B(p) обращается в 0.B( p ) = 0 ⇒ Pn , n = 1..., mВычеты можно вычислить только в том случае, если максимальнаястепень полинома числителя меньше максимальной степени полиномазнаменателя т.е.
n < m !!!^p2вычислить обратноеНапример, для изображения Y ( p ) = 2p +1преобразование с помощью вычетов нельзя, т.к. n = m, а для изображения^pY ( p) = 2можно, т.к. n < m.p +1Если условие (n < m) не выполняется, то надо выделить целую часть издроби.Пример. Найдите обратное преобразование Лапласа функцииp2.Y( p)= 2p +1Решение.∧p2p 2 + 1 −11Выделим целую часть дроби. Тогда Y ( p ) = 2== 1− 2.2p +1p +1p +1Обратное преобразование Лапласа от единицы есть дельта функция, т.е.⋅∧1найдемδ ( t ) = 1 .
Обратное преобразование Лапласа от функции Y 1 ( p ) = 2⋅p +1по таблице преобразований Лапласа. Это будет функция Y1 ( t ) = sin t ⋅1( t ) , т.е.∧1. Используя свойство линейности, найдем обратное⋅ p +1преобразование от заданной функции Y ( t ) = δ ( t ) − sin t ⋅ 1( t ) .⋅sin t ⋅ 1( t ) =22. Определение вычетов по полюсам.1. Полюса простые, первой кратности (кратность – количество повторенийкорня).^resi = lim Y ( p)( p − pni )e pt , гдеP → Pnipni - полюс, значение переменной^p, при котором знаменатель функции Y ( p ) обращается в ноль.Пример.
Найдите обратное преобразование Лапласа функции∧1Y( p ) = 2p − 0 ,25Дано:Решение:^Y ( p) =Y (t ) − ?12p − 0, 25p 2 − 0,25 = 0p n1 = 0,5, p n 2 = −0,5res1 = limp → 0,5p − 0,5 pt1( p − 0,5)1e = lime pt = e0,5t 1(t )2p → 0,5 ( p − 0,5)( p + 0,5)p − 0, 251⎧1, t ≥ 01(t ) = ⎨⎩0, t < 0( p + 0,5)1e pt = e −0,5t 1(t ) = −e −0,5t 1(t )p →−0,5 ( p − 0,5)( p + 0,5)−1res2 = limY (t ) = res1 + res2 = (e0,5t − e −0,5t )1(t )2. Вычисление вычетов по паре комплексно-сопряжённых полюсов.pni = α + j β ;pni = α − j β ;Если полюса комплексно – сопряженные, то для каждой пары комплексно– сопряженных полюсов, сразу же находится сумма двух вычетов по формуле:∧⎧ ⎛⎞⎫resi ,i +1 = 2 Re⎨lim⎜ ( p − pпi )e pt Y ( p )⎟⎬⎠⎭⎩ ⎝3.
Вычисление вычетов по полюсам кратности k.⎧ d k −1 ⎛ ∧k ⎞⎫resi = lim ⎨ k −1 ⎜ Y ( p )e pt ( p − p пi ) ⎟⎬ , где k – кратность полюса.p → pпi dp⎝⎠⎭⎩Пример. Найдите обратное преобразование Лапласа функции∧1Y( p ) =( p + a )2Решение:Дано:^Y ( p) =y (t ) = ?p п1 = p п 2 = −а ; k = 2 , k – кратность полюса.1( p + a)2⎧⎪ d⎫2⎪1d ptres1 = lim ⎨e pt ( p − ( − a ) ) ⎬ = lime = lim te pt = te − at 1( t )2p →− a dpp →− a dpp →− a⎭⎪⎩⎪ ( p + a )4. Разложение изображения по Лапласу на простые дроби.Для упрощения вычисления обратного преобразования Лапласа удобно^разложить функцию Y ( p ) на простые дроби:^A( p)AmA1A2A( p )==++ ...
+Y ( p) =B ( p ) ( p − pn1 ) ( p − pn 2 ) ...( p − pnm ) p − pn1 p − pn 2p − pnm, где A1 ... Am - некоторые коэффициенты, p − pnm - полюса.Для определения коэффициентов A1 ... Am следует:1. Привести сумму простых дробей к общему знаменателю.2. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях числителяисходной функции и числителя, полученного после привидения кобщему знаменателю.3. Найти коэффициенты A1 ... Am , решив систему из m уравнений с mнеизвестными.Пример.
Найдите обратное преобразование Лапласа функции∧p+4Y( p ) = 2p − 3p + 2Дано:^Y ( p) =p+4p − 3p + 22y (t ) = ?Решение:Найдем полюса заданной функции, а затем разложим ее на простые дроби.Тогдаp 2 − 3x + 2 = 0pn1 = 1pn 2 = 2p+4ABAp − 2 A + Bp − B=+=p − 3 p + 2 p −1 p − 2( p − 1)( p − 2)2⎧A + B =1⎧ A = −5+⇒ ⎨⎨⎩ −2 A − B = 4⎩B = 6p+4−56=+2p − 3x + 2 p − 1 p − 21 • − at= e ⋅1(t )p+a •y (t ) = −5e − ( −1)t ⋅1(t ) + 6e − ( −2)t ⋅1(t ) = (−5et + 62t ) ⋅1(t )Пример анализа переходного процесса с помощью операторногометода.На вход RC цепочки (рис10.1) подают одиночный прямоугольныйимпульс (рис.10.2).
Найти изменение напряжения на конденсаторе при условии,что напряжение на нем в момент подачи импульса равно 0 (при нулевыхначальных условиях).Рис. 10.1Рис 10.2Дано:R ,CU C (0) = 0e(t ) = E ⋅ 1(t ) − E ⋅ 1(t − τ и )где τ и - длительность импульсаНайти u C (t )Решение:1) При нулевых начальных условиях будем решать задачу с использованиемпередаточной функции цепи. Найдём передаточную функцию по комплексночастотной характеристике:11K ( jω ) =⇒ K ( p) =, где τ 0 = RC1 + jωτ 01 + pτ 0Можно найти передаточную функцию и по схеме замещения цепи,которая приведена на рисунке 10.3.Схема замещения:Рис 10.3При решении задачи используем принцип суперпозиции.
Для этогопредставим входной сигнал в виде суммы более простых сигналов, затем, найдяотклик от каждого из простых сигналов и сложив их, определим искомыйвыходной сигнал.e(t )Etτиe1 (t )Ete2 (t )τиt−EРис 10.4То есть, рисунок 10.4 подтверждает, что e(t ) = e1 (t ) − e 2 (t ) = E ⋅ 1(t ) − E ⋅ 1(t − τ и ) .2) Найдём изображение по Лапласу элементарного входного сигнала:^1e1 ( t ) = E ⋅1( t ) , тогда E1 ( p ) = E ⋅ .p3) Найдём изображение по Лапласу 1-го элементарного отклика:^E^U C1 ( p) = E1 ( p) K ( p) =p( pτ 0 + 1)4) Найдём отклик от 1-го элементарного сигнала с помощью обратногопреобразования Лапласа.
Для этого найдём вычеты:U C1 ( p) = res1 + res2pn1 = 0pn 2 = −1τ0Ee ptres1 = limp = E ⋅ 1(t )p → 0 p ( pτ + 1)0Ee pt ( p +res2 = limp →−1τ01τ0p( pτ 0 + 1))=−tEeτ0τ0t−1⋅ 1(t ) = − Ee τ 0 ⋅ 1(t )−1τ0t− ⎞⎛τ0U C1 (t ) = E ⎜ 1 − e ⎟ ⋅1(t )⎜⎟⎝⎠U C2 (t ) = −U C1 (t − τ и ), тогда (см. рис. 10.5)U C (t ) = U C1 (t ) + U C2 (t ) = E (1 − e−tτ0) ⋅1(t ) − E (1 − eРис. 10.5−t −τ иτ0) ⋅1(t − τ и )Из полученных результатов следует, что на промежутке от 0до τ и конденсатор заряжается и напряжение на нем растет по экспоненте, а на(τ и ; +∞) - разряжается, напряжение падает по экспоненте.1.2.3.4.5.6.7.8.Контрольные вопросы к лекции №10От каких выражений можно определять обратное преобразование Лапласа спомощью вычетов?Дайте определение полюсу передаточной функции.Приведите формулу для вычисления вычета по простым полюсам.Приведите формулу для вычисления вычета по комплексно-сопряженнымполюсам.Приведите формулу для вычисления вычета по кратным полюсам.Как разложить изображение по Лапласу на простые дроби?Для чего проводится такое разложение?Изложите алгоритм анализа переходных процессов операторным методом.Приведите пример.Типовые задачи к экзамену1.p + 5p + 4∧p.2.
Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) = 2p + 5p + 4∧1. Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) =2p2.p 2 + 5p + 4∧p.4. Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) = 2p +4∧2.5. Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) = 2p +4∧p.6. Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) =(p + 4) 2∧p+2.7. Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) = 2p + 5p + 4∧3. Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) =p 2 + 6p + 6.p 2 + 5p + 49. На вход CR цепи подан прямоугольный импульс.
Найти изменениенапряжения на резисторе операторным методом при условии, что напряжениена конденсаторе в момент подачи импульса равно 0 (при нулевых начальныхусловиях).∧8. Определите сигнал s(t) по его изображению S(p) =.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
