alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

функция принимает в ней наименьшеезначение. Итак, расстояние будет наименьшим от А до точки (1;1).№ 1333AD – основание трапеции, поэтому BC(x) – отрезок, параллельный AD.1( AD + BC (x )) ⋅ h(x ), причем AD = 1,2BC (x ) = 2 x, h(x ) = 1 + 1 − x 2 = 2 − x 2 , т т.11S (x ) = (1 + 2 x ) 2 − x 2 = 2 + 4 x − x 2 − 2 x3 =221 2 3= 1 + 2 x − x − x , где 0 < x ≤ 12S (x ) =(() ())Рассмотрим S'(x): S’(x) = 2 – x – 3x2; S’(x) = 0 при x = -1 или x =Из полученных критических точек только x =232лежит в промежутке3(0;1]; при переходе через эту точку S’(x) меняет знак с «+» на «-», т.е.

этоточка максимума.Найдем значения S(x) на концах рассматриваемого промежутка и в полученной критической точке.1349⎛ 2 ⎞ 49S (0) = ⋅1 ⋅ 2 = 1 , S ⎜ ⎟ =, S (1) = , таким образом Smax =.2227⎝ 3 ⎠ 27№ 13341) x ∈ [− 1;1]; B x;4 x 2 ; A − x;4 x 2 ;() ()4 x 2 + ycx + xc; yc = 12 − 4 x 2 ;; xc = 6 − x; 6 =23113) S ABC = AB ⋅ CD = ⋅ 2 x ⋅ 12 − 4 x 2 − 4 x 2 = 4 3x − 2 x3224) Рассмотрим функцию f (x ) = 4 3 x − 2 x3 на [0;1] и найдем ее наи-2) C (xc ; yc ), 3 =((()f ' (x ) = 0 при 4 ⋅ (3 − 6 x ) = 0; x = ±большее значение. f ' (x ) = 4 3 − 6 x 2 ,)) ()1- стационарная точка.21При переходе через единственную стационарную точкуна [-1;1]22производная меняет знак с «+» на «-», следовательно в этой точке функцияпринимает наибольшее значение.2⎛ 1 ⎞ ⎞⎟1 ⎛⎜⎜⎟ =4 2.−⋅5) S ABC = 4 ⋅32⎜ 2 ⎟ ⎟⎟2 ⎜⎜⎝⎠ ⎠⎝233№ 1335y = x 2 + px + q; x = 5,ymin = 1⎧1 = 25 + 5 p + q⎨2 ⋅ 5 + p = 0 ; откуда p = -10, q = 26.⎩⎧1 = 25 + 5 p + q;⎨ y ' (5) = 0⎩№ 1336Обозначим через r радиус основания, а через h – высоту конуса, тогдаобъем V =V '=()40011 21πr h = π 400 − h 2 h =πh − πh3 ,3333⎛2040020 ⎞⎟⎛⎜20 ⎞⎟π − πh 2 = π⎜⎜ h −h+, h > 0, след.

h0 =– точка⎟⎜⎟333 ⎠⎝3⎠⎝максимума (при переходе через h0 V’ меняет знак с «+» на «-», таким образом h =20.3№ 1337Обозначим через r – радиус, через h – высоту цилиндра, тогдаV2πr ⋅V + 2πr 2 2V=+ 2πr 2 ,; S=2rπrπr 22V4πr 3 − 2VVS ' = − 2 + 4πr =, точка минимума r = 3, а минимальная2πrr2V = πr 2 ⋅ h, a S = 2πrh + 2πr 2 , h =площадь Smin =2V 3 2π⎛V ⎞+ 2π⎜ ⎟3V⎝ 2π ⎠23= 2V2332πV23= 3V2332π = 33 2πV 2 .№ 1338Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда S = 2πr ⋅ 2h = 4πrh , где h =S ' = 4π R 2 − r 2 +=4πR 2 − 8πr 22R −r2=(2πr (− 2r )2R −r2)R 2 − r 2 , тогда S = 4πr R 2 − r 2 .=()4π R 2 − r 2 − 4πr 22R − r2=4π R 2 − 2r 2, r0 = R / 2 – точка максимума, т.к.

приR2 − r 2переходе через r0 S’ меняет знак с «+» на «-», таким образом r =R.2№ 1339Обозначим через r – радиус основания, через 2h – высоту цилиндра, тогда V = πr 2 h = πr 2 R 2 − r 2234⎛V ' = ⎛⎜ πr 2 R 2 − r 2 ⎞⎟' = π⎜⎜ 2r R 2 − r 2 −⎝=⎠( (⎝) ) = π(2rRπ 2r R 2 − r 2 − r 3222− 3r 32)⎞⎟=⎟R2 − r 2 ⎠r32R −rR −r2r0 =R – точка максимума, т.к. при переходе через r0 V’ меняет знак32R2Rс «+» на «-», тогда h = R2 − R2 =, соответственно высота 2h =333№ 1340Обозначимчерезhвысотуконуса,тогдарадиусоснованияr = R3 − (h − R )2 , а111V = π R 2 − (h − R )2 h = π R 2 − h 2 + 2hR − R 2 h = πh 2hR − h 2333411V ' = π 2hR − h2 + h(2R − 2h) = πh(R − 3h); h0 = R – точка максимума.333№ 134111DSкон = Sосн ⋅ h = πR 2 ⋅ h - задана3311Sпир = Sосн ⋅ h = S ABC ⋅ h33α1S ABC = AB ⋅ BC ⋅ sin α2ACπ αAC = 2 R sin α∠BAC = ∠BCA = −2 2α2 R sin α ⋅ cosABAC2 = 2 R cos α=AB =⎛ π α ⎞ sin αsin α2sin ⎜ − ⎟⎝2 2⎠αα1S ABC = ⋅ 4 R 2 cos2 ⋅ sin α исследуем f = cos2 sin α2221 + cos α ⎞ 111⎛222f ' = ⎜ sin α ⋅⎟' = cos α + cos α − sin α = cos α + cos α −2222⎝⎠2f ' = 0 2 cos α + cos α − 1 = 0 D = 1 + 8 = 9 ;(()()(cos α1 = −1; cos α 2 =π; α 2 = ±)())1, следовательно сумма всех углов треугольника2ππ+ 2πn, n ∈ Z , ⇒ α = .33235№ 1342Обозначим через r – радиус основания, тогда высота h =()p− 22 , а2ππ⎛ p − 4r ⎞объем V = πr 2h = πr 2 ⎜⎟ , V ' = 2rp − 12r 2 = ⋅ 2r ( p − 6r );22⎝ 2 ⎠r0 =pπp 2 ⎛ p p ⎞ πp3.- точка максимума, тогда Vmax =⎜ − ⎟=36 ⎝ 2 3 ⎠ 2166№ 1343R2 − r 2 ;Пусть АО1 = х, тогда OO1 =V = π ⋅ x 2 ⋅ 2 R 2 − r 2 ; V = 2π R 2 x 4 − x 6 ; x > 0 и x < RРассмотрим функцию g (x ) = 2π R 2 x 4 − x 6 при 0 < x < R и найдем еенаибольшее значение, заметим, что g(x) принимает наибольшее значение втой же точке, что и f (x ) = R 2 x 4 − x 6 .

f ' (x ) = 4 R 2 x 3 − 6 x 5 ;2R22– точка максимума, тогда H = R.33x0 =№ 1344Пусть r – радиус основания, H – высота цилиндра, тогдаVr + 2πr 4, где V – объемr22 4πr 3 − VV- точка минимума, следовательно расход; r0 = 3S '=4πr2S = 2πrH + 4πr 2 = 2()жести будет наименьшим, когда2r=H2⋅3⎛ V ⎞V⎟⋅ π⋅⎜3⎜ 4π ⎟4π⎝⎠т.е. при 2D = H. (Опечатка в ответе задачника).V№ 1345R 2 − r 2 ; О2О1 = 2х; S0 =Пусть ОО1 = х, тогда AO1 =()()2=2π ⋅ V 1= ,V ⋅ 4π 2()3 3 2 2R −r ;43 3 23 3 2 2Vпр =R − r 2x =R x − x3 , причем x > 0 и x < R.423 3 2R x − x3 на (0;R) и найдем ее наибольшееРассмотрим f (x ) =23 3 2RR − 3x 2 , x =– точка максимума, тогда наизначение: f ' (x ) =232R.больший объем призма имеет при высоте3((236))№ 1346Пусть АО = x, тогда из подобия треугольников MOS и BO1S получимxbx H −hH (R − x )= ;=; h=;R H RHRH ⋅ (R − x ) πHV = π ⋅ x2 ⋅=Rx 2 − x3 , причем x > 0 и x < R.RRπHРассмотрим функцию f (x ) =Rx 2 − x3 на (0;R) и найдем ее наиR()(большее значение.())πH2R– точка максимума, таким образом2 Rx − 3x 2 , x =R32RH ⋅R 3 Hнаибольший объем у цилиндра будет при r =., h==3R3№ 1347f' (x ) =1) f (x ) = x3 + 3 x 2 − 9 x + 4()f' (x ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 3 x 2 + 2 x − 3 = 3(x − 1)(x + 3)х = -3 – точка максимума;х = 1 – точка минимума.+–1⎛ 4⎞2) f (x ) = x 4 − 2 x5 + 5 , f' (x ) = 4 x3 − 10 x 4 = x3 (4 − 10 x ) = x3 ⎜ − x ⎟ ;⎝ 10⎠+х = 0 – точка минимума–00,4-3+–х = 0,4 – точка максимума№ 13481) D(y) = IR, непрерывная, непериодическая, т.к.

задана многочленом2) y(-x) = -x3 + 3x + 2 – ни четная, ни нечетная3) y = 0 при x3 – 3x + 2 = 0; x = 1; x = -24) y’ = 3x2 – 3; y = 0 при 3x2 – 3 = 0;3(x – 1)(x + 1) = 0; x = ± 1 – стационарныеточки5) (-∞;-1) – функция возрастает(-1;1) – функция убывает(1;+∞) – функция возрастает6) k = tgα, α = 0 при k = 0; f’(x) = 0, т.е.х = -1, х = 1, т.е.

(1;0), (-1;4).237№ 13491. D(y) = R2. y(-x) = -x3 - 5x2 + x + 5 – ни четная,ни нечетная3. y = 0 при х3 – 5х2 – х + 5 = 0; х = 1,х = 5, х = -14. y′ = 3x2 – 10x – 1y’ = 0 при 3x2 – 10x – 1 = 0;x=5± 2 735. x =5−2 7— точка максимума35+2 7— точка минимума36.

y = f(x0) + f’(x0)(x – x0); x0 = 4f(4) = -15, f′(4) = 3x2 – 10x –1, f′ (4) = 7, y = 7x – 43x=№ 13501) f(x) = 4x3 + 6x2а) D(y) = Rб) f(-x)=-4x3+6x2 – ни четная, ни нечетная+в) f(x) = 0 при 4x3 + 6x2 = 0; x2(4x+6)=0, x = 0,x = -1,5г) f’(x) = 12x2 + 12x = 12x(x + 1)х = -1 – точка максимумах = 0 – точка минимума+2) f(x) = 3x2 – 2x3; а) D(y) = Rб) f(-x) = 3x2 + 2x3 – функция ни четная, ни нечетнаяв) f(x) = 0 при 3x2 – 2x3 = 0,––-1+032г) f’(x) = 6x – 6x2 = 6x(1 – x)x = 0 – точка минимумах = 1 – точка максимумаx2(3 – 2x) = 0, x = 0, x =23801–3) f (x ) =+1 3x −x ;3+-11а) D(y) = R; б) f (− x ) = − x 3 + x ,3следовательно функция нечетнаяf (x ) = 0 прив)1 3x − x = 0;3⎛1⎞x⎜ x 2 − 1⎟ = 0, x = 0, x = ± 3⎠⎝3–1;x = -1 – точка максимумах = 1 – точка минимума+ 4) f (x ) = x 4 − 1 x 2+–-½–0½х = -½, x = ½ – точки минимумах = 0 – точка максимума2а) D(y) = Rб) f (− x ) = x 4 −1 2x - функция четная2f (x ) = 0 при x 4 −в)1 2x = 0,21⎞1⎛x 2 ⎜ x 2 − ⎟ = 0, x = 0, x = ±2⎠2⎝()г) f ' (x ) = 4 x3 − x = x 4 x 2 − 1 =1 ⎞⎛1⎞⎛= 4 x⎜ x − ⎟⎜ x + ⎟22⎠⎝⎠⎝№ 1351++− 2–0x = − 2, x = 22–– точкимаксимумах = 0 – точка минимума1) y = −x4+ x24а) D(y) = IRб) f (− x ) = −x4+ x 2 – функция четная4в) f (x ) = 0 при(− x4+ x 2 = 0;4)x2− x 2 + 4 = 0 ; x = 0, x = ±24()г) f ' (x ) = − x3 + 2 x = x − x 2 + 2 =()(= −x x − 2 x + 2)2392) y = x4 – 2x2 –3а) D(y) – Rб) f(-x) = x4 – 2х2 – 3 – функция четнаях = ± 1 – точка минимумах = 0 – точка максимумав) f (x ) = 0 при x 4 − 2 x 2 − 3 = 0,x = ± 1± 2 , след.

x = ± 3г) f’(x) = 4x3 – 4x = 4x(x-1)(x+1)++–-10–1№ 13521 3x − x 2 − 3x + 93а) D(y) = R1б) f (− x ) = − x 3 − x 2 + 3x + 9 – функция3ни четная, ни нечетная1в) f (x ) = 0 при x 3 − x 2 − 3x + 9 = 0,31 2⎛1⎞x (x − 3) − 3(x − 3) = 0, (x − 3)⎜ x 2 − 1⎟ = 0, x = 3, x = ± 333⎝⎠1) y =⎛1 + 13 ⎞⎟⎛⎜1 − 3 ⎞⎟г) f ' (x ) = x 2 − x − 3 = ⎜ x −x−⎜2 ⎟⎠⎜⎝2 ⎟⎠⎝x=1 − 13– точка максимума2+1 + 13– точка минимума22) y = -x4 + 6x2 – 9а) D(y) – Rб) f(-x) = f(x) – функция четнаяв) f(x) = 0 при –x4 + 6x2 – 9 = 0,1 − 132x=x4 – 6x2 + 9 = 0, (x2 – 3)2, x = ± 3(+)г) f ' (x ) = −4 x3 + 12 x = −4 x x 2 − 3 =()(= −4 x x − 3 x + 3+− 3–0+)–3x = ± 3 – точка максимума; х = 0 – точка минимума.240–1 + 132x2 + 1xа) D(y): x ≠ 0б) f(-x) = -f(x) – функция нечетная3) y =в) f (x ) = 0 приx2 + 1= 0, т.е.

пересечений сxосью 0х нет.++–-1г) f ' (x ) =()= x2 x ⋅ x − x2 + 12xх = -1 – точка максимумах = 1 – точка минимума12−1x2x2 + 22xа) D(y): x ≠ 0б) f(-x) = -f(x) – функция нечетнаяв) f(x) ≠ 04) y =г) f ' (x ) =++− 2–2(2x ⋅ 2x − 2 x2 + 24 x2) = 2x2−44x2=x2 − 22x2x = − 2 – точка максимумаx = 2 – точка минимума№ 13531) y1 = x − 1, y 2 = 3 − x , y3 = 0 , y1=y2, x–1 = 9–6x+x2, x2–7x+10=0, x=5,x=2, но х – 1 ≥ 0 и 3 – х ≥ 0, след. х = 2 – точка пересечения y1 и y2, тогда2S = ∫ x − 1dx +123712⋅ 1 = (x − 1) 2 + 1 =2 62311x22) y1 = − , y 2 = x 2 , y3 =x812y1 = y 2 ; − = x ; x = −1 - точка пересечения y1 и у2xy 2 = y3 ; x 2 =x21 x2, x = 0 , y1 = y3 ; − =; x = −2, тогда8x8−100 2x1 0 1 301dx + ∫ x 2 dx − ∫dx = − ln x + x3 −x=−2 x−1−2 8−1 3−1 24−221 1= ln x + − = ln 21 3 3−1S= ∫−241№ 13541) y1 = 4x – x2, y2 = 5, x = 0, x = 331 ⎞3⎛S = 5 ⋅ 3 − ∫ 4 x − x 2 = 15 − ⎜ 2 x 2 − x3 ⎟ = 15 − 18 + 9 = 6 ;3 ⎠0⎝02) y = x2 – 2x + 8, y = 6, x = -1, x = 3,3()⎞3⎛1232∫ x − 2 x + 8 dx − 24 = ⎜ 3 x − x + 8 x ⎟ − 24 =⎝⎠ −128⎛ 1⎞= 9 − 9 + 24 − ⎜ − − 1 − 8 ⎟ − 24 =3⎝ 3⎠−13) y = sin x , y = 0, x =2π, x = π, S =3ππ2π32π3∫ sin xdx = − cosπ6ππ4) y = cos x, y = 0, x = − , x = , S = ∫ cos xdx = sin x66π−π6−π= 1−=61 1=2 21 1+ =1.2 26№ 1355x = 2, x = 4 ,1) y = x , y = 2, x = 9 ,4904S = 2 ⋅ 4 − ∫ x dx + ∫ x − 5 ⋅ 2 = 8 −2 32x340+2 32x394− 10 =161616+ 18 − − 10 =3332) y = x2 + 3, y = x + 5, x2 + 3 = x + 5, x2 – x – 2 = 0, x1 = -1, x2 = 2,= 8−()22⎞⎛1⎞⎛1S = ∫ (x + 5)dx − ∫ x 2 + 3 dx = ⎜ x 2 + 5x ⎟ 2−1 − ⎜ x 3 + 3x ⎟ 2−1 =23⎠⎝⎠⎝−1−1⎛8⎛ 1⎞⎞= 12 + 4,5 − ⎜⎜ + 6 − ⎜ − − 3 ⎟ ⎟⎟ = 16,5 − 3 − 9 = 4,5⎝ 3⎠⎠⎝3№ 13561) y = 9 – x2, y = (x – 1)2 – 4, y1 = 9 – x2, y2 = x2 – 2x – 3,9 – x2 = x2 – 2x – 3, 2x2 – 2x – 12 = 0, x2 – x – 6 = 0, x1 = 3, x2 = -2,3()3()−2()−1()S = ∫ 9 − x 2 dx + ∫ x 2 − 2 x − 3 dx − ∫ 9 − x 2 dx − ∫ x 2 − 2x − 3 dx =−3−1−3−23⎛⎞ −1x3 ⎞x 3 ⎞ − 2 ⎛ x3⎞ 3 ⎛⎛1= ⎜ 9 x − ⎟ + ⎜ x3 − x 2 − 3 x ⎟ − ⎜ 9 x − ⎟ − ⎜ − x 2 − 3 x ⎟ =⎜⎟⎜⎟⎜⎟ −13 ⎠ −3 ⎝ 33 ⎠ −2 ⎝ 3⎠ −1 ⎝⎝⎠18⎛⎞ ⎛⎞= (27 − 9 + 27 − 9 ) + ⎜ 9 − 9 − 9 + + 1 − 3 ⎟ − ⎜ − 18 + + 27 − 9 ⎟ −33⎝⎠ ⎝⎠242832 8 7 125⎛ 1⎞.− − =− ⎜ − − 1 + 3 + + 4 − 6 ⎟ = 36 +33 3 33⎝ 3⎠()2) y1 = x 2 , y 2 = 3 x , y1 = y 2 , x 2 = 3 x , x 6 = x , x x 5 − 1 = 0 ,x = 0, x = 1 – точки пересечения1100S = ∫ 3 x dx − ∫ x 2dx =3 4 3 1 x3−x43010=3 1 5− =.4 3 12№ 13571) y = cos x , x =π, y=0,4π4π4π−2π−2S = ∫ cos xdx = sin x=2+ 22+1 ==2212) y = 3x, x = -1, x = 1, y = 0, S = ∫ 3x dx =−13xln 32 +121−1=;3− 13 = 8 .ln 33 ln 3№ 13581) f (x ) = x 3 −x21⎛1⎞ 1 1+ x , x 0 = , f’(x) = 3x2 – x + 1, f ' ⎜ ⎟ = − + 1 = 1 ;23⎝3⎠ 3 31 − ln xln x, f ' (1) = 1 ;, x 0 = 1 , f ' (x ) =xx224x3) f (x ) = x −3 − 2 + 3x , x 0 = 3 , f ' (x ) = −3x − 4 + 4 + 3 ,xx1411f ' (3) = −++3 = +3 = 3 ;27 27992) f (x ) =4) y =1− sin 2 x − cos 2 xcos xπ⎛π⎞= − 2 , y' ⎜ ⎟ = −2 ., x 0 = , y' =2sin x4sin xsin x⎝4⎠№ 13591) f(x) = sin2x – x, f’(x) = 2cos2x – 1, 2cos2x – 1 = 0, cos2x =1;2ππ+ 2nπ, n ∈ Z , x = ± + nπ, n ∈ Z ;362) f(x) = cos2x + 2x, f’(x) = -2sin2x + 2, 2 sin2x = 2, sin2x = 1,πx = + πn , n ∈ Z ;43) f(x) = (2x – 1)3, f’(x) = 3(2x – 1)2 ⋅ 2, 2x – 1 = 0, x = ½;4) f(x) = (1 – 3x)5, f’(x) = 5(1 – 3x)4 ⋅ (-3), 1 – 3x = 0, x = 1/3.2x = ±243№ 1360f(x) = (2x – 3)(3x2 + 1), f’(x) = 2(3x2 + 1) + 6x(2x – 3),f’(1) = 8 – 6 = 2 ⇒ f’(1) = f’(0), f’(0) = 2.№ 1361f (x ) = x 3 − 1,5x 2 − 18x + 3 , f ' (x ) = 3x 2 − 3x − 18 , 3x 2 − 3x − 18 < 0 ,x2 − x − 6 < 0 ,x ∈ (−2;3) .(x − 3)(x + 2) < 0 ,№ 1362h = V0t – 4,9t2 V0 = 360м/с, V = h’ = V0 – 9,8t,V(10) = 360 – 98 = 262 м/с, hmax при V0 – 9,8t = 0 t =360≈ 37 сек.9,8№ 1363ϕ = kt 3 ϕ = 2π t = 2c ⇒ k =ϕ3=2π π= ,84t3π 23πω = 3kt =t , ω(4 ) =⋅ 16 = 12π .442№ 13641) y =y' ===x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3(5xx34),(− 9 x 2 + 4 x − 1 x 3 − 3x 2 x 5 − 3x 3 + 2 x 2 − x + 3x35 x 7 − 9 x 5 + 4 x 4 − x 3 − 3x 7 + 9 x 5 − 6 x 4 + 3x 3 − 9 xx32x 7 − 2x 4 − 2x 3 − 9x 2x32) y =6x3 xx; y=6x431x 2=)==2x 5 − 2x 2 − 2x − 9;x, y' =8x141−13 ⋅ x 2 − 1 x 2 ⋅ x 3 ⋅62x=8x56− 3xx56№ 13651) y =y' ==2443x 2 − 2x + 1,x +1(6x − 2)(x + 1) − (3x 2 − 2x + 1) = 6x 2 + 6x − 2x − 2 − 3x 2 + 2x − 1 =(x + 1)2(x + 1)23x 2 + 6x − 3(x + 1)2=()3 x 2 + 2x − 1(x + 1)2−16.= 5x2) y =(4x − 3)(2x + 1) − 2(2x 2 − 3x + 1) = 8x 2 + 4x − 6x − 3 − 4x 2 − 6x − 2 =(2x + 1)2(2x + 1)2y' ==2 x 2 − 3x + 1,2x + 14x 2 + 4x − 5(2x + 1)2№ 13661) y = (2 x + 1)2 x − 1 ,1(x − 1)− 12 = 2 ⋅ 4(2x + 1)(x − 1) + 1 =22 x −18 2x 2 − 2 x + x − 1 + 1 16 x 2 − 8x − 7==2 x −12 x −1y' = 2(2x + 1) ⋅ 2 x − 1 +()2) y = x 2 3 (x + 1)2 ; y = x 2 (x + 1)2y' = 2 x (x + 1)2=8x 2 + 6 x3,22 23 ⋅ 2 x (x + 1) + 2 x 2x (x + 1)− 3 ==333 x + 12x (4x + 3)3+= 333 x + 13 x +13) y = sin2xcos3x,y' = 2 cos 2 x ⋅ cos 3x − 3 sin 2 x ⋅ sin 3x = cos x + cos 5x −15= − cos x − cos 5x224) y = xcos2x, y’ = cos2x – 2xsin2x.3(cos x − cos 5x ) =2№ 1367f(x) = (x - 1)(x – 2)(x – 3); f(x) = (x2 – 3x + 2)(x – 3)f’(x)=(2x–3)(x–3)+x2 - 3x+2=2x2 – 6x–3x + 9 + x2 – 3x + 2 = 3x2 – 12x + 113x2 – 12x + 11 = -1, 3x2 – 12x + 12 = 0, 3(x2–4x+4)=0; 3(x – 2)2 = 0, x = 2.№ 13681) f (x ) = e3− 2 x ⋅ x 2 ,2) f (x ) =x2e1− xf ' ( x ) = −2e3− 2 x ⋅ x 2 + 2 x ⋅ e3− 2 xf ' ( x ) = −2e−1 ⋅ 4 + 4 ⋅ e −1 = −4e−1 < 0, f ' (x ) =2 x ⋅ e1− x + x 2 ⋅ e1− xe 2(1− x ), f ' (2 ) =4 ⋅ e−1 + 4e −1e− 2> 0.№ 1369f (x ) =1 + sin 2 x1 − sin 2 x245f ' (x) =f ' (0 ) =2 cos2x(1 − sin 2x) + 2 cos2x(1 + sin 2x)(1 − sin 2x)2=(1 − sin 2x)428⎛π⎞= 4; f ' ⎜ ⎟ ==216⎝ ⎠ ⎛2− 3⎞2− 3⎜⎟⎜ 2 ⎟⎝⎠(№ 1370f (x ) = x 3 + x 2 + x 3;g(x ) = x 3 + 12 ⋅ 2 cos2x2=4 cos2x(1 − sin 2x)2)2f ' (x ) = 3x 2 + 2 x + 3g' (x ) = 3f ' (x ) ≤ g ' (x ) , 3x 2 + 2 x + 3 ≤ 3 , 3x 2 + 2x ≤ 0 , x (3x + 2 ) ≤ 0 ,⎡ 2 ⎤x ∈ ⎢− ;0⎥ .⎣ 3 ⎦№ 1371⎛ π ⎞f(x) = cos3x, F⎜ ⎟ = −1 .⎝ 24 ⎠Первообразная F =1⎛ π ⎞sin 4 x + c, с найдем из условия F⎜ ⎟ = −1 ,4⎝ 24 ⎠11111π⋅ sin + c = −1;+ c = −1 , c = −1 , F = sin 4 x − 1 .484688№ 137211, F = ln x + 1 − ln x − 1 + c ;−x +1 x −131332) y =; y=, F = ln x − + c .1⎞4x − 1⎛444⎜ x − ⎟4⎠⎝1) y =№ 137399221) ∫ 3 x − 1dx = ∫ (x − 1) 3 dx =π4(1)π43(x − 1)4 342) ∫ 2 cos2 x − 1 dx = ∫ cos 2 xdx =π6π69=2()453 42 −1 =;44π411⎛3 ⎞⎟ 2 − 3;=sin 2 x = ⎜1 −22 ⎜⎝2 ⎟⎠4π64 x24+37 ⎞⎛⎛1⎞4dx = ∫ ⎜ x + 2 +3) ∫⎟dx = ⎜ x 2 + 2 x + 7 ln x − 2 ⎟ =x−2⎠⎝2⎠33 x−23⎝⎛9⎞ 11= (8 + 8 + 7 ln 2 ) − ⎜ + 6 + 7 ln1⎟ =+ 7 ln 2 .⎝2⎠ 2246№ 1374π1) ∫ sin xdx = − cos xπ21(ππππ3= 1 ; 2) ∫ cos xdx = sin xπ26π36=3 1− =223 −1;2)⎞ 1⎛13) ∫ x 2 + 2 x + 3 dx = ⎜ x 3 + x 2 + 3x ⎟ =3⎝⎠ −2−2=7118+1+ 3 − + 4 − 6 = 2 − = − ;3333()2⎛1⎞24) ∫ x 2 − 6 x + 8 dx = ⎜ x 3 − 3x 2 + 8x ⎟ =⎝3⎠111⎛8⎞ ⎛1⎞ 7⎜ − 12 + 16 ⎟ − ⎜ − 3 + 8 ⎟ = − 1 = 1 ;3333⎝⎠ ⎝⎠()32⎛ 1⎞3 ⎛ 1⎞5) ∫ x − 2 + 1 dx = ⎜ − + x ⎟ = ⎜ − + 3 ⎟ − (− 1 + 1) = 2 ;3⎝ x⎠1 ⎝ 3⎠1111222dx = − ∫dx = − ∫54x4x5−−⎛−1−1−1 4⎜ x −⎝6) ∫15= − ln x −245⎞⎟4⎠dx =11⎛ 19⎞1 11= − ⎜ ln − ln ⎟ = − ln = − ln = ln 3 .244293⎝⎠−1№ 1375π⎞ 1ππ⎛1) cos⎜ 3x − ⎟ = , 3x − = ± + 2πn , n ∈ Z ,434⎠ 2⎝π ππ π 2Ответ: x =3x = ± + + 2πn , n ∈ Z .± + πn , n ∈ Z3 412 9 3132) log2(3 – 2x) < -1, log 2 (3 − 2 x ) < log 2 , 3 − 2x > 0, т т.

Характеристики

Список файлов книги