alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Функция возрастает на [-5,0] и убывает на [0,5].№ 1296y=5x−21) D( y ) = (−∞;2 ) U (2;+∞ ) ; 2) Ни четная, ни нечетная, непериодическая3) y ' =−5,(x − 2 )2y ' ≠ 0 , следователь-но стационарных точек нет.4) 0у: х = 0, у = -1,25, 0х: пересеченийнет;5) y′ < 0 при x ≠ 2 , следовательнофункция убывает.№ 12971) y = 3x + 1а) D( y ) = (− ∞;+∞ )б) функция не является четной инечетнойв) y ' =3xln 3г) 0х: у = 0 – пересечений нет, 0у: х = 0, у = 2д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функция возрастает.223x⎛1⎞2) y = ⎜ ⎟−3⎝2⎠а) D( y ) = (− ∞;+∞ )б) функция не является четной и нечетнойв) y ' =(0,5)xln (0,5)г) 0х: у = 0 – пересечений нет0у: х = 0, у = -3д) y ' > 0, y ' ≠ 0 , следовательно функциявозрастает3) y = log 2 (x + 1)а) D(y): x + 1 > 0, т.е.

х > - 1б) функция не является четной и нечетнойв) y ' =1(x + 1) ln 2г) 0х: у = 0, х = 0; 0у: х = 0, у = 0д)y′ > 0 при x > -1 — функция возрастаетy′ < 0 при х < -1, но на данном промежутке функция не существует.4) y = log 1 (x − 1)3а) D(y): x – 1 > 0, x > 1б) функция не является четной и неявляется нечетнойв) y ' =1(x − 1)ln 13г) 0х: у = 0, х = 20у: х = 0 – пересечений нетд) y’ > 0 при x > 1, функция возрастаетy’ < 0 при x < 1, но функция на данном промежутке не существует.№ 12981) y = 2 x −1 − 3а) D(y): x ∈ (−∞;+∞ )б) функция не является четной и неявляется нечетнойв) y ' =2 x −1ln 2г) 0х: у = 0, х = log23+10y: x = 0, y = -2,5224д) y’ > 0 при x > -2y’ < 0 при x < -2, но на данном интервале функция не существует2).

y = log 2 ( x + 2) + 3 ; а) Д(у) : х+2>0; х>-2;б) функция не обладает свойствами четности или нечетности;в) y ' =11571; г) Ох : у=0 при x = −2 + = −= −1 ;888( x + 2) ln 2Оу : х=0 при у=4;д). у′>0 при х>-2; у'<0 при х<-2, но на этом интервале функция не существует, следовательно, данная функция возрастает на области определения.№ 12991) y = 2 x + lg(6 − 3x ) , D(y): 6 – 3x > 0, x < 2;2) 3 − x − 2 ln (2 x + 4 ) , D(y): 2x + 4 > 0, x > -2;1π nπ3) y =, D( y ) : cos 2 x ≠ 0, x ≠ +, n∈Z ;4 2cos 2 xxx4) y = tg , D( y ) : cos ≠ 0, x ≠ 2π + 4nπ, n ∈ Z .44№ 1300–+x −3 x −31) y =,≥0x+3 x+3–33D(y): x ∈ (−∞;−3) U [3;+∞ )2) y =log32x +1x−62x + 1 − x + 6≥ 0;x−62x + 1≥ 1;x−6x+7≥0x−6D(y): x ∈ (−∞;−7 ]U (6;+∞ ) .–+–7++6№ 1301x 2 − 6 x − 16,x 2 − 12 x + 11(x − 8)(x + 2) ≥ 0; x ∈ (− ∞;−2]U (1;8]U (11;+∞ ) ;D( y ) :(x − 11)(x − 1)1) y =2) y = log 1 (x − 3) − 1 ,21⎧⎧log (x − 3) − 1 ≥ 0 ⎪ x − 3 ≤; ⎨D( y ) : ⎨ 1 / 22;⎩x − 3 > 0⎪⎩ x − 3 > 01⎧1⎤⎛⎪x ≤ 3⎨2 ; x ∈ ⎜ 3; 3 ⎥ .2⎦⎝⎪⎩ x > 3225№ 13021) y =()⎧⎪ x 2 − 5 x + 7 > 0log0,8 x 2 − 5 x + 7 , D( y )⎨;2⎪⎩log0,8 x − 5 x + 7 ≥ 02()2x − 5 x + 7 = 0; D < 0 ⇒ x − 5 x + 7 > 0 ;x 2 − 5 x + 7 ≤ 1; x 2 − 5 x + 6 ≤ 0; x1, 2 =2) y =()5 ± 1 ⎧ x ∈ (− ∞;+∞ ); ⎨x ∈ (2;3) ;2⎩ x ∈ (2;3)log0,5 x 2 − 9 ,[]) (⎧⎪ x 2 − 9 > 0D( y ) : ⎨; x ∈ − 10 ;−3 ∪ 3; 10 .2⎪⎩log 0,5 x − 9 ≥ 0№ 130361) y = x 2 + 6 x + 3 , x0 = − = −3, y0 = −6, след.

y ≥ −6 ;2−82) y = −2 x 2 + 8 x − 1 , x0 == 2, y0 = 7, след. y ≤ 7 ;−4()3) y = e x + 1 , ex > 0, след. y > 1;4) y = 2 +222, y − 2 = ; x ≠ 0,≠0 ⇒ y≠2.xxx№ 1304π⎞π⎞⎛⎟ , − 1 ≤ sin ⎜ x − ⎟ ≤ 1, след. y ∈ [− 0,5;1.5] ;4⎠4⎠⎝0,52) y = 0,5 cos x + sin x; y = 1,25 cos(α − x ); α = ar cos;1,25⎛1) y = 0,5 + sin ⎜ x −⎝[− 1,25 ≤ 1,25 cos x ≤ 1,25 ; − 1 ≤ sin x ≤ 1, след.

y ∈ − 1,25 ; 1,25№ 13051) f (x ) = sin x + cos x, x0 =2) f (x ) = cos 3 x, x0 =πππ, k = f ' (x ) = cos − sin = −1 ;222ππ, k = f ' (x0 ) = −3 sin = −3 .62№ 13061111 −− x , x0 = 1 , f ' (x ) = − x −3 − x 2 ,2224xπf ' (1) = −1 = tgα, α = − ;41) f (x ) =226]11⎛ 3 ⎞, f ' ( x ) = ⎜ 2 x 2 ⎟' = 3 x 2 ,3⎝⎠π⎛1⎞f ' ⎜ ⎟ = 3 = tgα, α = .3⎝ 3⎠2) f (x ) = 2 x x , x0 =№ 13071) f (x ) =31, x0 = , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) ,44x x59 −⎛ 3 −3 ⎞⎛1⎞f ' (x ) = ⎜ x 2 ⎟' = − x 2 , f ' ⎜ ⎟ = −36 ,8⎝4⎠⎝4⎠1⎞⎛y = 6 − 36⎜ x − ⎟; y = 15 − 36 x4⎠⎝42) f (x ) = 2 x − x 2 + 4, x0 = −1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) ,f ' (x ) = 8 x3 − 2 x , f ' (−1) = −6 , y = 5 − 6(x + 1); y = −1 − 6 x .№ 1308y = x3 − x + 1 = f ( x) .

Точка пересечения (0,1), т.е. х0 = 0,g = f (x) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f '(x) = 3x2 −1 , f ' (0) = −1 = k, следовательно к=–1.№ 1309y = 3 x3 − 1 = f ( x), y = 2 , 2 = 3x3 − 1, x = 1 ,f ′( x) = 9 x 2 ;f ′(1) = 9 , k = f ' (1) = 9 ⋅1 = 9 .№ 1310y = 4x − 3 , y = 6 − 2x + x2 .Приравняем 4 х − 3 и 6 − 2 х + х 2 , 4 x − 3 = 6 − 2 x + x 2 ,x 2 − 6 x + 9 = 0 , (x − 3)2 = 0 , x = 3, y = 9 . Ответ: (3; 9).№ 1311y = 4 x3 − 9 x 2 + 6 x + 1 , y ' = 12 x 2 − 18 x + 6 .По условию k = y (x0 ) = 0 , где х0 – точка касания;12 x 2 − 18 x + 6 = 0 , 2 x 2 − 3x + 1 = 0 ,x1 = 1, x2 = 0,5; y1 = 2, y2 = 2,25 . Ответ: (1;2), (0,5;2,25).№ 1312π, тогда tgα = 1 = y'(x 0 ), где х0 – точка каса4ния; y ' = 6 x + 7 = 1, x = −1, y = −3 .

Ответ: (-1;-3).y = 3x 2 + 7 x + 1, α =227№ 13131) f (x ) = x ln 2 x, x0 = 0,5 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) ,xf ' (x ) = ln 2x +⋅ 2 = ln 2x + 1 , f ' (0,5) = 0 + 1 ,2x1⎞1⎛y = 0 + 1⎜ x − ⎟; y = x − ;2⎠2⎝2) f (x ) = 2− x , x0 = 1 , y = f (x0 ) + f ' (x0 )(x − x0 ) , f ' (x ) = −2− x ln 2 ,1 111f ' (1) = − ln 2 , y = − ln 2(x − 1) = (1 + ln 2 − x ln 2) .2 222№ 1314y = x3 − x 2 − 7 x + 6, M (2;−4 ) , y ' = 3x 2 − 2 x − 7 ,πy ' (2) = 12 − 4 − 7 = 1 , tgα = y ' (2) = 1 , α = .4№ 1315y = x 2 ⋅ e− x , x = 1 , tgα = y ' (1) , y ' = 2 x ⋅ e− x − x 2e− x ,2 1 11y ' (1) = − = , tgα = .e e ee№ 13162 ⎛π⎞πy = cos⎜ 3x − ⎟, x = ,3 ⎝6⎠3π⎞π⎛⎛ π⎞y ' = −2 sin ⎜ 3x − ⎟; y' ⎜ ⎟ = −1, α = − .6⎠4⎝⎝3⎠№ 1317x3 + 1 x3 + 1,= 0, x = −1; y = f (− 1) + f ' (− 1)(x + 1) ,33f ' (x ) = x 2 ; f ' (− 1) = 1 , y = x + 1 .f (x ) =№ 1318f (x ) = x3 + 1, x = 4 , y = f (4) + f ' (4)(x − 4) ,3 1f ' (x ) = x 2 ; f ' (4) = 3 , y = 9 + 3(x − 4); y = 3x − 3 .2№ 1319x2 + 11) y = 2;x −12 x x 2 − 1 − 2 x x 2 + 1 2 x3 − 2 x − 2 x3 − 2 x− 4xy' =.==222x2 − 1x2 − 1x2 −1(228) (( ))()()Функция возрастает при x < 0x2 − 1;x()2 x2 − x2 − 1 x2 + 1= 2 .x2xФункция возрастает при x ≠ 02) y =y' =№ 13201) y = (x − 1)3 (x − 2 )2 ; y ' = 3(x − 1)2 (x − 2 )2 + 2(x − 2 )(x − 1)3 == (x − 1)2 (x − 2)(3(x − 2) + 2(x − 2)) = (x − 1)2 (x − 2)(5 x − 8)+++–12858— точка максимума; x = 2 — точка минимума;52) y = 4 + (6 − x )4 , y ' = −4(6 − x )3x=х = 6 — точка минимума.№ 13211) y ==−–()(+6)3x 2 + 4 x + 4(6 x + 4) x 2 + x + 1 − (2 x + 1) 3x 2 + 4 x + 4 =; y' =22x + x +1x2 + x + 13226x + 6x + 6x + 4x + 4x + 4(x2)+ x +126 x3 + 8 x 2 + 8 x + 3x 2 + 4 x + 4(x2)+ x +12()−=− x2 − 2 x(x2=− x(x + 2)) (x+ x +122)+ x +12+–-20х = -2 – точка минимума; х = 0 – точка максимума;(2 x + 6)(3x + 4) − 3⎛⎜ x 2 + 6 x + 3⎞⎟x2 + 6 x + 3⎝⎠=2) y =, y' =2–(3x + 4)3x + 4=226 x + 26 x + 24 − 3x − 18 x − 9 3x 2 + 8 x + 15=> 0,(3x + 4)2(3x + 4)2следовательно,функция возрастает на всей числовой, за исключением точки x = −4, в ко3торой функция не определена.Следовательно нет точек максимума и минимума.229№ 13221) y = 2 sin x + sin 2 x⎡ 3π ⎤⎢0; 2 ⎥ ,⎣⎦x3y ' = 2 cos x + 2 cos 2 x = 2 ⋅ 2 cos x ⋅ cos ,223xcos x > 0 при x ∈ (0; π) cos > 0 при x ∈ (0; π)22,,3xπ 2πnxcos = 0 x = +cos = 0 x = π + 2πn2332⎛π⎞ 3⎛ 3π ⎞y (0) = 0 y⎜ ⎟ = −2 y⎜ ⎟ = , y(π) = 0 ,⎝3⎠ 2⎝ 2 ⎠⎛π⎞ 3⎛ 3π ⎞наиб.: y ⎜ ⎟ = ; наим.: y⎜⎟ = −2 ;⎝3⎠ 2⎝ 2 ⎠⎡ π⎤2) y = 2 sin x + cos 2 x ⎢0; ⎥ ,⎣2⎦y ' = 2 cos x − 2 sin 2 x = 2 cos x(1 − 2 sin x ) ,⎛ π⎞⎛ π⎞cos x > 0 при x ∈ ⎜ 0; ⎟ , 1 − 2 sin x > 0 при x ∈ ⎜ 0; ⎟ , cледова⎝ 2⎠⎝ 6⎠тельно у = 1,5 – точка максимума, у = 1 – точка минимума.№ 13231) y =x+5[− 1;4] ,y' =1> 0 , следовательно,2 x+5у = 2 – минимум; у = 3 – максимум;⎡ π⎤2) y = sin x + 2 2 cos x ⎢0; ⎥ ,⎣ 2⎦⎛1⎞2 2y ' = cos x − 2 2 sin x = 3⎜ cos x −sin x ⎟ = 3 cos(α + x ) = 0 ,⎜3⎟3⎝⎠1πα = arccos , cos(α + x ) = 0 α + x = + πn ,23ππ ππ+ πn ≤ ; ≤ −α ≤ π, − π ≤ α ≤ − , что невозможно22 22⎛π⎞y (0) = 2 2 ; y⎜ ⎟ = 1 ⇒ наим.: у = 1;наиб.: y = 2 2 .⎝2⎠⇒ 0 ≤ −α −№ 13241) y = ln x − xx = 1;230[0,5;4) ,1⎛1⎞y⎜ ⎟ = − ln 2 − ;22⎝ ⎠y' =1−1 = 0 ,xy (4) = ln 4 − 4y (1) = −1 ; наим.

y(4) = ln4 – 4 наиб. y(1) = -1[0;1] ,2) y = x 1 − x 2x ⋅ 2xy' = 1 − x2 ;y (0 ) = 0 ;2 1− x21 − 2 x2=1− x2= 0;x2 =11,, x=±22⎛ 1 ⎞11 11⎟=y (1) = 0 , y⎜⎜⋅= , Наим. y = 0; Наиб. y = .⎟22222⎝⎠№ 1325Обозначим радиус основания цилиндра через r, тогда объем цилиндраV = πr 2 (3 − r ) = 3πr 2 − 2πr 3 , V = 6πr − 3 ⋅ 2πr 2 = 6πr (1 − r ) .Функция V(r) возрастает, при 0 < r < 1 и убывает при r < 0 и r > 1, следовательно максимум функции Vбудет, при r = 1.№ 1326Площадь полной поверхности цилиндра S = 54π = 2πrh + 2πr 2 , где r –радиус основания, а h – высота, тогда объем V = πr2h , S = 54π = 2πrh + 2πr 2 ,() ()27 − r 2πr 2 27 − r 2, тогда V == π 27r 2 − r 3 ,rrV ' = π 27 − 3r 2 = 3π 9 − r 2 , тогда максимум V будет в точке r = 3, h = 6,h=()()тогда максимальный объем Vmax = 54π№ 1327Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту пирамиды, тогда поусловию х + h = 9; V =⎛ 93−⎜2 34⎝V ' = x⎜14 3x 2 (9 − x ), и так как объем максимальный, то⎞x ⎟ , V’ = 0, тогда х = 6.⎟⎠№ 1328Обозначим за х сторону основания, а за h – высоту призмы, тогдаV = x 2 ⋅ h , где х2 выражается через h и длину диагонали по формуле:x2 =12 − h 2312 − h 2, тогда V =⋅ h, V ' = 6 − h 2 , откуда находим, что222максимум достигается при h = 2.№ 13292⎞⎛f (x ) = x − 2 + cos x; M ⎜ 0,5π;− ⎟π⎠⎝первообразная: f1 (x ) = − x −1 + sin x + c, т.к.231222⎛π⎞f1⎜ ⎟ = −запишем: − + 1 + c = − , откуда с = -1, следовательноπππ⎝2⎠первообразная имеет вид: y1 = − x −1 + sin x − 1 .№ 1330f (x ) = x 2 (2 x − 3) − 12(3 x − 2), − 3 ≤ x ≤ 6()f ' (x ) = 2 x3 − 3x 2 − 36 x + 24 ' = 6 x 2 − 6 x − 36;Функция возрастает при x < -2 и x > 3, и убывает при –2 < x < 3f (− 2) = 68, f (− 3) = 51, f (3) = −57, f (6) = 132 .

Ответ: -57 и 132.№ 1331(111 6− 9 ⋅ 2 ⋅ ln x ⋅ + 12 ⋅ = ln 2 x − 3 ln x + 2xxx x6⎛ 2f ' (x ) = 0 при ⎜ ln x − 3 ln x + 2 ⎞⎟ = 0;⎠x⎝1) f ' (x ) = 2 ⋅ 3 ⋅ ln 2 x ⋅ln x =)3± 9−8, ln x = 2 и ln x = 1, т.е. х = е2 и х = е;2⎡ 3⎤⎡ 3⎤2) e2 ∈ ⎢e 4 ; e3 ⎥, e ∈ ⎢e 4 ; e3 ⎥ ;⎣⎦⎣⎦( )( )⎛ 3 ⎞253) f e3 = 9, f ⎜⎜ e 4 ⎟⎟ = 4 , f e2 = 4, f (e ) = 5 .32⎝⎠Ответ: 4 и 9.№ 1332y = x2 ,⎛ 1⎞A⎜ 2; ⎟ ;⎝ 2⎠1⎛ 1⎞а) d 2 = (x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2 ; A⎜ 2; ⎟, следовательно x1 = 2, y1 = '22⎝⎠( )X x; x 2 , следовательно x2 = x, y2 = x 2 ;2⎛1⎞d 2 = (2 − x )2 + ⎜ − x 2 ⎟ ; x > 02⎝⎠2⎛1⎞б) рассмотрим f (x ) = (2 − x )2 + ⎜ − x ⎟ и найдем ее наименьшнее2⎠⎝значение при x > 0.1⎛⎞ ⎛ 1⎞f ' (x ) = ⎜ 4 − 4 x + x 2 + − x 2 + x 4 ⎟' = ⎜ 4 − 4 x + x 4 ⎟' = −4 + 4 x3;4⎝⎠ ⎝ 4⎠f ' (x ) = 0 при − 4 + 4 x3 = 0, x3 − 1, x = 1 - стационарная точка232При переходе через единственную стационарную точку х = 1 производная меняет знак с «-» на «+», след.

Характеристики

Список файлов книги