alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Ответ: 60 сПо условию45 x 180212№ 1250Пусть собственная скорость теплохода х, тогда скорость движения потечению (х + 2), а против – (х – 2). Расстояние между пристанями составит(х + 2) ⋅ 7 или (х – 2) ⋅ 9, следовательно (х – 2)9 = (х + 2)⋅7, откуда х = 16,следовательно, расстояние между пристанями 126 км.№ 1251Пусть х км/ч – планируемая скорость парохода, тогда истинная скоростьх + 2,5 км/ч.
расстояние будет равно х ⋅ 54, или (х + 2,5)⋅48. Следовательно,x ⋅ 54 = (x + 2,5) ⋅ 48;54x – 48x = 120, 6x = 120, x = 20, следовательно, скорость парохода20 км/ч, а расстояние 20 ⋅ 54 = 1080 км.№ 1252Примем объем работы за 1, а время выполнения при совместной работе11за х дней.
Тогда производительность I рабочего, а II, общая2448111 ⎞⎛ 1. Следовательно, получаем уравнение: ⎜+ ⎟x = 1 ,+24 482448⎝⎠3x = 1 ; 3х = 48, х = 16.48№ 1253Ответ: за 16 дней.Пусть было освоено х га целинных земель, тогда остальная площадь составит 174 – х га. С целинных земель собрано 30х ц, а с остальных (174-х) ⋅ 22 ц.По условию было собрано 4556 ц. Следовательно, составим уравнение:Ответ: 91 га.(174 – х) ⋅ 22 + 30х = 4556, откуда х = 91.№ 1254Пусть I число равно х, a II равно у.
Тогда (х – у):ху = 1:24 и х+у=5(х–у).⎧24(x − y ) = xy, получим х = 12, у = 8.Составим систему уравнений: ⎨⎩ x + y = 5(x − y )№ 1255Пусть первая дробь равна х, а вторая дробь равна у. Тогда третья дробьравна 1 – х – у. По условию х – у = 1 – х – у и х + у = 5(1 – х – у).Составим систему:111 1 1⎧x − y = 1 − x − y⎨ x + y = 5 − 5 x − 5 y , откуда x = , y = , тогда третья дробь 1 − − =232 3 6⎩Откуда:1 1 1, , .2 3 6№ 1256Пусть дневная плановая норма – х деталей, тогда новая норма х + 9 деталей.360378360 деталей должны были изготовить задней.
А 378 деталей заx+9x378360на 1. Составим уравнение:большедней. По условию задачиx+9x213360 378−= 1 , откуда х = 45.xx+9На самом деле бригада делала 54 детали, а за весь срок 378+54=432 детали.Ответ: 432 детали.№ 1257Пусть скорость катера х км/ч. По условию, скорость плота 3,6 км/ч.Путь катера 50 км, а плота 10 км.
Время, затраченное на путь, будет равно302010302010+=+или. Отсюда, откуда х = 18.x + 3,6 x − 3,63,6x + 3,6 x − 3,6 3,6№ 1258Пусть стоимость 1 билета в I организации х копеек, тогда во II органи18003000, а IIзации билет стоил х – 30 копеек. I организация закупилаxx − 3018003000большена 5.билетов. По условиюxx − 303000 1800Составим уравнение:−= 5 , откуда х = 150 или х = 120.xx − 30Следовательно, I организация купила 20 или 25 билетов, а II – 15 или 20.№ 1259Пусть скорость плота х км/ч, тогда скорость лодки х + 48 км/ч. Время171171717лодкич, а плотач. По условиюбольшена 5 ч.x + 48x + 48xx3171716Составим уравнение:−=x x + 48 351х + 51 ⋅ 48 – 51х = 16(х2 + 48х), 16х2 + 16 ⋅ 48х – 51 ⋅ 48 = 0,х2 + 48х – 152 = 0, откуда х = 3.Ответ: 3 км/ч.№ 1260Пусть со II c 1 га собирали х ц, тогда на I участке с 1 га собирали210210210га, а второгога.
По условиюх + 1 ц. Площадь первогоx +1xx210210 210 1большена 0,5. Составим уравнение:−= , откуда х = 20.xx +1 2x +1Следовательно, на II участке с 1 га собрано 20 ц, а на I участке – 21 ц.№ 1261Пусть х шагов делает ученик, тогда его брат делает х – 400 шагов. Дли700700700м, а длина шага братам. По условиюна шага ученикаxx − 400x − 400700большена 0,2 м.x214700700−= 0,2 .x − 400x23500х – 3500х + 1400000 = х – 400х, откуда х=1400.Составим уравнение:№ 1262Пусть I число равно х, тогда II число xq, III – xq2, IV – xq3.
По условиюxq2 больше х на 9, а xq больше xq3 на 18.⎧⎪ xq 2 − x = 9⎧x = 3, откуда ⎨Составим систему: ⎨⎪⎩ xq − xq 3 = 18⎩q = −2Следовательно, I число равно 3, II равно -6, III равно 12, IV равно –24.№ 12631) По условию а4 = 1, т.е. а1 + 3d = 1, кроме того,2a + d ⋅ 2S3 = 1⋅ 3 = (a1 + d ) ⋅ 3 , т.е. (a1 + d) ⋅ 3 = 02Составим систему уравнений:1⎧d=⎪⎪⎧a1 + 3d = 1 ⎧2d = 12⎨a + d = 0 ⎨a = − d ⎨⎩ 1⎩ 1⎪a1 = − 1⎪⎩22) S n =2a1 + d (n − 1)⋅ n , тогда S122⎛ 1⎞ 12⎜ − ⎟ + ⋅11⎝ 2⎠ 2== 27 .2№ 1264Пусть I число равно х, знаменатель геометрической прогрессии q.
ТогдаII число равно xq, a III число xq2. Разность арифметической прогрессииxq2 – xq, тогда IV число xq2 + xq2 – xq = 2xq2 – xq. По условию задачи составим систему уравнений:1⎧⎧⎪ x + 2 xq 2 − xq = 16⎪q =⎧q = 3,решая,получим:и⎨⎨⎨2⎪⎩ xq + xq 2 = 12⎩x = 1⎪⎩ x = 16Следовательно, I число равно 1, II равно 3, III равно 9, IV равно 15, иличисла равны 16, 8, 4, 0, соответственно. Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.№ 1265Пусть х – первый член геометрической прогрессии, а у – ее знаменатель, тогда b5 = x ⋅ y4; b8 = x ⋅ y7, b11 = x ⋅ y10.
По условию a1 = x ⋅ y4, a2 = x ⋅y7, a10 = x ⋅ y10.Тогда d = xy7 – xy4 и а10 = а1 + 9d = xy4 + 9(xy7 – xy4).Составим уравнение: xy10 = xy4 + 9xy7 – 9xy4; x ≠ 0, y ≠ 0Следовательно, у6 = 9у3 – 8, у6 – 9у3 + 8 = 0,y3 =9 ± 81 − 32 3; у = 8, у3 = 1.2215Следовательно, у = 2 и у = 1. По условиюS5 =()()x y 5 −1x ⋅ 25 −1и S5 = 62, т.е. 62 =;х=2y −12 −1При у = 1имеем х + х + х + х + х = 62, 5х = 62, x = 122.5Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 2 или 12Ответ: 2 или 122.52.5№ 12661) Пусть а1 – первый член арифметической прогрессии, а d – ее разность. По условию a1 > 0, d > 0.2) a5 ⋅ a6 больше а1 ⋅ а2 в 33 раза, следовательно, можем составить уравнение: (a1 + 4d) ⋅ (a1 + 5d) = a1(a1 + d) ⋅ 33; a12 + 9da1 + 20d2 = 33a12 + 33a1d;−10dd32a12 + 24a1d – 20d2 = 0, откуда a1 =, a1 = , но а1 > 0, d > 0,82dследовательно, a1 = .23) a5 ⋅ a2 = (a1 + 4d) : (a1 + d) = 3.№ 1267В результате построений получается множество подобных треугольни1ков с k = , площади которых образуют бесконечную геометрическую2b121прогрессию, в ней b1 = 12, q = , следовательно S = 1 == 16 см2.11− q41−4№ 12685y = − x+b25(-2;3); 3 = − 2 ⋅ (− 2 ) + bb = −2№ 1269у = kx + 3(-1;4); 4 = −1⋅ k + 3k = −1№ 1270у = kx + b⎧− 2 = −1 ⋅ k + b ⎧2 = k − b; ⎨; k = 1, b = −1 ;⎩2 = 3(b + 2) + b1) А(-1;-2), В(3;2) ⎨⎩2 = 3k + b216⎧1 = 2k + b ⎧1 = 2k + 2 − k; ⎨; k = −1, b = 3 ;2) A(2;1), B(1;2), ⎨⎩2 = k + b ⎩b = 2 − k⎧2 = 4 k + b⎧b = 2 − 4k51; ⎨; k = ,b = − ;3) A(4;2), B(-4;-3), ⎨82⎩− 3 = −4k + b ⎩3 = 4k − 2 + 4k⎧− 2 = −2k + b ⎧b = 2k − 2⎧b = 2k − 2;⎨; ⎨4) A(-2;-2), B(3;-2), ⎨⎩− 2 = 3k + b ⎩− 2 = 3k + 2k − 2 ⎩k = 0;k = 0, b = −2№ 1271A(-3;2), B(-2;2), C(3;0)Для прямой, проходящей через В и С, справедлива система:2626⎧2 = −2k + d⎨0 = 3k + b ; k = − , b = k , таким образом y1 = − x + .5555⎩2У прямой, проходящей через А коэффициент k равен − вследствие5параллельности ее и первой прямой ВС.4⎛ 2⎞⎟ + b, откуда b = ,5⎝ 5⎠Справедливо уравнение: 2 = −3⎜ −тогда у = −24x+ .55Ответ: у = −2624x+ , у = − x+ .5555№ 1272уx + =1243= 1 принадлежит; 2) А(0;3) 0 + ≠ 1 не принадлежит220⎛3⎞ 3 1− = 1 принадлежит.3) А(1;0) 1 + = 1 принадлежит 4) А ⎜ ;−1⎟2⎝2⎠ 2 21)A(-1;4) − 1 +№ 12733x + 2 ; 1) x = 0, у = 2, А(0,2 ) – точка пересечения с 0у;48 ⎛8 ⎞у = 0, x = , B⎜ ,0 ⎟ – точка пересечения с 0x;3 ⎝3 ⎠у=−⎛8⎞3⎠22) AB = ⎜ 0 − ⎟ + (2 − 0 )2 =⎝3) Из ∆AOC : OC =4 − x2103(1)2174) Из ∆BOC : OC =Из (1) и (2): x =64 ⎛ 100 20⎞−⎜−x + x2 ⎟9 ⎝ 93⎠(2)36 86= .= AC ; OC = 4 −25 55№ 12741) 3x − 1 > 0, x <у = 3x − 1 ;1;32) 3 x − 1 < 0, x <1.3№ 1275у 2 − 2 x + 1 ; 1) − 2 x + 1 > 0, x <1;22) − 2 x + 1 < 0, x >1.2№ 1276у = 2 x − 1, у = 3 x − 2, 2 x − 1 < 3 x − 2; x > 1.№ 1277у = 3 − 2 x − 3, у = 1+ 3 x + 2 33 − 2 x − 3 > 1 + 3 x + 2 3; x < − 3(())(())№ 1278у = 2 x − 3 .
Т.к. линейная функция вида у = kx + b возрастает приk > 0 и данная функция линейная и k = 2 > 0, то она возрастает.№ 1279у = − 3x − 3Т.к. функция у = − 3 x − 3 линейная и k = −3 < 0, то она убывает.№ 12801) Графики линейных функций пересекаются, если коэффициенты k уних различны.у = 3x − 2 и у = 3x + 1 параллельны2) y = 3 x − 2 и y = 3 x + 1 пересекаются.№ 12811) y = 2 − xа) y = 2 − xб) симметрия относительно Oyв) пересечений нет.2182) y = 2 − xточки пересечения2 − x = 3, x = −1, y = 3и x = 5, y = 33) y = 2 − x + x − 3⎧x ≥ 3⎧x ≥ 3⎧x < 2⎧x < 2;⎨;а) ⎨⎩ y = x − 2 + x − 3 ⎩ y = 2x − 5⎧2 ≤ x < 3⎧2 ≤ x < 3;⎨б) ⎨⎩y = x − 2 − x −3 ⎩y =1;⎨в) ⎨⎩ y = 2 − x − x + 3 ⎩ y = −2 x + 5точки пересечения: y = 2 − x + x − 3 = 3 , x = 4, y = 3 и x = 1, y = 3.№ 1282y = x2 − 2 x − 31) графиком функции служит парабола, ветви которой направленывверх, вершина в точке (+1;-4).2) Найдем у’:y ' = 2 x − 2 = 2(x − 1)y ' > 0 при x > 1, след.
на x ∈ [1;4)функция возрастает3) Наименьшее значение в точкеx = 1, равное –44) x 2 − 2 x − 3 > −2 x + 1, x 2 − 4 > 0при x ∈ (− ∞;−2 ) U (2;+∞ )5) y = f (xo ) + f ' (xo )⎛⎜ x − x ⎞⎟⎝0⎠219f ' (2 ) = 2, f (2 ) = −3y = −3 + 2(x − 2 ) = −3 + 2 x − 4y = 2 x − 7 — уравнение касательной в точке х0 = 2.№ 1283y = −2 x 2 + 3 x + 21) график функции – парабола, ветви направлены вниз; вершина с координатами31, y0 = 3 ,48точки пересечения с 0у: (0;2);с 0х: (2;0), (- ½ ; 0) у(х) < 0 при x > 2 и x < - ½x0 =3, следовательно на [1;2] функция убывает433) наибольшее значение функция принимает в точке x =4224) y = 3 x + 2 , − 2 x + 3x + 2 < 3x + 2 , − 2 x < 0 ,2) y′ – 4x + 3 < 0 при x >x 2 > 0 , следовательно при всех x ≠ 0 ;5) y = 3; 3 = −2 x 2 + 3 x + 2; 2 x 2 − 3 x + 1 = 0; x = 1, x =y ' (1) = −1, y = -x + 4 - уравнение касательной в х = 11;21⎛1⎞y ' ⎜ ⎟ = 1; y = x + 2,5 - уравнение касательной в x =22⎝ ⎠№ 12841) y = x2 и y = x + 6, x2 = x + 6,x2 – x – 6 = 0 D = 1 + 24 – решение есть, след.
пересекаются.2) y =33и y = 4(x + 1) ,= 4 x + 1; 3 = 4 x 2 + x, 4 x 2 + x − 3 = 0 ,xxD = 1 + 48 – решение есть, след. пересекаются.1 21 11x и y = , x 2 = , x3 = 8 , x = 2 , след. пересекаются.8x 8x114) y = 2 x − 1 и y = , 2 x − 1 = ,xx22 x − x − 1 = 0 D = 1 + 8 – решение есть, след. пересекаются.3) y =№ 12851) y = 2 x + 2− x , y (− x ) = 2− x + 2 x = y (x ) – функция четная2) y = 3 x − 3− x , y (− x ) = 3− x − 3 x = − y (x ) – функция нечетная2203) y = ln3+ x3− x3+ x, y (− x ) = ln= − ln= − y (x ) – функция не3+ x3− x3− xчетная4) y = ln5+ x; y(− x ) = y (x ) – функция четная5− x№ 12861) y = 2 x 2 − 1 , y (− x ) = 2(− x ) − 1 = y (x ) – функция четная22) y = x − x3 , y (− x ) = − x + x3 = y (− x ) – функция нечетная11, y (− x ) = − x5 + = y (x ) – функция нечетнаяxxsin (x )− sin x3) y = x5 −4) y =x, y (− x ) == y (x ) – функция четнаяx№ 12871) y = x sin x , y (− x ) = − x(− sin x ) = y (x ) – функция четная2) y = x 2 cos x , y (− x ) = (− x ) cos x = y (x ) – функция четная23) y = x + sin x , y (− x ) = − x − sin x = − y (x ) – функция нечетная4) y = x + cos x , y (− x ) = − x + cos x — функция не является четной ине является нечетной.№ 12881) y = cos2π 4 π3xT= 3 =2322) y = 2 sin 0,6 xT=2π 10= π0,6 3№ 12891).
y = cos 3 x; 3T = 2π; T =x T2π; 2). y = sin ; = 2π; T = 10π ;35 5π;5sin x cos x + sin x sin x(cos x + 1)== tgx(cos x + 1) ;4). y = sin x + tgx; y =cos xcos x3). y = tg 5 x; 5T = π; T =Наименьший период для sin x 2π, для tgx 2π тоже являются периодом.Следовательно для у = sinx + 69x Т=2π.№ 12901) y = − x 4 + 4 x 2 − 5 , y (− x ) = − x 4 + 4 x 2 − 5 = y (x ) – функция четная2) y = x3 − 4 x , y (− x ) = − x3 + 4 x = − y (x ) – функция нечетная221№ 1291y = ax 2 + bx − 4 , y (1) = 0, y (4 ) = 0 ,⎧0 = a + b − 4⎨0 = 16a + 4b − 4;⎩⎧b = 4 − a⎧b = 4 − a⎧b = 5⎨16a + 16 − 4a = 0; ⎨12a + 12 = 0 ⎨a = −1⎩⎩⎩y = − x 2 + 5b − 4 .Наибольшее значение функция принимает в точке x =5⎛5⎞; y⎜ ⎟ = 2,252⎝2⎠№ 1292⎛1⎞3π⎞⎛sin 2 x −cos 2 x ⎟ = 2 sin ⎜ 2 x − ⎟⎜2⎟23⎠⎝⎝⎠1) y = sin 2 x − 3 cos 2 x = 2⎜()2) y = 2 cos 2 x + sin 2 2 x = 2 cos 2 x − sin 2 x + 4 sin 2 x cos 2 x =(= 2(1 − 2 sin2(22(2)= 2 1 − sin x − sin x + 2 sin x ⋅ 1 − sin x =224)x + 2 sin x − 2 sin x = 2 − 4 sin 2 x21 ≥ sin x ≥ 0 , ymax = 2 , ymin = −2 .
(Опечатка в ответе задачника).№ 12931) y = 2 x 2 − 5 x + 6 , с осью 0y: х = 0, у = 6 ⇒ (0, 6),с осью 0х пересечений нет, т.к. D < 0;2) y = 2 x 2 − 5 x + 2 , c осью 0у: х = 0, у = 2 ⇒ (0, 2)с осью 0х: x 1 =25 ± 25 − 16 5 ± 3⎛1 ⎞=, (2, 0) и ⎜ ,0 ⎟ .44⎝2 ⎠№ 1294y = ax 2 + bx + c , y (−2 ) = 15, y (3) = 0, y (0 ) = −3⎧15 = 4a − 2b + c⎪⎨0 = 0a + 3b + c ;⎪⎩− 3 = c⎧c = -3⎪;⎨- 3a + 1 = b⎪⎩15 = 4a + 6a - 2 - 3⎧a = 2⎪⎨b = -5⎪⎩c = -3y = 2 x 2 − 5 x − 3 — график функции — парабола с1⎞⎛5,−6 ⎟ , ветви которой направле48⎠⎝вершиной в точке ⎜ны вверх.222№ 1295y = 25 − x 2 ,1) 25 − x 2 ≥ 0, (5 − x )(5 + x ) ≥ 0; D( y ) = [− 5;5] ;2) y (− x ) = 25 − x 2 = y (x ) — четная;123) y ' = − ⋅ 2 x ⋅125 − x 2=−x25 − x 2, у′ = 0 при х = 0;4) т.к. функция четная, то график функции симметричен относительно0у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
