alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Пусть ab=x, тогда a =()xи неравенство примет вид:bx 2 + b 2 x + x + b 2 − 4bxx + b2 (x + 1) − 4bx⎛x⎞⎛ x⎞ 4x≥0;⋅b ;≥0;⎜ + b ⎟⎜ ⋅ b + 1⎟ ≥bb⎠ b⎝b⎠⎝ b(x2) ()− 2bx + b 2 + x 1 − 2b + b 2≥ 0;b(x − b )2 + x(1 − b )2b≥0.(ab − b )2 + ab(1 − b )2≥0.bНеравенство верно, т.к. (ab – b)2 > 0, ab > 0, b > 0, (1 – b)2 ≥ 0;2) a4 + 6a2b2 + b2 > 4ab(a2 + b2), (a4 + 2a2b + b4) + 4a2b2 > 4ab(a2 + b2),2(a +b2)2+4a2b2>4ab(a2+b2), (a2+b2)2–4ab(a2+b2)+4a2b2>0, но ((a2+b2)–2ab)2 > 0при всех a, b таких, что a2 + b2 – 2ab ≠ 0, т.е.
при (a – b)2 ≠ 0, a ≠ b.Сделаем обратную подстановку:№ 12351)1⎛ a b c ⎞a b c+ + ≥ 3 , ⎜ + + ⎟ ≥1b c a3⎝ b c a ⎠a bcи, а справа их,b caсреднее геометрическое. Т.к. среднее геометрическое всегда не превышаетсреднего арифметического, то неравенство верно для любых a>0, b>0, c>02) 2a2+b2+c2≥2a(b+c), a2+a2+b2+c2–2ab–2ac≥0, (a–b)2+(a–c)2 ≥ 0 – верно.Слева стоит среднее арифметическое чисел№ 12363+ 7y⎧x=⎧5 x − 7 y = 3 ⎪⎪51) ⎨⎨⎩6 x + 5 y = 17 ⎪ 6(3 + 7 y ) + 5 y = 175⎩⎪20518 + 42у + 25у = 85, 67у = 67, у = 1, x =3+ 7y= 2 . Ответ: (2; 1).5⎧2 x − y − 13 = 0 ⎧ x = −2 y − 12) ⎨⎨⎩ x + 2 y + 1 = 0 ⎩2(−2 y − 1) − y − 13 = 0-4у – 2 – у – 13 = 0, -5у = 15, у = -3, х = 5.
Ответ: (5; -3).№ 1237⎧x − y x + y−= 10⎪⎪⎧2 x − 2 y − 5 x − 5 y = 10021) ⎨ 5⎨2 x + 5 y = 100xy⎩⎪ + = 10⎪⎩ 5 2⎧ ⎛ 100 − 5 y ⎞⎟ − 7 y = 100⎪⎪− 3⎜2⎠⎨ ⎝⎪ x = 100 − 5 y⎪⎩2-300 + 15у – 14у = 200, у = 500, х = -1200. Ответ: (-1200; 500).⎧x + y x − y+=6⎪⎪⎧3 x + 3 y + 2 x − 2 y − 36 = 032) ⎨ 2⎨3 x + 3 y − 4 x + 4 y = 0xyxy+−⎪−=0 ⎩3⎩⎪ 4⎧−3x − 7 y = 100⎪⎨ x = 100 − 5 y⎪⎩2⎧5 x + y − 36 = 0 ⎧35 y + y − 36 = 0у = 1, х = 7.
Ответ: (7; 1).⎨7 y − x = 0⎨x = 7 y⎩⎩№ 1238⎧⎪ y = x 2 − 5⎧⎪ y + 5 = x 21) ⎨ 2⎨2⎪⎩ x + y 2 = 25 ⎪⎩ x 2 + x 2 − 5 = 25х2 + х4 – 10х2 + 25 = 25, х4 – 9х2 = 0, х2(х2 – 9) = 0, х2(х – 3)(х + 3) = 0,х = 0, х = ±3, у = -5, у = 4.Ответ: (0, -5), (3, 4), (-3, 4).⎧ xy = 16⎪⎧ xy = 16 ⎧4 y 2 = 16; ⎨2) ⎨ x, у = ±2, х = ±8.Ответ: (±8, ±2).; ⎨=4⎩x = 4 y ⎩x = 4 y⎪⎩ y()22⎧ 2⎧ 2⎧ 23) ⎨ x + 2 y = 96 ⎨4 y + 2 y = 96 ⎨ y = 16 , у = ±4, х = ±8.⎩x = 2 y⎩x = 2 y⎩x = 2 yОтвет: (±8, ±4)№ 123922222⎧⎧ 2⎧1) ⎨ x − y = 13 ⎨(1 + y ) − y = 13 ⎨1 + 2 y + y − y = 13 , у = 6, х = 7.⎩x − y = 1⎩x = y + 1⎩x = y + 1Ответ: (7, 6).206⎧ x 2 − 3 y = −5⎧ 2⎪222) ⎨ x − 3 y = −5 ⎨23 − 7 x , х – 23 + 7х + 5 = 0, х + 7х – 18 = 0,7+3=23xyy=⎩⎪3⎩22Ответ: (2, 3), (-9, 28 ).х1 = 2, х2 = -9, у1 = 3, у2 = 28 .33№ 1240⎧x y 3x1 3 t 2 −1 3⎪ − == t , тогда t − = ;1) ⎨ y x 2 .
Пусть= ; 2t2–3t–2 = 0,t 2t2y⎪ x 2 + y 2 = 20⎩t1 = 2, t2 = −1xx1, отсюда а) = 2 и б) = − ;yy22а) х = 2у и (2у)2 + у2 = 20, 5у2 = 20, y = ± 4 = ±2 , х = ±4;21⎛ 1 ⎞y и ⎜ − y ⎟ + y 2 = 20 , у = ±4, х = ±2.2⎝ 2 ⎠Ответ: (±4, ±2), (±2, ±4).1 ⎧ y x 10⎧y x⎪ + =3⎪ + =3 ⎨x y3 .2) ⎨ x y⎪x2 − y 2 = 8 ⎪x2 − y 2 = 8⎩⎩б) x = −Обозначим:t1 = 3, t2 =y1 10, 3t2 + 3 – 10t = 0, 3t2 – 10t + 3 = 0,= t , тогда t + =xt31;3y= 3 , у = 3х, х2 – 9х2 = 8, -8х2 = 8, х2 = -1, решений нетxy 1б) = ; х = 3у, 9у2 – у2 = 8, у = ±1, х = ±3. Ответ: (±3, ±1).x 3а)⎧⎪ x 2 = 13x + 4 y, вычтем уравнения: х2 – у2 = 9(х – у),3) ⎨ 2⎪⎩ y = 4 x + 13 y(х – у)(х + у) – 9(х – у) = 0, (х–у)(х+у–9) = 0 – либо х = у, либо х = 9 – уа) х=у, х2=13х+4х, х2–17х=0, х(х–17)=0, х1=0, х2=17, у1=0, у2 =17;б) х=9–у, у2=4(9–у)+13у, у2–9у–36=0, у1=-3, у2 =12, х1 = 12, х2 = -3.Ответ: (0, 0), (17, 17), (12, -3), (-3, 12).⎧⎪3x 2 + y 2 − 4 x = 40, вычтем уравнения: х2 – 7х = -12,4) ⎨ 2⎪⎩2 x + y 2 + 3 x = 52х2–7х+12=0, х2–7х+12=0, x 1 =27 ± 49 − 48 7 ± 1=, х1 = 4, х2 = 3;22207а) х = 4, 32 + у2 + 12 = 52, у2 = 8, y = ±2 2 ;б) х = 3, 18 + у2 + 9 = 52, у2 = 25, у = ±5.Ответ: (4, ± 2 2 ), (3, ±5).№ 1241⎧⎪2 x + y = 32 ⎧⎪2 x + y = 25 ⎧ x + y = 5 ⎧ x = 5 − y1) ⎨ 3 y − x; ⎨; ⎨; ⎨⎪⎩3= 27 ⎪⎩33 y − x = 33 ⎩3 y − x = 3 ⎩3 y − 5 + y = 34у = 8, у = 2, тогда х = 3.
Ответ: (3, 2).x⎧3x − 22y = 77⎪2) ⎨ x. Пусть 3 2 = a, 2 y = b ; a, b>0, тогда система примет вид:⎪32 − 2y = 7⎩⎧a 2 − b 2 = 77 ⎧a 2 − b 2 = 77 ⎧(b + 7 )2 − b 2 = 77 ⎧b 2 + 14b − b 2 = 28⎨⎨⎨⎨⎩a − b = 7⎩a = b + 7⎩a = b + 7⎩a = b + 7x⎧b = 22у⎨a = 9 , тогда 3 2 = 3 , х = 4, 2 = 2, у = 1. Ответ: (4, 1)⎩⎧⎪3x ⋅ 2 y = 5763) ⎨⎪⎩log 2 ( y − x ) = 4⎧3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6⎨⎩y = x + 4⎧3x ⋅ 2 y = 32 ⋅ 26⎪⎨⎪⎩log 2 ( y − x ) = log224⎧3 x ⋅ 2 y = 3 2 ⋅ 2 6⎨⎩y − x = 43х ⋅ 2х+4 = 32 ⋅ 26, 3х ⋅ 2х = 32 ⋅ 22Т.к. функция 3х ⋅ 2х возрастает, то решение единственное. Отсюдах = 2, у = 6.
Ответ: (2, 6)⎧lg x + lg y = 4 ⎧⎪lg xy = lg104 ⎧⎪ xy = 1044) ⎨ lg y⎨⎨= 1000 ⎪⎩ x lg y = 1000 ⎪⎩log x x lg y = log x 1000⎩x⎧⎪ xy = 104⎨⎪⎩lg y = log x 1034⎧⎪ y = 10⎨x⎪lg y = 3 log x 10⎩⎧104⎪y =⎪x⎨4103⎪lg=⎪⎩ xlog10 x31043=4 − lg x =xlg xlg xПусть lgx = a, 4a – a2 – 3 = 0, a2 – 4a + 3 = 0, a1 = 1, a2 = 3;1) a = 1, lgx = 1, x = 10, у = 103; 2) a = 3, lgx = 3, х = 103, у = 10.Ответ: (10, 1000), (1000, 10).lg№ 1242⎧1⎧log x − log y = 0 ⎪ log 2 x − log 2 y = 01) ⎨ 2 4 2 2⎨2⎩x − 5 y + 4 = 0⎪x2 − 5 y2 + 4 = 0⎩208⎧⎪log 2 x y = 0⎨ 2⎪⎩ x − 5 y 2 + 4 = 0⎧⎪ x y = 1⎨ 2⎪⎩ x − 5 y 2 + 4 = 0⎧⎪⎪ y =⎨⎪x2 −⎪⎩1xх3 + 4х – 5 = 0,5+4=0xx 3 + 4 x - 5 = (x - 1) (x 2 + x + 5) = 0 ⇔ x = 1 (т.к.
х2 + х + 5 > 0 при любомх ∈ R), х = 1 – единственный действительный корень; у = 1. Ответ: (1, 1).244⎧⎪ x 2 + y 4 = 16 ⎧⎪ x + y = 16⎧ 22) ⎨ x + y = 168⎨ 2⎨23⎩log 2 x + 2 log 2 y = 3 ⎪⎩ xy = 2⎪y = x⎩⎧ 2 82⎪⎪ x + 2 = 16x⎨⎪ y2 = 8⎪⎩x⎧ x 4 − 16 x 2 + 64 = 0⎪⎨ 2 8⎪y = x⎩()2⎧ 2⎪ x −8 = 0⎨ 2 8⎪y =x⎩⎧⎪ x = ± 8, но х, у > 0 по определению логарифма. Ответ:⎨⎪⎩ y =8( 8, 8 ) .4№ 1243⎧⎪ x + y = 161) ⎨.⎪⎩ x − y = 2y = b, a ≥ 0, h ≥ 0 , тогда система примет вид:Пусть x = a,⎧a + b = 16 ⎧2b = 14 ⎧b = 722⎨a − b = 2 ⎨a = b + 2 ⎨a = 9 , тогда x = a = 81, y = b = 49.⎩⎩⎩Ответ: (81, 49).⎪⎧ x − y = 1y =b≥02) ⎨. Пусть x = a ≥ 0,⎪⎩ x + y = 19⎧a − b = 1 ⎧a = b + 1⎨a + b = 19 ⎨2b = 18 ;⎩⎩⎧a = 10⎨b = 9 , где a = x , b =⎩y , тогда х=100, у=81.№ 1244⎧⎪ x + y − 1 = 1⎧x + y − 1 = 11) ⎨⎨2⎪⎩ x − y + 2 = 2 y − 2 ⎩ x − y + 2 = 4 y − 2 y + 1⎧x = 2 − y⎧x = 2 − y⎧x = 2 − y⎨⎨⎨ 22⎩2 − y − y + 2 = 4 y − 8 y + 4 ⎩4 y − 6 y = 0 ⎩2 y (2 y − 3) = 0()1⎧⎧x = 2 − yx = 2, x =⎪⎪⎪2 , при этом должно выполняться:⎨ y = 0, y = 3 ⎨3⎪⎩⎪==y0,y2 ⎪2⎩209а) х + у – 1 ≥ 0; б) х – у + 2 ≥ 0; в) 2у – 2 ≥ 0.Для у = 0, х = 2 условие в) не выполняется, следовательно,⎛1 3⎞решение — ⎜ , ⎟ .⎝2 2⎠⎧⎪ 3 y + x + 1 = 22) ⎨⎪⎩ 2 x − y + 2 = 7 y − 6⎧x = 3 − 3 y⎨2⎩2(3 − 3 y ) − y + 2 = 49 y⎧3 y + x + 1 = 4⎨2⎩2 x − y + 2 = 49 y − 84 y + 36⎧x = 3 − 3 y⎨− 84 y + 36 ⎩6 − 6 y − y + 2 = 49 y 2 − 84 y + 3677 ± 5929 − 5488 77 ± 21=,9898212 94у1 = 1, у2 = , х1 = 0, х2 = 3 −= , при этом должно выполняться:77 7а) 3у + х + 1 ≥ 0; б) 2х – у + 2 ≥ 0; в) 7у – 6 ≥ 0, следовательно, решением является пара (0, 1).Ответ: (0, 1).49y2 – 77y + 28 = 0, y 1 =№ 1245⎧sin x + cos y = 1⎪1) ⎨ 23⎪⎩sin x + 2 sin x ⋅ cos y = 4⎧cos y = 1 − sin x⎪⎨sin 2 x + 2 sin x(1 − sin x ) = 3⎪⎩4⎧cos y = 1 − sin x⎧cos y = 1 − sin x⎪⎪⎨sin 2 x + 2 sin x − 2 sin 2 x − 3 = 0 ⎨− sin 2 x + 2 sin x − 3 = 0⎪⎩⎪⎩4424sin x – 8sinx + 3 = 0, sinx = a, |a| ≤ 1, 4a2 – 8a + 3 = 0,4 ± 16 − 124±21, a1 =, a1 = 1,5 > 1, a2 = , т.е.442211±πn πsin x = ; x = (− 1)+ nπ, n ∈ Z , cos y = ; y =+ 2lπ, l ∈ Z .2623ππ⎛⎞Ответ: ⎜ (− 1)n + nπ, n ∈ Z , ± + 2lπ, l ∈ Z ⎟63⎝⎠a1 =21⎧1⎪sin x + sin y =2) ⎨, sin x = − sin y ,2222⎪cos x + 2 sin x sin y + 4 cos y = 4⎩⎛1⎞cos 2 x + 2⎜ − sin y ⎟ sin y + 4 cos 2 y = 4 ,⎝2⎠2⎞⎛11 − ⎜ − sin y ⎟ + 1 ⋅ sin y − 2 sin 2 y + 4 cos2 y = 4 ,⎠⎝21−2101+ sin y − sin 2 y + sin y − 2 sin 2 y + 4 − 4 sin 2 y − 4 = 0 ,4− 7 sin 2 y + 2 sin y +3= 0 , siny = a; |a| ≤ 1, 28a2 – 8a – 3 = 0,44 ± 16 + 84 4 ± 1013, a1 = , a 2 = − ,=2828214π1а) sin y = ; y = (− 1)n + nπ, n ∈ Z , sinx = 0, x = πl, l ∈ Z,263⎛ 3⎞б) sin y = − ; y = (− 1)n +1 arcsin⎜ ⎟ + nπ, n ∈ Z ,14⎝ 14 ⎠a1 =25⎛5⎞, x = (− 1)l arcsin⎜ ⎟ + lπ, l ∈ Z .7⎝7⎠π⎛⎞Ответ: ⎜ πl , l ∈ Z ; (− 1)n + nπ, n ∈ Z ⎟6⎝⎠sin x =53⎛⎞ln +1⎜ (− 1) arcsin + lπ, l ∈ Z ; (− 1) arcsin + nπ, n ∈ Z ⎟ .714⎝⎠№ 12461⎧⎪sin x cos y = −1) ⎨2⎪⎩tgxctgy = 11⎧⎪⎪sin x cos y = − 2 sin x cos y⋅= 1 , тогда⎨ sin x cos y⎪⋅= 1 cos x sin y⎩⎪ cos x sin y1 11, sin x ⋅ cos y − cos x ⋅ sin y = − + = 0 , т.е.2 22sin(x – y) = 0, x – y = πn, n ∈ Z, x = πn + y, n ∈ Z,11sin ( y + πn ) cos y = − , (sin y ⋅ cos πn + cos y sin πn ) cos y = − ,221πа) n = 2k + 1, тогда − sin y cos y = − , sin2y = 1, 2 y = + 2πl , l ∈ Z ;221πб) n = 2k, тогда sin y cos y = − , sin2y = -1, 2 y = − + 2πl , l ∈ Z .22cos x ⋅ sin y = −⎛⎞⎛ π⎞ πОтвет: ⎜⎜ πn + ⎜ ± + πl ⎟,± + πl ⎟⎟ , l, n ∈ Z.⎝ 4⎠ 4⎝⎠1⎧⎪sin x sin y =2) ⎨4⎪⎩3tgx = ctgy1⎧⎪⎪sin x sin y = 43⎨ sin x ⋅ sin y 1 тогда cos x cos y = ,4⎪=⎪⎩ cos x ⋅ cos y 3cos x cos y − sin x sin y =3 1 1− = ,4 4 22111ππ; x + y = ± + 2πn, n ∈ Z , x = ± − y + 2πn, n ∈ Z ,23311⎞1 1⎛= ⎜ cos(x − y ) − ⎟ ,sin x ⋅ sin y = (cos(x − y ) − cos(x + y )) ,2⎠24 2⎝cos(x + y ) =cos(x – y) = 1; x – y = 2πl, l ∈ Z,π⎧ππ⎪x = ± − y + 2πn, n ∈ Z, x = ± + π(l + n ) y = ± + π(l + n ) − 2πl ; l, n ∈ Z⎨366⎪⎩ y = x − 2πl , l ∈ Zπ⎛ π⎞Ответ: ⎜ ± + π(l + n );± + π(n − l )⎟, l , n ∈ Z .66⎝⎠№ 1247x+4⎧ 2 x − 3 3x + 5 x−− < 3−⎪⎪ 2362 ; ⎧3(2 x − 3) − 2(3 x + 5) − x − 3 ⋅ 6 + 3(x + 4) < 0 ;⎨ 2 x − 8 4 − 3xx+ 2 ⎨⎩6 − 2(2 x − 8) + 3(4 − 3 x ) − 12 x + 2(x + 2) < 0⎪1 −+< 2x −323⎩⎪25 ⎧1⎧⎪⎪ x < 2 ⎪⎪ x < 12 2; ⎨.⎨⎪ x > 38 ⎪ x > 1 15⎪⎩23 ⎪⎩23наименьшее – это 2.⎧6 x − 9 − 6 x − 10 − x − 18 + 3 x + 12 < 0⎧2 x − 25 < 0⎨6 − 4 x + 16 + 12 − 9 x − 12 x + 2 x + 4 < 0 ; ⎨− 23 x + 38 < 0 ;⎩⎩Ответ: наибольшее целое решение – это х = 12,№ 1248⎧ x +1 x + 2 x − 3 x − 4⎪⎪ 5 − 4 < 3 + 2⎧12(x + 1) − 15(x + 2) − 20(x − 3) − 30(x − 4 ) < 0⎨5(x − 2) − 15 − 3(x − 5) > 0⎨x−2x−5⎩⎪> 1+⎪⎩ 315162⎧⎧12 x + 12 − 15 x − 30 − 20 x + 60 − 30 x + 120 < 0 ⎧−53 x + 162 < 0 ⎪ x > −⎨⎨5 x − 10 − 15 − 3 x + 15 > 0⎨2 x − 10 > 053⎩⎩⎪⎩ x > 5Ответ: x > 5.№ 1249Примем длину эскалатора за 1, а время, за которое эскалатор поднимает11неподвижно стоящего человека, за х, тогда— скорость эскалатора,x1801— скорость пассажира, а— скорость пассажира, поднимающегося по45движущемуся эскалатору.111= +, откуда х = 60.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
