alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

х < 0,9⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 3тогда решением исходного неравенства являются x ∈ ⎜ − ; − 1⎟ U ⎜ − ; 0 ⎟ .⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠Заметим, что по определению логарифма 1–9х>0, 1+3x>0,№ 1397x3 + x 2 − 4 x − 432> 0;() ()(x + 1)(x + 2)(x − 2) > 0 .x x2 − 4 + x2 − 4> 0;(x − 1)(x + 3)(x + 4)(x − 1)(x + 3)(x + 4)x + 6 x + 5 x − 12Ответ: х ∈ (–∞; –4) U (–3; –2) U (–1; 1) U (2; +∞).№ 1398⎧ x ≥ 3,5⎪⎪13⎨ x ≥ − . Ответ: х ≥ 3,5.6⎪⎪⎩ x ≥ −5⎧x ≤ 3⎧3 − x ≥ 0⎪⎪5⎪; ⎨ x ≥ .

Ответ: х ∈ (2; 3].2) 3 − x < 3x − 5 ; ⎨3 x − 5 ≥ 03⎪⎩3 − x < 3x − 5 ⎪⎪⎩ x > 2⎧2 x − 7 ≥ 0⎪1) 2 x − 7 ≤ 6 x + 13 ; ⎨6 x + 13 ≥ 0;⎪⎩2 x − 7 ≤ 6 x + 13№ 13993 x3 − 22 x 2 + 40 x≥ 3х – 10;x−4⎧3 x3 − 22 x 2 + 40 x ≥ 0⎪⎪ 3222⎨3 x − 22 x + 40 x ≥ (3 x − 10 ) (x − 4) ;⎪x − 4 ≠ 0⎪⎩⎧ ⎡ 10 ⎤⎪x ∈ ⎢0; ⎥ ∪ [4; + ∞);⎪ ⎣ 3⎦⎪ 3222⎨3x − 22x + 40x ≥ (3x − 10) (x − 4)⎪x − 4 ≠ 0⎪264⎧ ⎡ 10 ⎤⎪x ∈ ⎢0; ⎥ ∪ [4; + ∞);⎪ ⎣ 3⎦⎪22⎨x(x − 4)(3x − 10) − (3x − 10) (x − 4) ≥ 0⎪x − 4 ≠ 0⎪⎧ ⎡ 10 ⎤⎧ ⎡ 10 ⎤∪ [4; + ∞)x ∈ 0;; ⎪ ⎢⎣ 3 ⎥⎦;⎪x ∈ ⎢0; ⎥ ∪ [4; + ∞)3⎦⎪⎣⎪⎪2⎨(x − 4)(3x − 10)(x − (3x − 10)(x − 4)) ≥ 0 ⎨(x − 4)(3x −10) x − 3x + 22x − 40 ≥ 0⎪x − 4 ≠ 0⎪x − 4 ≠ 0⎪⎪⎧⎡ 10 ⎤8⎪ x ∈ ⎢0 ; ⎥ ∪ [4 ; + ∞ ); (х –4) (3х – 10) (х – 5) (х – ) ≤ 0;⎣ 3⎦3⎪⎪2⎨(x − 4 )(3 x − 10) − 3 x + 23x − 40 ≥ 0⎪x − 4 ≠ 0⎪⎧⎡ 10 ⎤⎪ x ∈ ⎢0 ; ⎥ ∪ [4 ; + ∞ )⎡ 8 10 ⎤⎪⎣ 3⎦; х ≠ 4.Ответ: х ∈ ⎢ ; ⎥ U (4; 5] .⎨810⎡⎤⎣3 3 ⎦⎪x ∈ ;⎢ 3 3 ⎥ ∪ [4; 5]⎪⎩⎣⎦(())№ 1400|x – 5a| ≤ 4a – 3;а) x – 5a ≥ 0, т.е.

x ≥ 5a; x – 5a ≤ 4а – 3; x ≤ 9а – 3, тогда 5а ≤ х ≤ 9а – 331533при а = ; х ∈ ∅ при а < .при а > ; x =44443б) x–5a<0, т.е. x<5a; 5a–x≤4a–3; x≥a+3, тогда а+3≤х<5a при а > ;41533x=при а = ; х ∈ ∅ при а < ; х2–4х–5<0; (x+1) (x–5)<0; х ∈ (1; 5).4443153; если а > , то а + 3 < х < 9а – 3;Ответ: если а = , то x =4443если а < , то х ∈ ∅; решения первого неравенства являются решения438ми второго при ≤ а < .49№14011)2)2652)3)№14021)2)3)№14031)3)2662)4)№14041)2)3)4)№ 1405logba ⋅ logсb ⋅ logdc = logdaПреобразуем левую часть выражения: logba ⋅ logсb⋅logdc =log d alogc a⋅ log d c = log d a ,=⋅ logc b ⋅ log d c = logc a ⋅ log d c =logc blog d cчтоитребовалось доказать.№ 14063⎞3⎞94⎛⎛1) cos⎜ arcsin ⎟ = ± 1 − sin 2 ⎜ arcsin ⎟ = ± 1 −=± ;5⎠5⎠255⎝⎝3⎞ 43 ⎡ π π⎤⎛arcsin ∈ ⎢ − ; ⎥ , следовательно cos⎜ arcsin ⎟ = .5⎠ 55 ⎣ 2 2⎦⎝⎛⎛2512⎛ 5 ⎞⎞⎛ 5 ⎞⎞=± .2) sin ⎜⎜ arccos⎜ − ⎟ ⎟⎟ = ± 1 − cos 2 ⎜⎜ arccos⎜ − ⎟ ⎟⎟ = ± 1 −131316913⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛ 5⎞arccos⎜ ⎟ ∈ [0; π], на промежутке [0; π] sinx > 0, следовательно⎝ 13 ⎠⎛⎛ 5 ⎞ ⎞ 12sin ⎜⎜ arccos⎜ − ⎟ ⎟⎟ =.⎝ 13 ⎠ ⎠ 13⎝267№ 1407arcsinx + arccosx.

Пусть arcsinx + arccosx = с, тогда arcsinx = с – arccosx;sin (arcsinx) = sin (с – arccosx); x = sinc ⋅ cos (arccosx) – cosc ⋅ sin (arccosx);x = x ⋅ sinc – cosc 1 − x 2 ; x (1 – sinc) = –cosc 1 − x 2 ;x (sinc – 1) = cosc 1 − x 2 ; x2 (sin2c – 2sinc + 1) = cos2c (1 – x2);x2 sin2c – 2x2 sinc + x2 – cos2c + x2cos2c = 0; 2x2 – 2x2sinc – cos2c = 0;2x2 – 2x2sinc – 1 + sin2c = 0; 2x2 (1 – sinc) – (1 – sin2c) = 0;(1 – sinc) (2x2 – (1 + sinc)) = 0, независимо от х уравнение решается приπsinc = 1, откуда с = .2№ 1408f (x) = sin2x – 8 (b + 2) cosx – (4b2 + 16b + 6) x;f ′(x) = 2cosx + 8 (b + 2) sinx – (4b2 + 16b + 6) x; f ′(x) < 0;2cos2x+8sinx(b+2)–(4b2+16b+6)x<0; 2b2–b(4sinx–8)–(cos2x+8sinx – 3) > 0;(b − (sin x − 2 + 3 ))(b − (sin x − 2 − 3 )) > 0 ;() ( 3 −1;+∞) .Решение неравенства не зависит от х при b ∈ − ∞;−3 − 3 U№ 1409y1 = 3cos5x, y2 = 5cos3x + 2; y = f ′(x0) (x – x0) + f (x0);y1k = –15sin5x0 (x – x0) + 3cos5x0; y 2 k = –15sin3x0 (x – x0) + 5cos3x0;y1k =–15xsin5x0+15x0sin5x0+3cos5x0; y 2k =–15xsin3x0+15x0sin3x0+5cos3x0.Условие параллельности:–15sin5x0 = –15sin3x0; sin5x0 – sin3x0 = 0; 2sinx0 ⋅ cos4x0 = 0;⎡ x0 = nπ, n ∈ Zπ nπ⎡sin x0 = 0⎢;⎢cos 4 x0 = 0 ⎢ x = π + nπ , n ∈ Z .

Ответ: при х = nπ, x = 8 + 4 , n ∈ Z.⎣08 4⎣№ 141012 ⎞3⎛A ⎜ 2;− ⎟ , y = − x 2 , у = f ′(х0) (х – х0) + f (х0),5⎠5⎝6121212y = − ⋅ 2( x − 2 ) − ; y = − x +5555у = 0, х = 1(1, 0) – точка В12 ; ⎛ 12 ⎞⎜ 0, ⎟ – точка Сх = 0, у =5⎝ 5⎠r=S, где r – радиус вписанной окружности, р – полупериметр, S –pплощадь.268⎛2⎞⎜ 12⎛ 12 ⎞ ⎟⎜1 + 5 + 1 + ⎜ 5 ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎜12 1 6⎠ = 5 + 12 + 13 = 3 , тогда r = 2 .S=⋅ = , p=⎝52105 2 5№ 141112; l: y = f ′(х0) (х – х0) + f (х0);x121244y = 2 (x − x0 ) −; y = (x – 3) – 4; y = x – 8.x33x00А (3; –4), у = –Искомая окружность является вписанной в треугольник со сторонамиS12, 36 + 64 , 36 + 64 , тогда r = , где S = 48, р = 16, т.е.

r = 3 – случай,pкогда окружность лежит ниже оси Ох, во втором случае (окружность лежитвыше оси Ох) получаем r = 12.№ 1412Пусть t – переменная времени, тогда расстояние l между кораблямиможно представить как функцию l(t).l (t ) =(3t )2 + (5 − 4t )2= 9t 2 + 25 − 40t + 16t 2 = 25t 2 − 40t + 25 ;4150t − 40⎛4⎞; t = – точка минимума; l ⎜ ⎟ = 3 мили.⋅52 25t 2 − 40t + 25⎝5⎠Ответ: корабли не будут на расстоянии, достаточном для приема.l ' (t ) =№ 1413у = –х3 + ах2 + bх + с, х = 2, (0; 2), (0; 6).Пусть точки А и В лежат на расстоянии l от прямой х = 2, тогда имеюткоординаты А (2 – l, у1), В (2 + l, у1), т.к. А и В лежат на графике функции, тоу1=–(2–l)3+а(2 – l)2 + b(2 – l) + с; у1 = –(2 + l)3 + а(2 + l)2 + b(2 + l) + сУравнение касательной в точке А: у = у′(2 – l) (х – (2 – l)) + у(2 – l)Уравнение касательной в точке В: у = у′(2 + l) (х – (2 + l)) + у(2 + l)Т.к.

касательные проходят через точки (0; 2) и (0; 6), то справедливо0 = у′(2 – l) (2 – (2 – l)) + у(2 – l) и 0 = у′(2 + l) (6 – (2 + l)) + у(2 + l);условие параллельности касательных: у′(2 – l) = у′(2 + l)у′ = –3х2 + 2ах + b, тогда можно записать систему уравнений:⎧ y = − (2 − l )3 + a (2 − l )2 + b (2 − l ) + c⎪ 132⎪ y1 = − (2 + l ) + a (2 + l ) + b (2 + l ) + c⎪232⎨0 = − 3(2 − l ) + 2 a (2 − l ) + b l + − (2 − l ) + a (2 − l ) + b (2 − l ) + c⎪0 = − 3(2 + l )2 + 2 a (2 − l ) + b (4 − l ) + ( − ( 2 + l )3 + a (2 + l )2 +⎪⎪ + b (2 + l ) + c ) − 3(2 − l )2 + 2 a (2 − l ) + b = −3(2 + l )2 + 2 a (2 + l ) + b⎩решая которую, найдем а = 6, b = –11, с = 6.(() ())269№ 1414Пусть А = (х1; у0), В = (х2; у0), тогда по условию х1 = –2 – t, х2 =–2+t, t > 0.у′ = 3х2 + 2ах + b, т.к.

касательные в А и В параллельны, тоу′(х1)=у′(х2), т.е. 3(–2–t)2+2а(–2–t)+b=3(–2+t)2+2а(–2+t) + b, откуда а = 6.Уравнение касательных, проходящих через А(0; 1) и В(0; 5):0=(3(2+t)2+12(–2 – t) + b) (1 – (–2 – t) + (–2 – t)3 + 6(2 + t)2 +b(–2 – t) + с и0 = (3(–2 + t)2 + 12(–2 + t) + b) (5 – (–2 + t) + (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 +b(–2 + t) + сТ.к. А и В принадлежат графику функции у = х3 + ах2 + bх + с, то (–2 – t)3 +6(2 + t)2 + b(–2 – t) + с = (–2 + t)3 + 6(–2 + t)2 + b(–2 + t) + с.Из полученных трех уравнений найдем b = 11, с = 5.№ 1415у = х3 + ах2 + bх + сПусть точка А имеет координаты (0; у0), М = (х1; 0), N = (х2; 0), тогда1площадь ∆AMN можно записать как |х2 – х1| ⋅ |у0| = 1.2Уравнение касательной в точке М, проходящей через точку А:()y0 = 3x12 + 2ax1 + b (0 − x1 ) + x13 + ax12 + bx1 + c .32Т.к.

у = х + ах + bх + с проходит через М и N и А, тоx13 + ax12 + bx1 + c = 0, x23 + ax22 + bx2 + c = 0 и у0 = с.Запишем систему уравнений:⎧ y0 = c , c < 0⎪ (x − x ) y = 0⎪⎪ 2 1 0232⎨ y0 = 3 x1 + 2ax1 + b (0 − x1 ) − x1 + ax1 + bx1 + c⎪ x3 + ax 2 + bx + c = 011⎪ 13⎪⎩ x2 + ax22 + bx2 + c = 0()Решая полученную систему, найдем а = –4, b = 5, с = –2.№ 1416у = –х3 + ах2 + bх + с, с > 0По условию D = (0, у0), А = (х1, 0), В = (х2, 0), тогда площадь ∆АВD за1пишем как |(х2 — х1)у0| = 1.2Запишем уравнение касательной в точке В, проходящей через точку D()y0 = − 3 x22 + 2ax2 + bx2 (0 − x2 ) − x23 + ax22 + bx2 + c .Т.к.

точки А, В, D принадлежат графику функции у = –х3 + ах2 ++ bх + с, тоу0 = с0 = − x13 + ax12 + bx1 + c ; 0 = − x23 + ax22 + bx2 + c .270Можем записать систему:⎧ y0 = c , c > 0⎪ (x − x ) y = 2⎪⎪ 2 1 0232⎨ y0 = − 3x2 + 2ax2 + bx2 (− x2 ) − x2 + ax2 + bx2 + c32⎪0 = − x + ax + bx + c111⎪32⎩⎪0 = − x2 + ax2 + bx2 + c()Решая полученную систему, найдем а = 4, b = –5, с = 2.№ 1417⎛ 1⎞у = 0,5х2 – 2х + 2, А ⎜1; ⎟ , В(4; 2).⎝ 2⎠Уравнение касательной:у = (х0 – 2) (х – х0) + 0,5 x 02 – 2х0 + 2, т.к.

касательная проходит через точки А и В, то справедливо()()()()1= x01 − 2 1 − x01 + 0,5021 − 2 x01 + 2 и22 = x0 2 − 2 4 − x0 2 + 0,5022 − 2 x0 2 + 2 , откудаx 01 = 1x 02 = 4; тогда уравнения касательных:у = –1(х – 1) + 1/2 = –х +касательных х =3, у = 2(х – 4) + 2 = 2х – 6 (точка пересечения25), тогда искомая площадь2()45/2 333/ 2 3⎛⎞⎛⎞S = ∫ 0,5 x 2 − 2 x + 2 dx + ∫ ⎜ − x ⎟dx + ∫ (2 x − 6 )dx − ∫ ⎜ − x ⎟dx −22⎠⎠13/ 2⎝5/ 21 ⎝45/ 24⎛ x3⎞1 ⎞⎛3− ∫ (2 x − 6)dx = ⎜− x2 + 2x ⎟ + ⎜ x − x2 ⎟+ x2 − 6x⎜ 6⎟22⎠ 3/ 23⎝⎠1 ⎝3/ 21 ⎞⎛3− ⎜ x − x2 ⎟22 ⎠1⎝(− x2 − 6 x)43=()35/ 2−9.8№ 1418Уравнение касательной к графику функции у = x в точке а имеет вид:ax − a + 2a x + a+ a ==; ордината точки пересечения с22 a2 a3+ aпрямой х = 3:; абсцисса точки пересечения с осью Ох: х = –а.2 ay=x2 a−271Тогда искомая площадь треугольника(a + 3)2 ;S=4 a=S'=16a a(a + 3)24 a=2 a16a8a 2 + 24a − 18 − 12a − 2a 2S=42(a + 3)4 a − (3 + a )2 ⋅=6a 2 + 12a − 1816a a==8a (a + 3) − 2(3 + a )216a a=3a 2 + 6a − 98a a24= 4 .

Характеристики

Список файлов книги