alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Точка минимума а = 1.4№ 1419π/2Площадь фигуры S = ∫ sin xdx = 1 .0Прямая, проходящая через начало координат, задается уравнением у =kх, где k = tgα, α – угол наклона к оси Ох. Тогда условие того, что даннаяпрямая делит фигуру площади S на две фигуры равной площади, запишем44π πследующим образом: 1 = ⋅ ⋅ k , откуда k = 2 , а угол α = arctg 2 .2 2ππ№ 14201)x + 3 − 2 x − 4 = 3x − 2⎧⎪x + 3 ≥ 0⎪⎪ 2 x − 4 ≥ 0⎨3 x − 2 ≥ 0⎪ x + 3 − 2x − 4 ≥ 0⎪⎪⎩ x + 3 − 2 (x + 3 )(2 x − 4 ) + 2 x − 4 = 3 x − 23x + 3 – 4 – 3x + 2 = 2(x + 3)(2 x − 4) ;1 = 2 (x + 3)(2 x − 4 ) ; 1 = 4(2x2 + 2x – 12); 8x2 + 8x – 49 = 0;x1, 2 =− 4 ± 16 + 392− 4 ± 408− 2 ± 102 ;==884⎪⎪x + 3 ≥ 0⎪2 x − 4 ≥ 0⎪.⎨3 x − 2 ≥ 0⎪ x + 3 − 2x − 4 ≥ 0⎪− 2 ± 102⎪⎪⎩ x =42)11−1− x+11+1− xОтвет: x ==2 21− x;− 2 ± 102.41− x = a > 0;(112 2 ; ⎧(1 + a + 1 − a )a − 2 1 − a+=⎨1− a 1+ aa⎩(1 − a )(1 + a )a ≠ 02722) 2 = 0;2a – 2 2 + 2 2 a2 = 0; a – 2 +a1, 2 =−1±1− x =2122 a2 = 0;2 a2 + a – 2 = 0;11+ 8−1± 3;; a > 0, следовательно, a ==222 2111Ответ: x = .; 1–x= ; x = .222№ 1421| 2 x + 1 – x| + |x – 2 x + 2| = 7; | 2 x –x+1|+|–( 2 x –x+1)+3| = 7;| 2 x – x + 1 = a; |a| + |3 – a| = 7.а) a > 3; a + a – 3 = 7; a = 5.

б) 0 ≤ a ≤ 3; a + 3 – a = 7; a ∈ ∅.в) a<o;–a+3–a=7; a=–2; а) 2 x –x+1=5; 2 x =x+4; 4x=x2+8x + 16;x2 + 4 x + 16 = 0 – действ. корней нет.б) 2 x – x + 1 = –2; 2 x = x – 3; x ≥ 0; 4x = x2 – 6x + 9;x2 – 10x + 9 = 0; x1, 2 = 5 ±25 − 9= 5 ± 4 ; x1 = 9, x2 = 1.1x = 1 не является решением, т.к. |2 + 1 – 1| + |1 – 2+ 2| ≠ 7. Ответ: x=9.№ 14221) 9·41/x+5·61/x=4·91/x, 32·41/x+5·21/x·31/x=4·32/x, 32·22/x+5·21/x·31/x=22·32/x2x21⎛ 2 ⎞x ⎛ 2 ⎞xразделим все на (3) ≠ 0 , 9⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − 4 = 0 ;⎝3⎠⎝3⎠5−+ 13 49t2 + 5t – 4 = 0; D = 25 + 144, t1 == ; t218911⎛ 2 ⎞x⎜ ⎟ = t; t > 0⎝3⎠−5 − 13== −118211⎛ 2 ⎞x 4 ⎛ 2 ⎞= 2; x = .⎜ ⎟ = =⎜ ⎟ ;x9 ⎝3⎠2⎝3⎠2) log2(x2 – 3) – log2(6x – 10) + 1 = 0,x 2 − 3 1 2 x 2 − 6 − 6 x + 10=0;= ;2(6 x − 10 )6 x − 10 2⎧ 2 x 2 − 6 x + 4 = 0 ⎧ x 2 − 3x + 2 = 0; ⎨;⎨⎩x ≠ 10 / 6⎩x ≠ 10 / 6x1 = 1, x2 = 2, т.к.

x2 – 3 > 0 и 6x – 10 > 0, то x = 1 не является решением.Ответ: x = 2.13) 2log2x – 2 log 2= 3 log 2 x ; 2log2x + 1 = 3 log 2 x , x > 0.21log 2 x = a ≥ 0; 2a2 – 3a + 1 = 0; a1 = 1, a2 = ; log2x = 1, x = 2;21log2x = , x =2 .Ответ: x =2 .44) logx(2x2 – 3x – 4) = 2; 2x2 – 3x – 4 > 0, x > 0, x ≠ 1;273logx(2x2 – 3x – 4) = logxx2; 2x2 – 3x – 4 = x2; x2 – 3x – 4 = 0;x1 = –1, x2 = 4; x1 < 0, следовательно не является решением.Ответ: x = 4.№ 14231) 1 + logx(5 – x) = log74 · logx7; 1 + logx(5 – x) = log x 7 log 7 4 ;logxx(5 – x) = logx4; 5 – x > 0, x > 0, x ≠ 1; 5x – x2 = 4;x2 – 5x + 4 = 0; x1 = 1, x2 = 4; Ответ: x = 4.2) (log9(7 – x) + 1) log3-x3 = 1; log99(7 – x) log3-x3 = 1;11log3 9(7 − x ) ⋅= 1 ; log3-x9(7 – x) = 2;2log3 3 − xlog3-x9(7 – x) = log3-x(3 – x)2; 9(7 – x) = 9 – 6x + x2; x2 + 3x – 54 = 0;x1,2 =− 3 ± 9 + 54 ⋅ 4 − 3 ± 15;=22x1 = 6, x2 = –9; 3 – x > 0, 3 – x ≠ 1 следовательно, 7 – x > 0, x = –9.Ответ: x = –9.№ 14241) cosx + cos2x + cos3x = 0; 2cos2x + cosx + cos2x = 0;π nπ⎡⎡cos 2 x = 0⎢x = 4 + 2 , n ∈ Z⎢.1 ; ⎢⎢cos x =⎢ x = ± 2 π + 2lπ , l ∈ Z2⎣⎢⎣32π nπ, n ∈ Z ; x = ± π + 2lπ, l ∈ Z .Ответ: x = +4 23xπ⎞⎛⎛ 3x π ⎞2) cos3x – 3cos2x + cosx = 2 cos⎜ + ⎟ ⋅ sin ⎜ − ⎟ ;⎝2 4⎠⎝ 2 4⎠π⎞⎛cos3x–3cos2x+cosx=sin ⎜ x − ⎟ +sin2x; cos3x–3cos2x+cosx = –cosx + sin2x;2⎠⎝cos3x – 3cos2x + 2cosx – sin2x = 0; cosx(cos2x – 3cosx + 2 – 2sinx) = 0;⎡π⎡cos x = 0⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z⎢1 − sin 2 x − 3 cos x + 2 − 2 sin x = 0 ; ⎢2⎣⎣⎢3 − 3 cos x − sin x − 2 sin x = 0π⎡⎢ x = 2 + nπ, n ∈ Z .

Ответ: x = π + nπ, n ∈ Z ; x = 2πl, l ∈ Z .⎢ x = 2πl , l ∈ Z2⎣3) sin2x + cos23x = 1; cos23x – cos2x = 0;⎡cos 3x − cos x = 0 ⎡ −2 sin 2 x ⋅ sin x = 0⎢⎣cos 3x + cos x = 0 ; ⎢⎣ 2 cos 2 x ⋅ cos x = 0 ;274;nπ, n∈Z2= mπ , m ∈ Znππ kπ. Ответ: x =, n∈Z;x = +, k∈Z.π= + lπ, l ∈ Z24 22π kπ, k∈Z= +4 2− sin 2 x4) ctgx + sin2x = ctg3x; ctg3x – ctgx – sin2x = 0;− sin 2 x = 0 ;sin 3x ⋅ sin x⎡⎢x⎢x⎢⎢x⎢⎢⎢x⎣=⎧⎡sin 2 x = 0π⎧sin 2 x (1 + sin 3x ⋅ sin x ) = 0 ⎪⎢; ⎨⎣cos 2 x − cos 4 x = −2; x = + mπ, m ∈ Z .⎨sin 3x ⋅ sin x ≠ 02⎩⎪⎩sin 3x ⋅ sin x ≠ 0№ 14251) sinx + cosx =1 + tgx⎧⎪sin x + cos x ≥ 0(cos x + sin x ) = 0;⎪; (sinx + cosx)2 –⎨1 + tgx ≥ 0cos x⎪(cos x + sin x )2⎪(sin x + cos x ) =cos x⎩⎧⎡sin x + cos x = 0⎧(sin x + cos x )(cos x(sin x + cos x ) − 1) = 0 ⎪⎢;⎨⎣cos x ⋅ sin x + cos2 x − 1 = 0 ;⎨cos x ≠ 0⎩⎪cos x ≠ 0⎩⎧⎡3⎪⎪⎢ x = π + nπ , n ∈ Z4⎨⎢sin x(cos x − sin x ) = 0 ;⎣⎪⎩⎪cos x ≠ 0⎧⎡⎧⎡3π mπ, m∈Z⎪ ⎢ x = π + nπ , n ∈ Z ⎪ ⎢ x = +442⎪⎢⎪⎢⎪⎢ x = mπ , m ∈ Z⎪ x = nπ , n ∈ Z; ⎨⎣.⎨π⎢⎪ x = + πm , m ∈ Z ⎪cos x ≠ 04⎪⎢⎣⎪sin x + cos x ≥ 0⎪⎩cos x ≠ 0⎪⎩1 + tgx ≥ 0π mπ+; x = nπ, m, n ∈ Z .42⎧sin x − cos x ≥ 05 sin 2 x − 2 = sinx – cosx; ⎨22 ;⎩5 sin 2 x − 2 = sin x − 2 sin x cos x + cos xОтвет: x =2)1;2π nπ⎧, n∈Zx = (− 1)n+π nπ⎧⎪ x = (− 1)n+, n ∈ Z ⎪⎪12 2;; ⎨⎨12 25⎡π⎤⎪ x ∈ ⎢ + 2lπ ; π + 2lπ⎥ , l ∈ Z⎪⎩sin x − cos x ≥ 0⎪⎩4⎣4⎦5sin2x – 2 = 1 – sin2x; 6sin2x = 3; sin2x =275№ 14262 sin x12 sin x1π⎞⎛− = 4⋅− = 4 sin 2 ⎜ x + ⎟ ;cos x − cos 3x 34 ⎠ + 2 sin 2 x sin x 3⎝π1 − cos⎛⎜ 2 x + ⎞⎟2⎠⎝;23 − sin 2 x 3(2 + 2 sin 2 x )sin 2 x11−= 0 ; sin2x ≠ 0;− = 2 · (1 + sin2x);sin 2 x 33 sin 2 x3 sin 2 xsinx ≠ 0; 3–sin2x–6sin2x–6sin22x=0; 6sin22x+7sin2x–3=0; sin2x=t; 6t2+7t–3=0;−7 + 11 1−7 − 113D=49+72=121; t1 == ; t1 == − < −1 ;1231221⎛111⎞sin2x = ; 2x = (–1)narcsin + πn; x = ⎜ (− 1)n arcsin + πn ⎟, n ∈ Z .2⎝333⎠№ 1427⎧cos x + (1 + cos x )tg 2 x = 0⎛ 1⎞−1⎟⎟ – 1 = 0;; cosx + (1 + cosx) ⎜⎜⎨⎝ cos2 x ⎠⎩tgx > 0cos x +(1 + cos x )(1 − cos 2 x ) − 1 = 0 ; cosx ≠ 0; x ≠2π+ πn , n ∈ Z ;2cos xcos3x+1–cos2x+cosx–cos3x–cos2x=0; 2cos2x–cosx–1=0; cosx=t; 2t2–t – 1 = 0;1− 311+ 3D = 1 + 8 = 9; t ==− ;=1; t =424cosx = 1 ⇒ sinx = ± 1 − cos 2 x = 0; tgx = 0 – не подходит.sin x =3⇒ tgx < 0 – не подходит.2sin x = −34π; tgx > 0; x =+ 2πn, n ∈ Z .23№ 1428⎧ 4π⎞4⎛2 25π⎪sin x + sin ⎜ x + ⎟ = sin46 ; lg(x –⎨⎝⎠⎪lg x − 2 x + 24 > 0⎩()2x + 24 ) > 0 = lg1x– 2x + 24 >0; x>–12; x–1> 2x + 24 ; x>1; x2 – 2x + 1 > 2x + 24;x2–4x–23>0; D/4=4+23 = 27; x1 = 2 + 3 3 ; x2 = 2 – 3 3 ; x > 2 + 3 3 ;( )⎞⎟⎛ 1− cos 2 x + π2sin x + ⎜⎜2⎜⎝4212 π42⎟⎟ = sin 6 ; 4sin x + (1 + sin2x) = 4 4 ;⎠2⎛ 1 − cos 2 x ⎞4sin4x + 1 + 2sin2x + sin2x = 1; 4 ⎜⎟ + 2sin2x + sin22x = 0;2⎠⎝2761 – 2cos2x + cos22x + 2sin2x + sin22x = 0; 2 + 2sin2x – 2cos2x = 0;π⎞π⎞2⎛⎛;1 + sin2x – cos2x = 0; 1 + 2 sin⎜ 2x − ⎟ = 0 ; sin⎜ 2 x − ⎟ = −442⎝⎠⎝⎠ππ⎡⎢2 x − 4 = − 4 + 2nπ, n ∈ Z ⎡2 x = 2nπ, n ∈ Z;; ⎢3π⎢⎢2 x − π = 5π + 2nπ, n ∈ Z ⎢⎣2 x = 2 + 2nπ, n ∈ Z⎢⎣44⎡ x = nπ, n ∈ Z⎡ x = nπ, n ≥ 3⎢; ⎢.3π3π+ nπ, n ∈ Z ⎢ x =+ nπ, n ≥ 2⎢x =44⎣⎣№ 1429π⎞⎛ π π⎞⎛⎜ − ; ⎟ cos⎜ 5x + ⎟ + 2sinx · cos2x = 0; –sin5x + sin3x – sinx = 0;2⎠⎝ 6 2⎠⎝πnsin3x–(2sin3x cos2x)=0; sin3x(1–2cos2x)=0; sin3x = 0; 3x = πn; x =, n∈Z.3π⎛ π π⎞Самое большое значение x на ⎜ − ; ⎟ из этой серии x =362⎝⎠ππ1cos2x = ; 2x = ± + 2πn , n ∈ Z ; x = ± + πn .362π⎛ π π⎞Самое большое значение x на ⎜ − ; ⎟ из этой серии x =6⎝ 6 2⎠πВ итоге самое большое x = .3№ 1430sin8x+cos8x=a; (sin4x–cos4x)2+2sin4x cos4x=a; (cos4x–sin4x)2 +1sin42x = a;811sin42x = a; 1 – sin22x+ sin42x=a; sin42x–8sin22x + (8 – 8a) = 0;88(sin22x – 4)2 = 8 + 8a; sin22x – 4 = ± 8 + 8а ;cos42x +sin22x=4 ± 8 + 8а ; 0≤4 ± 8 + 8а ≤ 1; 0≤4 + 8 + 8а ≤ 1 – невыполнимо;0 ≤ 4 − 8 + 8а ≤ 1; 3 ≤⎡1 ⎤8 + 8а ≤ 4; а ∈ ⎢ ; 1⎥⎣8 ⎦⎡1 ⎤Итак, при а ∈ ⎢ ; 1⎥ : sin22x = 4 − 8 + 8а ;⎣8 ⎦sin2x= ± 4 − 2 2(1 + a ) ; x=(–1)n(±arcsin 4 − 2 2(1 + a ) + πn, n ∈ Z;1πnx = ± arcsin 4 − 1 2(1 + a ) +, n∈Z .22277№ 1431⎧x − 3y = −5; y ≠ 0 ; x ≠ 0 ⎧x = 3y − 5⎪⎪2y23 ;231) ⎨ x 2 y; ⎨ 3y − 5−=−−=−⎪⎩ 3y x⎪⎩ 3y63y − 56()6 (3y − 5)2 − 6 y 2 + 23·3y(3y–5) = 0; 6(9y2–30y+25–6y2)+207y2 – 345y = 0;18y2–180y+150+207y2–345y=0; 225y2 – 525y + 150 = 0; 9y2 – 21y + 6 = 0;3y2 – 7y + 2 = 0; y1 / 2 =Ответ: (1; 2), (–4;17 ± 49 − 24; y1 = 2, y2 = , x1 = 1, x2 = –4.361).3⎧ x + y x − y 10+= ; x ≠ ±y⎪2) ⎨ x − y x + y;3⎪x 2 + y 2 = 5⎩⎧ (x + y )2 + (x − y )2 10=⎪3 ;⎨x 2 − y2⎪ 22xy5+=⎩⎧ 2x 2 + 2 y 2 10 ⎧ 1010==⎪ 21010⎪3 ;=; 30=50–20y2; y=±1; x = ±2.3 ; ⎨ x 2 − y2⎨ x − y223−52y22⎪ 2⎪x = 5 − y2⎩⎩x + y = 5№ 1432⎧⎪6 x − 2 ⋅ 3y = 121) ⎨ x y;⎪⎩6 ⋅ 3 = 12⎧⎪6 x = 2 + 2 ⋅ 3y; (2+2·3y) 3y=12; 2·3y+2 · 32y = 12;⎨ x y⎪⎩6 ⋅ 3 = 123y + 32y = 6; 3y = a > 0; a2 + a – 6 = 0, a1 = –3, a2 = 2, тогда 3y = 2, y = log32;6x = 2 + 2 · 2, т.е.

Характеристики

Список файлов книги