alimov-11-2003-gdz- (546277), страница 24

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

x = 1. Ответ: (1, log32)⎧ x 2 − 6y⎧⎪7 ⋅ 2 x + 6 y = 2⎧⎪7 ⋅ 2x + 6 y = 2⎪⎪2 = 7;;;2) ⎨⎨⎨ 6(2 − 6 y )x +1x− 5y = 93⎩⎪3 ⋅ 2⎩⎪6 ⋅ 2 − 5 y = 93 ⎪− 5y = 93⎪⎩76(2–6y)–35y=651; 12–36y–35y=651; –71y=639; y=–9; 2x=8, x=3.Ответ: (3; –9).№ 1433⎧⎪27 ⋅ 32 x − y + 3x 2 = 4 3.⎨⎪⎩lg(y − 4x ) = 2 lg(2 + 2 x − y ) − lg y⎧y − 4x > 0y − 4x2 + 2x − y⎪Очевидно, что ⎨2 + 2 x − y > 0 ; lg= lg;2+2x−yy⎪⎩ y > 0⎧ y 2 − 4xy − (2 + 2x − y )y = 0y − 4x2 + 2x − y ⎪=; ⎨y ≠ 0;2 + 2x − yy⎪2 + 2 x − y ≠ 0⎩278y2–4xy–(4+8x+4x2–2y(2+2x)+y2)=0; y2–4xy–4 – 8x – 4x2 – 4y + 4xy – y2 = 0;– 4x2 – 8x + 4y – 4 = 0; x2 + 2x – y + 1 = 0;y = (x + 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы:27 · 32 x − x222− 2 x −132− x + 3 x22+ 3x = 4 3 ; 33 · 3−x −1 + 3 x = 4 3 ;29= 4 3 ; 3x = a > 0;+ a = 4 3 ; 9 + a2 = 4 3 a;a2a2 – 4 3 a + 9 = 0; a1 / 2 =a1 = 3 3 , a2 =2 3 ± 12 − 9= 2 3± 3 ;13 , тогда21) 3x = 33/2; x1/ 2 = ±22) 3x = 31/2; x = ±3333; y1 = + 6 + 1 ; y2 = − 6 + 1 ; y 2 = − 6 + 1 ;2222111; y1 = + 2 + 1 ; y 2 = − 2 + 1 ;222y – 4x > 02 + 2x – y > 0y>0x=35,y= + 62235,y= − 62213x=,y= + 222x=−x=−12,y=3− 22⎛ 1 3⎞; ± 2 ⎟⎟ .Ответ: ⎜⎜ ±22⎝⎠− x−2 y⎧⎪+ 2y = 3 22) ⎨8 ⋅ 2;⎪⎩lg(x + 4 y ) = 2 lg(2 − x − 2 y ) − lg x⎧x + 4 y > 0⎪Очевидно, что ⎨2 − x − 2 y > 0 ;⎪⎩ x > 0x + 4y2 − x − 2ylg(x + 4y) = 2lg(2 – x – 2y) – lgx;=;2 − x − 2yx2x(x+4y)=(2–x–2y)2; x2+4xy–(4–4x+x2–4y(2–x)+4y2)=0;279x2+4xy–4+4x–x2+8y–4xy–4y2=0; – 4+4x+8y–4y2=0; – 1 + x + 2y – y2 = 0;x = (y – 1)2, подставим в первое уравнение исходной системы:8 · 2−( y −1) + 2 y = 3 2 ; 8 · 23− y22222+ 2 y −1− 2 y2+ 2y = 3 2 ;222 · 2− y + 2 y = 3 2 ; 2 y = a > 0;4+ a 2 = 3 2 ; 4 + a2 = 3 2 a; a2 – 3 2 a + 4 = 0;aa1 / 2 =3 2 ± 18 − 16 3 2 ± 2.=2233; x = ± 6 +1 .22111/2=2 ; y=±; x = ± 2 +1 ;2221) a1 = 2 2 , тогда 2 y = 23/2; y = ±2) a2 =2 , тогда 2 y⎧x + 4 y > 0⎪2 − x − 2 y > 0⎪⎪x > 0⎨⎪⎛⎜ 3⎪⎜ ± 6 + 1; ±⎪⎩⎝ 223 ⎞⎟,2 ⎟⎠⎛31 ⎞⎟..

Ответ: ⎜⎜ ± 2 ; ±22 ⎟⎠⎝⎛31 ⎞⎟⎜⎜ ± 2 ; ±2 ⎟⎠⎝2№ 1434⎧log3 (y − 3) − 2 log9 x = 0⎧y − 3 = x ⇒ y = x + 3; y > 3; x > 0; ⎨ 2.⎨22()x+a−2y−5a=0⎩x + 2ax + a − 2x − 6 − 5a = 0⎩Хотя бы одно решение D ≥ 0. x2 + (2a – 2)x + a2 – 5a – 6 = 0;D/4=(a–1)2–a2+5a+6=a2–2a+1–a2+5a+6=3a+7; 3a + 7 ≥ 0; a ≥ −D = 0, x = 1 – a = 1 +7> 0; D > 0, x1 = 1 – a +37;33a + 7 > 0.См. в конце.x2 = 1 – a –3a + 7 > 0; 1 – a =3a + 7 , 1 – a > 0, a < 11 – 2a + a2 > 3a + 7, a2 – 5a – 6 > 0;⎧⎪a < −1 и a > 67⎪⇒ − < a < –1, x1=1–a +⎨a < 13⎪7⎪a < −3⎩⎧a < 17⎪1) a – 1 < 0; a < 1, ⎨7 , − <a<1>−a3⎪⎩32803a + 7 > 0;3a + 7 > 1 – a2) a – 1 ≥ 0; a ≥ 1; 3a + 7 > a2 – 2a + 1; a2 – 5a – 6 < 0;⎧−1 < a < 6⎡ 7⎪⎪77− < a ≥1⇒ 1 ≥ a < 6; ⎢ 3;− < a < 6,⎨a < −⎢33⎪⎣1 < a < 6⎪⎩a ≥ 1⎧ 7⎪⎪− < a < 67⇒ − < a < –1.одновременно x1 и x2 > 0, ⎨ 373⎪− < a < −1⎪⎩ 3№ 14352 x − 3 1 2 x 2 − 3x − 4 + x>0;> ;x (4 − x )4−xx1)(x + 1)(x − 2) < 0 .2x 2 − 2x − 4x2 − x − 2>0;< 0;x (4 − x )x (x − 4 )x (x − 4 )Ответ: х ∈ (–1; 0) U (2; 4).2x + 52x + 5 − x − 1x+4≥ 1 ; 1.

х > –1;2)≥ 0;≥ 0 ; х ∈ (–1; +∞).(x + 1)x +1x +12x + 52x + 52x + 5 + x + 1≥1;≤ −1 ;≤ 0;− x −1x +1x +13x + 6x+2≤ 0;≤ 0 ; х ∈ [–2; -1). Ответ: х ∈ [–2; -1) U (–1; +∞).x +1x +12. х < –1;№ 14368x2 − 4x + 31)24x − 2x + 1≤a;8 x 2 − 4 x + 3 − 4 x 2 a + 2ax − a4x2 − 2 x + 18 x 2 − 4ax3 − 4 x + 2ax + 3 − ax 2 (8 − 4a ) − x(4 − 2a ) + (3 − a )≤0;4 x2 − 2x + 14x2 − 2x + 14x2–2x+1<0 при любых х; найдем значения а, для которых х2(8–4а)–x(4–2a)++(3 – a) ≤ 0 при любых х: 8–4a<0, т.е. а>2 и D = (4 – 2a)2 – 4(3 – a)(8 – 4а) ≤ 0;16 – 16a + 4a2 – 4(24 – 12a – 8a + 4a2) = –12a2 + 64a – 80;12a2–64a+80≥0; 6a2–32a+40≥0; 3a2–16a+20≥0; a ∈ (–∞; 2] U [10/3; +∞).10.Таким образом х2(8 – 4а) – x(4 – 2a) + (3 – a) ≤ 0 при а ≥33x 2 − 4 x + 83 x 2 − 4 x + 8 − 9ax 2 + 12ax − 16a≥ 0;9 x 2 − 12 x + 169 x 2 − 12 x + 169x – 16x + 16 > 0 при любых х; найдем значения а, для которых 3х2– 9аx+12ax – 4x + 8 – 16a ≥ 0 независимо от х.

х2(3–9а)+x(12a – 4) + (8 – 16a) ≥ 0:13 – 9а ≥ 0, т.е. a ≤ , D = (6a – 2)2 – (8 – 16a)(3 – 9а) ≤ 0;32)≥a;≤0;≤0;228136a2 – 48a + 4 – (24 – 72a – 48a + 144a2) = –108a2 + 72a – 20;–108a2 + 72a – 20 ≤ 0; 27a2 – 18a + 5 ≥ 0 (1); a1 / 2 =9 ± 81 − 135;27D < 0 ⇒ неравенство (1) выполнено при любом а, таким образом a ≤1.3№ 1437x 2 −5 x + 6x 2 −5 x + 60⎛2⎞⎛2⎞⎛2⎞1) ⎜ ⎟<⎜ ⎟< 1; ⎜ ⎟55⎝ ⎠⎝ ⎠⎝5⎠x2 – 5x + 6 > 0; (x – 2)(x – 3) > 0; x ∈ (–∞; 2) U (3; +∞).22372) 5x – 3x+1 > 2(5x – 3x+1); 5x – 3 · 3x > ⋅ 5x − ⋅ 3x ; ⋅ 5 x − 2 ⋅ 3x > 0 ;59593 x 25 xxx3 x 3 x3x3⋅5 −⋅ 3 > 0 ; 27 · 5 – 125 · 3 > 0; 3 ·5 –5 ·3 > 0; 3 · 5 > 5 · 3x; x > 3.59№ 14381) log1/2(1 + x –x2 − 4 ) ≤ 0⎧⎛⎞2⎪log1 / 2 ⎜1 + x − x − 4 ⎟ ≤ log1 / 2 1⎝⎠⎨⎪1 + x − x 2 − 4 > 0⎩(1)( 2)(1) 1 + x –⎧⎪2; x2 ≥ x2 – 4;x 2 − 4 ≥ 0; ⎨ x ≥ x − 4⎪⎩ x ≥ 0 , x 2 − 4 ≥ 0(2) 1 + x –x 2 − 4 > 0; 1 + x >⎧0 ≥ −4⎨ x ≥ 2 ; x ≥ 2.⎩x2 − 4 ;⎧1 + x > 0⎧ x > −1⎪⎪ 2⎧x ≥ 2; x ≥ 2.; ⎨ x ∈ (− ∞ ; − 2]∪ [2 ; + ∞ ); x ≥ 2.

⎨⎨x − 4 ≥ 0⎩x ≥ 2⎪1 + 2 x + x 2 > x 2 − 4 ⎪⎩ x > −2,5⎩112)−<0;log5 (3 − 2x ) 4 − log5 (3 − 2 x )⎧3 − 2 x > 0⎪– область определения; log5(3 – 2x) = a⎨log5 (3 − 2x ) ≠ 0⎪⎩4 − log5 (3 − 2 x ) ≠ 0114−a−a2−a−<0;< 0;<0;a 4−a4−a4−a22<log5(3–2x)<4; log55 <log5(3–2x)<log554; 25 < 3 – 2x < 44; 11 < –x < 311;⎧−11x > x > −311⎪⎪3 − 2 x > 0;⎨log (3 − 2 x ) ≠ 0⎪ 5⎪⎩4 − log5 (3 − 2 x ) ≠ 0282⎧−311 < x < −11⎪3⎪x <; –311 < x < –11.⎨2⎪x ≠ 1⎪ x ≠ −311⎩№ 14391) log|2x + 1|x2 ≥ 2; log|2x + 1|x2 ≥ 1) log|2x + 1||2x + 1|21. |2x + 1| > 1, т.е.

x ∈ (–∞; –1) U (0; +∞); x2 ≥ (2x + 1)211x2 ≥ 4x2 + 4x + 1; 3x2 + 4x + 1 ≤ 0; (x + 1)(x + ) ≤ 0. x ∈ [–1; – ].33122. |2x + 1| < 1, т.е. x ∈ (–1; 0); x2 ≤ 4x + 4x + 1; x ∈ (–∞; –1) U (– ; +∞);3⎡ ⎧ x ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ (0; + ∞ )⎢⎪1⎢ ⎨ x ∈ ⎡⎢− 1; − ⎤⎥3⎦⎢ ⎪⎩1⎣. Ответ: x ∈ [– ; 0].⎢ x ∈ (− 1; 0 )⎧3⎢⎪⎛ 1⎞⎢⎨⎢ ⎪ x ∈ (− ∞ ; − 1) ∪ ⎜ − 3 ; + ∞ ⎟⎝⎠⎣⎩12) log x 2 3x + 1 < ; log x 2 3x + 1 < log x 2 x21. x2 > 1, x ∈ (–∞; –1) U (1; +∞); |3x + 1| < |x|1a) x ≥ 0, 3x + 1 < x, x < – ; x ∈ ∅211 11б) – ≤ x < 0, 3x + 1 < –x, x < – ;– ≤ x < –34 341⎞11 11⎛ 1в) x < – , –3x – 1 < –x, x > – ;– < x < – . x ∈ ⎜ − ; − ⎟.24⎠32 23⎝2.

x2 < 1, x ∈ (–1; 1); |3x + 1| > |x|1a) x ≥ 0, 3x + 1 > x, x > – ; x ≥ 0;2111б) – ≤ x < 0, 3x + 1 > –x, x > – ; – < x < 0;3441⎞ ⎛ 1111⎛⎞в) x < – , –3x – 1 > –x, x < – ; x < – ; x ∈ ⎜ − ∞; − ⎟ U⎜ − ; + ∞ ⎟.24322⎝⎠ ⎝⎠Решением исходного неравенства является система:⎡⎧1⎞⎛ 1⎢⎪x ∈ ⎜ − ; − ⎟⎨24⎠⎝⎢⎢ ⎪⎩ x ∈ (− ∞ ; − 1)∪ (1; + ∞ ).⎢⎧⎢ ⎪ x ∈ ⎛⎜ − ∞ ; − 1 ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − 1 ; + ∞ ⎞⎟⎢⎨2⎠ ⎝ 4⎠⎝⎢ ⎪ x ∈ (− 1;1)⎩⎣1, тогда31⎞ ⎛ 1 ⎞1⎞ ⎛ 1 ⎞⎛⎛x ∈ ⎜ − 1; − ⎟ U⎜ − ; 0 ⎟ U (0; 1). Ответ: x ∈ ⎜ − 1; − ⎟ U⎜ − ; 0 ⎟ U (0; 1).242⎠ ⎝ 4 ⎠⎝⎠ ⎝⎠⎝Кроме того по определению логарифма x ≠ 0, x ≠ –283№ 14407 − 3x + x 2 + 3x − 4<0;x −3⎧ x 2 + 3x − 4 ≥ 0– область определения;⎨⎩x − 3 ≠ 07 − 3x + x 2 + 3x − 4 + x − 34 − 2x + x 2 + 3x − 4< 0;<0;x −3x −3⎡ ⎧⎪2⎢ ⎨ 4 − 2 x + x + 3x − 4 < 0⎢ ⎪⎩x − 3 > 0⎢⎧⎢ ⎪ 4 − 2 x + x 2 + 3x − 4 > 0⎢ ⎨⎪x − 3 < 0⎣⎩x 2 + 3x − 4 < 2 x − 4⎧⎪24−2x+x+3x−4<01) ⎨; 2x − 4 > 0;⎪⎩x − 3 > 0x −3 > 0⎧x 2 + 3x − 4 < 4x 2 − 16x + 16⎪; 3x2 – 19x + 20 > 0;⎨x > 2⎪x > 3⎩4⎞⎛x ∈ ⎜ − ∞; ⎟ U(5; + ∞ ) ;3⎠⎝⎧4⎞⎛⎪x ∈ ⎜ − ∞ ; ⎟ ∪ (5 ; + ∞ ); x ∈ (5; +∞).⎨3⎠⎝⎪x > 3⎩⎧⎪⎧⎪ 222) ⎨4 − 2 x + x + 3x − 4 > 0 ; ⎨ x + 3x − 4 > 2 x − 4 ;⎪⎩x − 3 < 0⎪⎩x < 3⎧⎡⎛4 ⎞⎪⎢ x ∈ ⎜ ; 5 ⎟⎪⎝ 3 ⎠ ; x ∈ (–∞; 3);⎨⎢⎪⎣⎢ x ∈ (− ∞ ; 2 )⎩⎪x < 3⎧⎪x 2 + 3x − 4 ≥ 0⎪;⎨x − 3 ≠ 0⎪⎡ x ∈ (5 ; + ∞ )⎪⎢ x ∈ (− ∞ ; 3)⎩⎣⎧x ∈ (− ∞ ; − 4] ∪ [1; + ∞ )⎪.⎨x − 3 ≠ 0⎪⎩x ∈ (− ∞ ; 3) ∪ [5 ; + ∞ )Ответ: (–∞; –4] U [1; 3) U (5; +∞).№ 1441log1/2(x2 + ax + 1) < 1, x < 0; log1/2(x2 + ax + 1) < log1/21/2;x2 + ax + 1 > ½; x2 + ax + 1/2 > 0; 2x2 + 2ax + 1 > 0.Для любых х < 0 неравенство выполняется в двух случаях:()1) D = a2 – 2 < 0, т.е.

a ∈ − 2 ; 2 .⎧x > 02) ⎨ 1⎩x 2 > 0284т.е.⎧⎪− a + a 2 − 2 > 0⎨⎪⎩− a − a 2 − 2 > 0a)][(⎧a 2 − 2 ≥ 0⎪a − 2 > a, ⎨⎡a 2 − 2 > a 2 ;⎪ ⎢a < 0⎩⎣⎧a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞⎪⎨ ⎡a ∈ ∅⎪ ⎢a < 0⎩⎣2)a ∈ (–∞; − 2 ]б) – a 2 − 2 > a,][(a 2 − 2 < –a)⎧a ∈ − ∞ ; − 2 ∪ 2 ; + ∞⎪a ∈ (–∞; − 2 ]⎨− a > 0⎪a 2 − 2 < a 2⎩Таким образом, ответом на вопрос задачи является система⎡a ∈ − 2 ; 2. Ответ: a ∈ (–∞; − 2 ].⎢⎣⎢a ∈ − ∞ ; − 2(()]№ 1442y=(x–1)2, 0≤x≤1; y=x2–2x+1; y=f′(x0)(x – x0)+f(x0);y=(2x0–2)(x–x0)+ x 02 –2x0+1; y = 2xx0 – 2 x 02 – 2х + 2x0 + x 02 – 2х0 + 1;y = 2xx0 – 2х – 2 x 02 + 1; y = x(2x0 – 2) + (1 – 2 x 02 ).Точки пересечения касательной с осями: x = 0, y = 1 – 2 x 022 x 02 − 1, тогда площадь треугольника,2x 0 − 2y = 0, x =S(x0 ) =()2()21 2x02 − 1 1 − 2x022x02 − 11 2x2 − 1 1 − 2x022x02 −1⋅⋅=⋅=; S(x0 ) = ⋅ 0;2 2x0 − 212(2 − 2x0 )2 2x0 − 212(2 − 2x0 )′2⎞2⎛2 x 02 − 1 ⎟2 2 x 02 − 1 ⋅ 4x 0 + 4 2 x 02 − 1⎜S′(x 0 ) = ⎜==⎜ 4 − 4 x 0 ⎟⎟(4 − 4 x 0 )2⎝⎠(=(4x20))(()()).− 2 ⋅ 4x 0 + 4 4 x 04 − 4x 02 − 1(4 − 4x 0 )2Минимум данной функции S′(x0) в точке х0=14⎛1 4⎞, у0 = .

Ответ: ⎜ ; ⎟ .39⎝3 9⎠№ 1443Уравнение касательной в точке х0 выглядит у′(х0)(х – х0) + у(х0). Онапрямая. Из этого следует, что для любой касательной, проходящей черезцентр у(х0) – у′(х0)х0 = 0, (у′(х0)(х – х0) + у(х0) = kx + b)у(х0) = 2 x 02 − 3x 0 + 8 , у′(х0) = 4х0 – 3 ⇒ 2 x 02 – 8 = 0 ⇒ х0 = ±2Легко проверить, что в этих точках касательная проходит через центр.285№ 1444у = x2 + 2x – 3, y = kx + 1. Ошибка в условии.№ 1445y = x2 + px + q, y = 2x – 3; x = 1.Найдем точки пересечения: у = 1 · 2 – 3 = –1, тогда для p и q справедливо–1 = 1 + p + q, т.е. p + q = –2 (использовали уравнение y = x2 + px + q)⎛ p ⎛ − p ⎞2 − p2⎞+ q ⎟ , т.е.Вершины параболы имеют координаты ⎜ − , ⎜⎟⎜ 2 ⎝ 2 ⎠⎟2⎝⎠22222расстояние до оси Ох равно y = ⎛⎜ − p ⎞⎟ − p + q = p − p + q = − p − 2 − p0⎝ 2 ⎠2424−p − 2p, очевидно р = –2 точка минимума, тогда q = 0, а−1 =22кратчайшее расстояние равно 1.y ′0 = −№ 1446⎛5 ⎞y = 4x – x2, M⎜ ; 6 ⎟ ; y = f′(x0)(x – x0) + f(x0);⎝2 ⎠y′=4–2x, тогда уравнение касательной имеет вид: y=(4–2x0)(x–x0)+4x0– x 02 ;y = 4x – 4x0 – 2xx0 + 2 x 02 + 4x0 – x 02 ; y = x 02 – 2xx0 + 4x.Известно, что эта касательная проходит через точку М, тогда6 = x 02 – 5x0 + 10; x 02 – 5x0 + 4 = 0;x0 = 1, x0 = 4, т.е.

получим уравнения касательных y=1 + 2x и y = 16 – 4x;15Касательные пересекаются в точке с абсциссой, тогда искомая площадь615 / 6S = ∫1(= x + x2(1 + 2 x )dx + ∫154 / 6 (16 − 4 x )dx − ∫14 (4 x − x 2 )dx =)15 / 61(+ 16 x − 2 x 2)41 ⎞⎛− ⎜ 2 x 2 − x3 ⎟ = 2,2515 / 6 ⎝3 ⎠14№ 1447y = 6cos2x + 6sinx – 2Перепишем данную функцию в виде y = 6(1 – sin2x) + 6sinx – 2, y = –6sin2x + 6sinx + 4, положим y′ = –12sinxcosx + 6cosx = 0, 6cosx(1 – 2sinx) = 0π1πcosx = 0, x = + πn, n ∈ Z ; sinx = , x = (− 1)n + πn, n ∈ Z ;262π5πx = + 2πn, n ∈ Z и x =+ 2πn, n ∈ Z – точки max ⇒66πОтвет: x = (− 1)n + πn, n ∈ Z .6286№ 1448y = x2 + (a + 4)x + 2a + 3, x ∈ [0; 2]; ymin = –4; y′ = 2x + a + 4;−a − 4y′ = 0, 2x + a + 4 = 0, x =.2−a − 4Ветви параболы направлены вверх, т.е.

Характеристики

Список файлов книги