alimov-10-gdz-2007 (546275), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Т.к, — > —, то шсгв(-1) > агся 2 ~ 3 4 3 2 ~ 1 л 1 гг 2) агсгвхГЗ и агссоя —. Рсшсннс: асс!в<6= —; агссоз-= —, слслова- 2 3 2 3 акгб(-3) < О. А як!02 > О, слсловатсльно нкгб( — 3) < ак!02. 4) акте(-5) и агаве. Рсшсннс: агсгв(-5) < О, а агсгвО = О, слсловатсль- но акгв(-5) < як)00. 1 тсльно акгв\ГЗ = вксоз —. 2 3) эгшв(-3) н агш02. Рсшсннс: асс!в(-3) = — ага!03, но акг03 > О, значнт 151 635. У авнснис г т = и !№№ 613-615) 2) (т/Згб «+ 1)гб х — т/3)= О . Рсшснно: данино уравнснис равносильно со- ( /Зтб х = -1 л вокупности .
Из псрвого уравнсння х = — ьлй, 2 и Х. Из ~щ.=,З 6 и л и второго т= — "ч-гй, !си Х. Отвст: х= — +гй, х= — +лй, )и Х. 3 б 3 3) (гб т — 2)(2 соя т — 1) = О . Рсш синс данное ура ансонс равносильна сово- (гб. =г купности, г . Ит псрвого уравнения х = ага!В 2+ и), из второю воях= у2 уравнсннв х=й — +2лй. Отвсг: х=шсгб 2+и!г, х=+ — +2лй, Дн Х.
л гг 3 3 4) (гб «-4,5)(1+ 2мл х) = О Рс~пснис: даннос урависнис равносильно со- ! гб х = 4,5 вокупности ... Ит псрвого уравнсння х = агс№4,5+И, из вю- 2 рою х = (-1)" ' — + л)г . Огвст' х = а«с!В 4 5+и), х = (-1) ' — л)г, д н Х . „л л 6 6 5), б) Анаяогичпо 1). См также задачу 611. 613. Нвйги наимсньший положитсльный и наибоаьший отрицагсльный корснь уравнсния Зц« — /3 =О.
Рсшсннс: прсобратусм уравнснис /3 л гб« = —, откупа х = — +лд, «н Х. При й = О получасы нанмснынпй 3 6 л полшкитсльный юрснь —, прв Д = -1 пшгучасм наибольший отрипа- 6 5л л 5л гольный корснь, равный — †. Отвсг: —, — —. б 6 6 л 614. 1) в«с!В(5«-1)= †. Рсшснис: по оггрштслсиию вркгангснса л 2 2 5«-1=! —, 5х-1=1,откуда «=-.0«вот: х= —.
4 5 5 2) Аналогично 1). б15. Указание: воспальзуй гссь опрсдслсннсм аркшнгснса, аналогично зааачам 5ВО. 599. Глава Уй Тригономстричоскнс уравнсннв 3№№ 616-619) 352 1) 38(вгсщ2,1)=2,1; 2) 18(агсгб(-0.3)) = -0,3; 3) щ(л-акщ7)= = ' ' = — 38(агсг87)=-7. яп(к-ассщ7) яп(агсщ7) соз(л-агсщ7) -соз(асс!87) 616. Указание: воспользуйтесь опрсаслснисм арвтангснса, аншюгично задачам 581, 600. л)с л Зл 3) Закс щ — (= 3 — = —; 7 ~ 7 7 2] 4агсЩ(Щ0,5)= 4.0,5 = 2; 3) ясг щ — )=асс! г л — =азсср -38 — =-агсг щ— 4) асс!8(18!3)=акгб(18(13-4л))= 33-4Л, т к. 33-4лп ~ — —; —" 3 2 2) л] л 617. 1) асс! сгб — . Решение: ссб л — )3= -18 —, т.е.
асс!8(-18— 3 6~ 1 6) 3 ( З~ 3 618. Доказать, что при любом действительном значении а справевливо рв- ! ( сгл] венство сов(агсщ а) = ~ . Решение.' поскольку агсщ оп —; —, то (3+ с 2 2~ 4] Указание: сг — + акщ 6~ = -щ(асс!в 6). (л ~2 2) асс!я ссй — =атос — щ — ~= —; 4~ ( 4! 4 3) агссд 2з)п — =агя 2 — =агсщ! = —; 6) ') -Г 4) акс)(2яп — = агсс 2 — = агсг893 = —, соз(акгйа)>О.Изтожлсства —,=1+щ к имеем 1 соз' х Применим зто тождество 3с учетом ! 1 соз(агсщ а) = 3+щ (акща) зс!+а 619.указание:1) агс189 1,4632) ясЩ(-7,8) -1,44.
соз.с = Л 1 1егбсз знака), получим 436. Рснюнне тригонометрических урашюннй Ойле 620-622) 153 ф36. Реитенне тригонеметричесиид уравнений Ответ: х=+ — ьдд, Лей. л У 2) Укаэанис: аналогично 1), лвс серии решений обьелиняются в одну - 3 л — +2гь( 3 хи+ — ьгв, Лей (см. Рис, 74). л 3 3) 2ип'»+ыпх-1=0. Решение: данное уравнение- квадратное огноситсль- 1 ио я(п». Тогда жп»=-1 нян жп»= —. 2 л Ит первого уравнения» = — — + 2ЛЛ, иэ 2 Ри 4 второю»=(-1) — -ьлл. Ответ: х= — е2гс(, х=(-1) -+л(, /ге Х.
,гг л,гг 6 2 6 4) Указание: ланнос уравнение -квадратное относительно, аналогично 3). 621. Укаэаиие: воспользуйтесь основным тригономсг ричсским тождеством и сводите уравневие к квадратному относительна 1), 2) мп х, 3), 4) соя» . См. также задачу 2 436. 622. 1) Ухатаиис: данное уравнение равносильно уравнению гй.т= »тГ2, аналоги гио 2). лл 2) гй»Ршйх. Решение: область определения уравнения хи —. То~да 2 гй.т и О, поэтому иа нею можно помножить або части уравнения.
Полу- чим гй » =1, откупа гехи+1. Из псрвогоуравнения х= — «-ш, Ле Х; а т л 4 л л их второго»= — ел(, ке И, Ответг х=+ — чгн, Ле И. 4 4 3),4) Укашнис: данное уравнение квалрапюс опюситсльно тй», аишгогично задаче 623 п.1). ! 1 620. 1) мит х = †. Решение: уравнение равносильно уравнению пи х = Л- . 4 2 г л , 5л Тогда имскпск две серии корней х=( — 1) — +Иг и х=(-1) — ьлл, 6 6 Л е 2. Отметим эти «орин на елиничной окружности (см.
Рис. 73). Тогда нсгрулно видеть, что чти лвс серии объединяются в олпу. Глава У|. Тригоиомстричсскис уравнении 1)й)й 623-624) 154 623.1) 1<7соь х=Зяп2х.решение:тк. саьх=б.то яп2х=2ьшхсоьх=б, т.с. уравнение ие выназиело. Рашслим осе части уравнении иа соч х и О ивоспользусмсвтожлсствами —,=1+щ х и яп2х=2япхсоьх.По- 1 соь х лучим: й+тй «=6<ба.Зтоуравиеииеквадратиоеоп<осишльло гйх,тог. да <й х = 4 или щ х = 2 .
)|з первого урависиии х = агсщ4+ <дг, а из шоро- хе х=агсщ2 гй, 2 и Х. Отест: х=агс<й4+и|, х=агсщ2+л|, йи Х 2) Указание: разделите обе части урависниь иа яп' х и О и воспальзуй- 1 теса тождествами —, =1+с<6 х и ял 2х= 2ып «сок х. Уравискис свсяп х деток к квалратисму относительно сщх . 3) ям2х+ сок' к+ ь!пхсоь т = О. Решение: сои 2х = сок' х-япз х, позто- му 2соьз х+япхсоьт-яп'к=О, (созхеь)пх)(2соьх-ь)пх)=б,откуда сгих =-ь)п г или 2соь т =япх, сока=О пе авластсл рсшсиисл< ни первого, ви второго уравнении, разделим на сок х а О обе части кажлого пз и урависиий. Получим щк=-! али <Ох=2.
Откуда х= — +ад и 4 л х=агс<й2+я|, йк 2.Ответ х= — +лй, «=агс<62+лд, !и Х. 4 )3 1. л .л. <)3 е) = 2, получим — соь х+ -яп х = О, соч — сок х+ яп — ял х = О . По 2 2 6 6 формуле косинуса суммы со~к — = О, откуда 61 л л х — — = — елд 6 2 х= — +<ь), |<к 2.Откат: х= — елй, 2п Х. 2л 2л 3 3 л) 2)Указания прсобразуйтсурависиис со(х+- =О. Аналогично|). 4! 3) йп х = 2сазх. Решение: соьх = О ис лвллстсл решением данного урав- 4) Указание: аналогично 31, соз2х=созга-ь)п'х, таким образом Зсоь'.т — 2яп .с+5япхсоз <= О, (Зсозх-ь)ох)(соьх+2япх)=О.
624. !) ч~)соьхез|пх=б. Решение: разделим обе части урависник иа )36. Ренмнис тригонометрических уравневий (№№ 625-627) 155 кина, раэлслим на созх и О обе части уравнсник. Получим !Ох = 2, от- куда х = агс!82+туг, де 7.. Ответ: х агс!82 ьл(, 4 е К. Замечание: можно было реююь так же, как и 1), но па»учитесь бы сложнее. 4) Аналогично 3). 625. Указание: аналогично задаче 624 п.|). Сч звкжс задачу 8 из 636. Сводите уравнение к виду: 626.
1) созх = соз3». Ренгеииег пс!жнсссм все слагаемые в правую часть и воспельзусчск формулой разности «осинусов, получим -2 яп 2»яп .т = О . Тогда яп2х=О или яп»=О. Откуда 2т=л/г ичи х=лй, /ге Е. Заме. тии, что порвав сериа корней солсржи ма во нгорой, |л 4) зюхчсозЗ» = О. Реп~анис: яп » = со. --х~. таюрь по формуле сум- мыкосинусовполучасм: Зсоз-( — -хч-3» соз- --»-3»~=0, 2(,г 1 'г(2 (л Зсоп — +х со — 2х =О.Тогда со -+х =0 нли соч — -Зх)=0. (4 ~ (4 ~ (,4 ~ (4 л и л л л Из первого уТьниа .т+ — = — +лй, х = — ч грг, нз иторого -2»ч — = — чзуг, 4 2 4 4 2 л лй л л лй х = — + —, 2 е Е .
Охват; х = — + лй, .т = — + —, 2 и Х . 8 2 4 8 2 627. !) Указание» созЗх-се45»=-2з|п(-х)яп4х =2яп»зю4х, поэтому походное уравнение равносильно уравнению яп ах(2 яп х — 1) = 0 . Аналогичноно задаче 596. 2) Указание: япух-*ю»=2япЗ»соз4», поэтому исходное уравнение равносильно уравнению с ох 4х(2 ь!п 3» -1) = 0. Аналогично задаче 596.
),Е 1) з|н~х — '= — -; 4~ 2 л) 3)сот) х- — =1; З~ Ответ: х = —, 4 и Х. Л» 2 2) Аналогично 1). 3) Аналогично»). 2) со(х — ~ = —; л) 4)со»~Зх — =1. 4~ Глава Ч1. Тригономсгрические уравнения [йй 628) 156 3) Чихание: созх+созЗ«=2соз2«соз«, поэтому исходное уравнение равносильно трависнию 2«оз2«(созх-2)=0. Аиалогично эадачс596. 4) ип «-соз «=соз4«. Решение: з(п «-соз к=-соя2х, поэтому э э ° э э соз4«+соз2х=О, 2созЗхсозг=О.
откуда созЗ«=О ю~н созх=О. Из л лй и первою уравнения х = — + —, )си Х, вз второго уравнения х = — +лй 6 3 2 й н Х . Заметим, что вторая серия решений содержится в первой (а имсн- л л(Зм+ 1) гг л л! но, ври а = Зм с! х = — + — = — + лш ). Ответ, к = — + —, 4 н Х . 6 3 2 6 3 х 628.!) (18«-э(3~2з!и — ь1'=0 Решение: областьопРсдслсниЯУРавненил 12 л ки — +лй, 1и Х.Данносуравнсниеравносильносовокупносэи: 2 (гйх-4'3 =О ! х л х „пл 2ип — +1=0, откуда находим х= — +лч нпн — =(-1)"' — +ли, 12 3 12 6 ли Х .
Дчя второй серии решений получаем, что удавлегворяст области уравнения Ответ: х = — +юг, «-"(-1)"' 2л+12ли, ли Х. 3 2) Аналогично 1). 3) Аналогично 4). л Й!. 4) ~(+ Г2 х+- 18«-3)=0. Решению область определения уравл нонна х и -+лй, й в Х . Иэ равенства иуаю первою сомножителя пахот дим хч- — =(-1)"' — +лн, на Х,тс.
х=(-!)"' — — +ли. При и=22 л „нл „„л л 4 4 4 4 получаем «=2лй, что удовлетворяет области опреаслснив, а прн и н = 26+! « = -+л(26+!) нс уловлствсряет области определения. Иэ 2 равенства нулю второго шэмнаииэсдя находим х = ак!83+ ли, и н Х . Отвст: « =ак!83чэш, «= 2ли, ли Х.
936. Решение тригонометрических уравнений ()/в)гьз 629-631) 157 629. ! ) Ушзанис: яп х = 0 — рсшсаис. Если яп х е О, то разделите обе части чгЗ уравнении иа яп' х, получизси — =1. Аналогично залачс 610. гб» 2) Указание: сов » = Π— решение. Если сов х н О, то разделите обе части уравнснив на сов», оолучитсв 2яп» =1. Аиваогнчно задаче 589. 3) яп4х+яп 2х=О.
Решение: преобразуем левую часть уравнении: *ш4«+яп' 2» = 2яп2хсоз2»+япг 2» = з!п2«(2соз2» ьз!п2«), танич образом *)п2«=0 или 2соз2х+зш2х=О Из первого уравнснил «=~/, 1е Х. Полслим второе уравнение на з)п2».нО, получим '2' 2 ! лй — = — 1,откула х= — агсгб2+ —, Ь и Х. гй 2» 2 2 л/» 1 и/г Отвстг х= —, х= — агсгй2» —, йа Х.
2 2 2 4) Указание: аналогично 3), яп 2х+ сов' х = сов х(2яп»+ сов «). 630. 1) Указание: перенесите все в левую часть и преобразуйте уравнение: 1 . 1 — соз2«. 1 . 2 2яп х-1 — яп4»= 2 ' -1- — яп4х=-счн2х — соз2»яп2»= 3 2 3 3 2 =-соз2 1ь-згп2») 3 2) Указание: 2 сов' 2х — 1 = сов 4«. Аналогична залаче 624.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
