alimov-10-gdz-2007 (546275), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1) яп — +а =2ып — +- соз — + —; ]2 ~ ~4 2~ ~4 2~ 2) зю — -1 13 = 2 зю — ч- — со — +— '|4 ) 58 2~ 18 2~ 3) со(л а) сов![и а) 5]озал а). 4) со( — за)=сов'( — 1- — )-5|п ~ — + — ); . а а 5) япи= 2яп — сов —; 2 2 !а ,,а 6) сова =сов — -Нп —. 2 2 созбхсов5х+япбхяп5«=сов(бх-5х)=созх. Тс. созх= — 1, откуда «=л+2л), Ье Х.Ответ: «=л+2лх, де 2. 2) Указание; прсобразуйтс совЗ«со$5«-яп5«зю3« = соз|Зх+5«) = со58«. 029.
Синус. «осинус и тангснслнойного угла (№% 500-505) 117 500. 1) 2яп!5'со«15' =ь!п30 =--, ! 2 2) оса«!5 — яп'15' =соь30' = —; Гз, 2 =щзО = —: 2 !815' „! 1-18 !5' «Г3 4) 0»«75' — я»75 ) =со«'75' -2соь75 м»75'+ья 75' =1 — ми!50" =05. л л . л «Г2 50!. 1) 2яп — со« вЂ” =ьгп — = —; 8 8 4 2 гл .гл л Г2 2) соь' — — «!»г — = соь — = —; 8 8 4 л 2«8— 3) = !8л =1: 8 л сл 1 гй 8 ч)2 Р л л! Г2)' л.л! 4) — — со« вЂ” ~- йл — = — — 1+ 2 со« вЂ” яп — = -1. 8 8) 2 ~ 8 8) 502.!) 2мп75'со«75" =яп150 2 чз 2) со«75 -оп« 75' =со«150 = —: т =з«8!50 =,Гз.
! — ц 75' 1-щ 75 гй 22 30'-1 ! 2щ22'30' 1 -2 г822*30' ~ щ 22 30' — 1) Щ45' 141 У 504. 1) Рсшснис: яп я =1-! - 1 = —, откупа находим )5) 25 10 9 7 7 сгм2«« =со« сг-ь!и и = — — = —. Отвсг: —. 25 25 25 25 2) Аналогично 1). 505. У«а«анис! по»став«то ьначсиис таит»пса в формулу лвойного угла. 503. 1) Рсшснис: тк.
— <а<к, то со«а=-,)1-~: ! = —. Полтину 2 )) )5) 5 3,' 4) 24 24 «!п и = 2«!Посо«я = т — "' — = — Огас«' 5' 5) 25 25 2) Аналогично 1). 1!8 Глввв Ч. Триагномстрггчсскис формутгы (№% 506 — 510) 506. 1) 2сов40 сов50' = 2яп50' сов50' = в|и!00; 2) 2яп25'яп65' =2в)п25'сов25' =яп59'; 3) япуа+(в)па-сова) =2вгпасоза+1-2япасоза=1; 4) сги4а+яп'2а=сов'2а-яп'2а+яп'2а=сов'2а. яп2а 2япасова (з!па+сова) — 1 2япасоза !+соз2а |+сов'а-яп а 1-яп'а +сов'а 2сов'а 2) 1-соь2а 1-соз а+ялта 1-соьга -ялга 2япга 500. 1) (япазсояг)' -1 =яп а+огиз а+ 2япа солт-! = 2япасоза = яп2а; 2) (ь!па-сова)т =яп'а+сов'а-2япасова =1-2япасоза =1-з|п2а; 3) сов'а-вгп'а=(созга-з)пга)(созга+в!п а)=сов а — ып'а=соз2а; 4) 2сов'а-сов2а=2соь а-(сов'а-в|ига)=созга+яп'а=1, чти.
509. !) Реглсиис:тк. — =(з!пачсоза) =1+2япасоза=|+яп2а,тог- Ж 3 . 3 лз йп2а= — —.Ответ: в!п2а= —. 4 4 2) Решеиие: тк. ~ — =(япа — сова)г =1 — 2япасова =! — яп2а, тог- 3~ 1 8 . 8 лв зги 2а =1- — = —. Ответ: зги 2а = —. 9 9 9 соь2а (сова — з!па(совать|па) сова-з)па .
510. 1) = сгла — ! з!пасазачз!п а япа соьа+йпа япа яп2а-2соза 2япасоза-2соза 2соза(ь)па-1) 2соза 2) г 2 --2сгра. *яа-з|п а япа-яп а впа~!-ява) ьяа 3) г8а(1+совуа)= — !1+12сов а-1))=2япасова з)п2а. япа г сова 1-соз2а+яп2а 4) .с|8а= 1+сов2а+яп2а .с|8а = 2з!па(япа т сова) .с18а = 18а огра =1, ч.тлп 2соьа япа+соьа 130. Синус, косинус, тангенс полоненного угла (№)й 511-512) 119 1 — 2сока яп'а — 1 япза — соьха инта — соьтп соь" 2а 5) =сгб'2а. 4яп'ясона (2Япасога) Яп 2гх 6) 1-2з!п'~ — — — ~ сог(2' 4 2)) ~~г( 2 ~) л . л.
=сот — сова+ми — япа =япа, чтд. 2 2 яп а(1 + 2 соьа) = гба япа+яп2а зва+2япасоьа "г) 1+соза+сгм2а 1+сова+2соз'а — 1 сова(1+2соьа) 2тг2 я и-— л 511 ьв а с"*а соьа(! + с!ба) япа(1+ гба) яп 2а Решение; преобразуем отдельно левую и правую часть. Левая часть: соз а яп а сова(!+стра япа(1+ !ба) ( сова ) . !' япа ) соь 1+-,- -. яп 1+ —- япа ) ~ сова яп а зв а — соз а т созг а сгиа(зваесоза) япа(сова+ила) сотая!па(япа+соза) япа-сота 2(япа-сова) сгпа яп а(ила+ сова) япасоьа яп2а Враная часть: л г. л .л 2 Г2я а — - 2.1 япасоь- -сояхз)п- 4 4 4 2(япа-сонг) з!п2а я)п2а яп2а уравнению яп х=б.
3) Указание: рассмотрим разность: 4соьх-яп 2« = 2созх(2 — япх) = О, откуда соз« = О ихи ьв х = 2. Второс уравнение не имеет рсгнсний. ,Т.с. лсязя и правая части совпааакгг. Что и требовалось доказать. 512.1) яп2«-2соь«=О.Решение:прсобразусмлсвуючасгьуравнснна,получим 2созх(япх-1)=0. Тс. соьх=б нли яп«=1.
Перягс уравнение является слслствнсм второго (в силу основного тригономстричссюго тождества), нозтому Лостаточио решить только первое уравнение. созх=б, «=и~ел« .Ответ: х =и~ел«, «и Х. 2) Указание: соь2х+ьв'«=сов'х, т.с. данное ураннсннс равносильно ! ланв Ч. Тригонометрические формулы !ив 513 — 515) 120 4) Уж«завис: рассмотрим разность: яп'х+сов2х=сов'х. х х 1 5) яп — сов — +-=О. Ревснис: ломиожим обе части уравнении на 2: 2 2 2 х х . л Л 2 яп — сов-+1 = 0; яп х = -1; х = — + за.. Отвея х = — ' + 2л)г, 1 и 7..
2 2 2 2 6) Указание: рассмогритс разность левой и правой части уравнснив, тогда тх . х сов — — яп — = сова . 2 2 030, Синус, косинус н тангенс половинного угла Формулы половинного угла: , а . 1-сова !й 2 |+сова , а 1-сова яп — = —, 2 2 , а |+сова соь — = —, 2 2 ва 1-!й— сова = 1+!В— т сг ' 2 2!й япа = за ' 1 ь !й 3 2 2вйа !йа = ,а' 1- 1й— 2 1 1+ сов— 2) 2сов' — = —; 2. 4 2 513. 1) яп' !5' = 2 ул 1ьсол — -2а 3) сог — а = '14 ) 2 1+со — +2а 4) яп — +а )4 ! 2 Л 1+ сов— 514. !) 2сов — 1=2 — -|=сов — = —; 4 8 2 4 2 2], 3) аналогично 1).
.,л у л) тг Гз 2) 1-2ь!п' — =1- 1-соь — =соь — = —; 12 ~ 6~ 6 2 ,гз з,гз т |,ГЗ,Г3 3) — -«2яп 15' = — +11 — сов30 )= — +1- — =1: 2 2 2 2 ,Гз т .,Гз т .|,Гз,Гз 4) — — +2соь 15' = — +|1+совЗО')= — +1-« — = !.
2 2 2 2 . а и а л . а 515. 1) ьв —. Рсвнсннс: т.к. О са < —, то 0« — — < —, позтому вв —— 2 2 2 4 2 2 а 1-сова г — т!5 Г5 повожитсльносчисло.Тогда яп — = ~ — =,)0,2 = —.Огвст: —. 2 )! 2 5 5 ОЗО. Синус, косинус, твюснс половинного угла !Хя 3 51б — 510) !21 а 1 1+сола 4) Уквзкиис: стк — = — = , впклогнчно 1). 2 а 1-сока 2 4 л а л 5)б.
Указание«сока = —, кроме того 0 « — — < —, поэтому синус, коси- 5 4 2 2 нус, тангенс и котаигенс половинного угла полонит с.«ьныс. ,Гз Г)-с . зо. 517. 1) Решения яп15' >О. Поэтому: яп15' = / ' =) — = 2 1 2 '2-«Г3 Г4-2«/3 )1-~Г3/ ~ э/1 /3-1 э)6-Гг =à —.= .
= . ='„'= —...= .- Г+соз30' Г),ГЗ «Г6«-,Г2 2) Решение: сок15' >О, т.с. сок15' = ! 2 12 4 4 Г)- сок 45" 3) Решение: «522*30'> О, поэтому: «022 ЗО'= ~ 1+сок45' т2 г- Гг 2-,/2 )2- Я вЂ” 2= — = = =,Г2 — 1 т2 12+ /2 2+«Г2 2- Г2 «Г2 2 4) Рсгпснис: с!022'30'= = = )24! !см. п.з). ! ! !022'30' «Г2-1 1+!О 2 «т а =!Π—. «т 2 2«0— г 1-созггт«з!пга 2яп а«гк!оасоят гана(з!пассоса) !Оа.
3) 1+сок2а+яп2а 2сок а+2кшасоза гсоза!сока«к!пи) 1+сок4а 2сок'2а сок2а 4) — = с10 2а яп4а 2соз2аяп2а яп2а 530. Синус, косинус, тангенс половинного угла (№№ 521-523) 123 521. 4+з)па -з(1-мпа = .а а) .а а) ЯП-+СОБ — — Б(П вЂ” — СОБ— 2 2) 2 2~ . а аЦ«а а) л и гг =~яп — +сок —,яп — -соз-1. Тк. Оса< —, то О« — —, позтому 2 21 | 2 21 2 2 4 0<ни — <соз †. Тс. ч! тяпа-ч(-Б(пи =1яп — -сов-Г-1яп — соз-Ч = 2 2 ~ 2 2 ~ 2 2 .а а .и а .а =Б1п — +сок — +яп — соз — = 2Б!в —, ч.тл. 2 2 2 2 2 182а 182а 182и ! — 18« га =со«4а.
|84а-|82а 2|82и 2и |82а !+!и 2 1-18«га - зх 523. 1) Указание; созх =1-2Б|п' —, аналогично 2). 2 х 2) ! «созх = 2соз-. Решенно: преобразуем уравнение: 2 х гх х х( х 1«созх-2ссз- = О, |+2еоз --1-2сок-=0, 2«оз- агк--1)=0. Тс. 2 2 2 2~ 2 х л сок — =О иаи сок-=1. Из первого уравнения — = — +л4; .г =и+2«лг 2 2 2 2 х 4 и Х . Из второго уравнения — = 2ли; х = 4яг, ли Е (ага серии корней 2 содержится впервой).
Ответ: «=л+2л), йп 2. /х 3л),х 3л «.3л х 3) Указание: я — — =Оп-сок — соз-яп — =сок-. Аналогично 2). (4 2! 3 2 4 2 4 4) Указание: 1+апбх = 2 сов' 4« . Аналогично 2). 5) 2Б|п -+ — яп2х =1. Рсаеннс: преобразуем уравнение: .Бх 1 2 2 2яп --1 т — яп2Б=О, -сокх+япхсокх=О, созх(япх-()=0.0тх 2 ~ 2 Глава Ч. Тригонометрические формулы (Лз 524) !«4 куда сот х =О или них=1. Первое уравнение следует из шорого (в силу осиовносо тригонометрического тождества), поэтому достаточно реисить л л только первое уравнение. Тогда .г = — +лл Ответ: х = — +ЛД, 4 е 2.
2 6) Указание< ангшогично 5), 2со.'х-]=со«2х, яп4х = 2яп2хсоз2х. 031. Формулы ярмяедеямя Формулы приведения синуса: . (сс (2 я — +а)=сохи! (2 . (Зл я — — и~= -соса; 2 (Зл яп — си~= -соти ! яп(л-а)=ь]па. яп(сг + а) = — яп а, срормулы приведении косинуса: со«(л «-и) = -сша: соз(л — <к) = — соха . Формулы привеаенна тангенсаг 10(и+ад)= срсх, l<е Х; сь(с<+ ла ) = сри, lс е Х .
. 524. 1] Решение: соз75' =соз(90 -и).<пкуда а =15'. Осм:г и =15' 2] Решенно: яп150' = ил(90' +а), опсудз а = 60'. Осеет: ск = 60 . 3) Решение: яп ! 50' = йп(1 50' -а). откуда а = ЗО'. Ос вог: а = 30'. 4] Рсшснисс соь310 = коз(270" +а), откуда а = 40" . Ответ: а = 40'. 5л . л л 5) Рсшсмнс: з!п — = Мп]л а], откуда а = — . Охает: а =— 4 ' 4 4 л сл Зл Зсг 6]Решенно: <0 — =с — -а,откуда и = —.Опкч: а=— 5 0(2 ~ !О 10 7Л с Зл л л 7) Решение: соз — =со — +а,откуда а = —.
Ответ. а = —. ]л с — а1=япа; ( 2 ]Зл оз4 — -а)=-з]па; '\ со — ьа~ = — зспи: (2 с Зл соч — +а~ = з!пи с (2 125 631. Формулы ыравсдсыиа (№№ 525-526) 1)л л л 8) Рсшсаыс: — = 2л — а, откуда а = — -острый угол. Отвст; а = —. й 6 6 525. 1) сов)50' = сов(180 — 30') = -совзб' = —; ,5 2 2) яа)35' =яп(90'+45')=сок45' = —; тГ3, 2 3) с!8135 = с!8(!80' -45') = с!8(-45') =-с!845 = — 1; 4) сав!20' =сов(90'+30")=-яп30' = —; 1 2 5) сов225' = сов(180 + 45')=-сов45' = —; Гг 2 6) яо210'=яп(180 +30 )=-яп30' = —; 1 2 7) с!8240' =с!8(180 +60')=ст860' = —; 1 Гз тГ2 8) япз)5' =яа(270'+45')=-яп45' = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
