alimov-10-gdz-2007 (546275), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3) Указание: 2соз 2»+Зсозг»=2соз 2х+3. г г 1ч сот 2« . Донножим на 2 2 и перенесем все в левую часть. Получим: 4созз 2»ьЗсо«2»-1= 0. Это уравнение кяшратнос относительно сов 2х, см. задачу 1 436. 4) Укаание: (з)п »+сов»)г =1+ 2япхсовх.
631. 1) 2з!п2»-З(з)пхьсозх)+2=0. Решение: 2з!п2»-3(з)ехзсозх)ь2= =2(з!их+сов»)' — 3(з!пх-созх)=0. Заменим н=(япк+созх), тогда 2н — Зи=О, откуда и=О или и= —. Но созх+япх/ 92со х- —, г 3 г- / л! 2 л) позюму соз(х — =0 илн со х--(= >1. Второе уравнение не 4( 2/2 Глава У(. Тригонометрические уравнения (ля 632-634) Зк Зл имеет решений, а на первого х = — +л». Ответ: х = — ьл», А н Х .
4 4 2) указание: вкала~няне 1), яа2х+3= 2+(я)ля»соя«)т. 3) Указвние: аналогично!), зя2«+4=3+(япх+созх) . 4) Указание: яп2«+5(мах+соя«+!) = 4ч-(яп«+ соя«) + 5(яп«я.созх), аналогично!). (и «) х дт х 632. 1) Указание: 1-соь(л-.с)+яп — ь- =1+соя«-соь-'=2саз -' — сот-, ~2 2) 2 2 2 аналогично задаче 62Х 2)указание. и ь х- — =созх+япх,ем.задачуб31, 4! 633. 1) йз!п хсоях соз 2« = 1. Решение: преобразуем новую часть: 1 Зяп тсозхсоь2«.
= оп 2«соз2« = 2зю 4х. Откуда яп 4« = —, тогда 2 4х=(-1) — ьгй, х=(-1) — + —, Ав Х. Ответ: х=(-1) — ь —, Ав Х. ,гт,л л» „л л» б 24 4 24 4 2) Указание: яп" т =(1 — соя'.т)',слслайтс замену и = соя'.т. 634. 1) 2соз'2«+Зяп4х+4я!н'2х=О. Решение: поформулесинусалвой- ного уша з№ 4« = 2яп 2хсоз2х. Подставим н уравнение и разложим на множители левую часть. Получим: (соь2«+ зш 2«)(соя 2х+ 2 но 2х) = О, ! те. вш 2х = -соя 2«,яп 2« = — соз2«.
Тк. соя 2х = О на являстск рсшс- 2 нисм, разделим оба уравнения на соз2«. Получим №2«= — 1 идн 1 гг ! №2«= —,откуда 2х= — -ьл» или.2«=-яюгй-егй, Ае Х. 2 4 2 л л» 1 1 л» Ответ: х = — + —, х = — агсгй-+ —, А и Х . 8 2 2 2 2 2) Указание; 1 — *яхсозх+2созтх=яп'х+Зсаз'х-япхсозх. Диало- гична заваче 5 636. 3) Указание: 2яп'х=! — соз2«, слслайтс замену и=соз2«. Тогла 1 з ! -к -и=О,откупа и =О илн н=»-.
4 2 636. Рсшснис триганомстричсских уравнсиий (№'й 635 — 637) |59 4) яп'2х+соз Зх=|+4я|пх. Рсшсние: соз'Зх=| — яп Зх, полстзвим в уравнснис, получим яп 2х-соз'Зх=4япх. Прсобразуслг левую часть: япт2х-соз Зх=(з(п2т-з)пЗх)(я(п2хлз(пЗх)= х 5*, 5х х / .
х х) ( . 5х Зх) =-2яп-соз — 2яп — соз-= 2з(п — соз- (2яп — савв г 2 г 2 1 г =-з|пхып5х, Тс. нсхалнасураанснис равносильно -япхь(п5х =4япх, к|п х(4+ян5х)= О, откупа япх = О (второй сомнякитсль вссгда больша нуля)| х = лй, 6 а Х . Опят: .т = лй, ) н Х . 635. |) Указание: псрснаситс всс влсвую часть, тогда по формула суммы ко- синусов получится соя(2т+х) =О. 2) Указанисг псрснсситс всс в лсвую часть, тогда по формулс разности синусов па;тучится ягп(2х — х) = О.
3), 4) Аналогично задача | 2 $36. 636. |) 4яп'х — 5япхсоях-бсш я=О. Решенно: саят=О ноявлястсярсшсннем, паттону рязлслнм абс части на соя' х. Получим: 4|й х-5!Ох-6= 0. Это урависнис каалрзтнас гпноснтсльна |йх. Иа- 3 хо гим сто корни: |О т =2 и |Ох = —. Тс. х= асс!62+и( или 4 3 3 х=-аюгй-+гй. ба У..Огвст: «=агс|62+л|г, х=-асс|О-+ю|, (се. 4 4 2) Аналтогично |). 3! 4) Укаюннс: аналогично | ), воспользуйтссь формулой —, = | чгй х . з созг х 637. П 4япЗх+ып5т-2япхсаз2х=б.
Рснюнисг применим формулу прсабразованиа произвсдсння в сумму, получим: 4яп Зх+ Ип 5 т -2 я|и «соз 2х = 4яп Зх+ яп 5х- (з!» Зх — яп х) = =Зяп)х+яп5х+ыпх. Па формуле суммы синусов яп5х+з|пх= = 2яп Зхсоз2х, та. окончатально ып Зх(З+ 2саз2х) = О. Откутз 3 гз( япЗх=б или соя2х= — < — |. Из первого )равнения х= —. Ок 2, 2 3 г6 игоросуравнснисрсшснийнанмсат. Отаст: х= —, Ан Х.
3 2) Указанис прсобразуйтс лсвую часть уравнсния: Глава У|. Тригоиомсгричсскис уравнсннз 1№№ 638 — 641] 6 сов 2х япх+ уз)п Зх = я их(бспз2х+ 14сгмх) = 6 па(! 2соьх х+14созх -6). 633. 1)Указание: япгЗк-яп х=(япЗх-з)пк)(з)пЗх япх)= = 2яп гсоз2х 2яп 2хсоз» = 2яп' 2хсоз2х, ге.-уравнение равносильно уравнению яп' 2х = 2 яп' 2х сов 2х . 2) Укаянис: раскройте скобки и слелайге замену: и = (бп к+сова)= л) (созхзяпх) -! иг -! = /2 сей х —,, тогда сов х яп х = 2 2 639. 1) Указание: по формуле прсобразоююм произведснил в сумму: яп.гяп2хяпЗк= !/яп2х(огз2х-соя4х),те.
!Г юп2х(соз2х-совах)= '2 '/2 = !ХЗзю2хсоз2». 2)Указание; яп'х+соь'х=!яп х+соз х) -2з!п'ксозгхь) — яп 2х, з и 2 649. 1) соз'.г+созг2к=сов Зк+соз'4х. Решение: псрсгруппирусм слапюмые: соз к-соз 4х=соз Зх-соз 2х. Получасы: соз х-соз 4х= 1 г з г Зх . 5к Зх 5х = (омх- сов 4х](созх+ соз4к) = 2 яп — яп — 2 сов — соз — = яп Зхз!п 5к 2 2 2 2 анююгично сш Зх-соз'2»= — япхяп5х, Те.
яп5х|япх+зю5х) =О, лд 2ь)пуха!пЗхян2хьб, отвула находим три серии корней: х= —, 5 л| л лб л|г лй гг гй т= — и х= — + —, Зи Х.Онест: х= —, х= —, х=-+ —, 1п Х. 3 4 2 5 3 4 2 2] Укззаинс: по формуле суммы кубов и основному тригонометрическому тождеству яп а+сов «=яп х-зя «соз а+сов х=! — яп 2х. ь ° г г 2 641. 1) Аналогично 2). 1 . 1 1 2) япх+ — =яп х+ —,. Решение: область определеннауравненнл япх з|п х к илФ, Зи Х. Домнолшм обе части на япз х и О, получим яп'х+яах=яп'к+1, з)п'хьяпх-янах-1 О. Сделаем замену и=них, тогда из+и-и~-1 О, -(и-1)г(и~+и+1)=О, что равно- 636. Решение трнюнометрнческнх уравнений (№№ 642-645) 161 л сильна я =1,т.е.
нпх=1, х= — +2лй, Дн 2. 2 Ответ. х= — +2л(, ЛпХ. л 2 642.1) мпхмп5х=!.Решение тк.-!<мпхл! н -15з)п5х51 прнлюбых зяаченнях х, то равенство возможно, только еслн мп» яю5х=! нлн нп х = нп 5х = -1 . Первое равенство выполняется, толью если л л л х = — + З!Л, а вторас, сел н х = — + 2яй . Ответ: х = ь гш, 2 н Х . 2 2 2 2) Аналогнчно!). ип ) х *:ып-ъ *. нп х 5 О, прн таких х возведем уравнение в кмшрат. Получим: 5созх-соз2х 4*!и'х; 5созх-2соз'х+1-4(1-соз'.т) =О; 2 соя х+ 5 соя х -3 = О . Откуда он х = — нлн сов х = -3 (чю нс возмшк- 1 1 2 л л но). Таким образом х = Л вЂ” +2лз, Лп Х.
Но корни х = — +улз не удоа- 3 3 лстворвю условию зш х < О. Осталось проверять, что вторая серия корней уловлегворвег областн определенна уравнсннв: 5с — +2лй -с — +4!ус =5с — -со — =3>0. Огнен х= — +2яй, Лп Х. л 3 2) Аналогично 1). 644. 1) Указание: рвссмотрнте отдслыю случал соя х < О п соя х < О, аналогнчно задаче 643.
2) Указание: рассмотрнте отдельно случаи гй х < О н !6 х < О, аналогично задаче 643. соз(х+ у) О ! х.~. у - лгг+ яй 2х. = ~~ + ш! + 2гш 645. 1) =ь г2 г:ь отсяша х-у =2гпг 2у +лй-2зш /2 л л( л л! находим: х= — + — +Юг, у= — + — юг. 4 2 4 2 )зг лй л лй Отвел — + — +лл,— + — лл, Лп Х, ап Х. ~4 2 4 2 6ОО, 162 Г »а па У(. Тригонометрические ура вне пик ()Риз 647-651) 2) Указание; возвелнте первое уравнение в квадрат и восполыуйтсс» основным тригонометрическим тождеством.
646. Указание: это уравнение сводится к квадратному относительно созх . Аналог нчно задаче 647. 647.Найти,орикькихзиаченнвхл,уравнение яп х-япхсозх-2созтх=и нс иисст корней. Решение. преобразуем уравнение (1-а)яп х-япхсоьт-(2+и)соь х=о Прн а=! созх=о ввлвотсв рсшсниси. следовательно о и1.
Тогда соьх =О нс ввакстсв решением, разделим ив соз х. Получим: (1-и)гй х — !йх-(2+а) =О. Так гик тангенсс протсгаег вес вещссгвснныс числа, значи\ сслн зто уравнение (как «вадратнос относительно тангсиса) имссг корни, то и и сходное уравнение имеет корни. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы О<О, тс. ,/РОО-1 1»4(1-и)(2+о)<О, 4а'+4а — 9>О, откуда а> вли -! — Я 4!О-1 !+До а < — Ответ: о > —, а < †. 7 2 2 ЦЗТ.
Примеры решения простейших тригонометрических неравенств Основные фермулы (-!>а<1,/сей) г соьх па е» -аз<сова + 2л( < х < амсоьа+ 2ай; сш х > а с» — а»с<ока+ 2Ф < х < высока + 2лй; соь г < а с» агссоза+ 2лй < х < 2л -агссоьа+ 2Ю; с о» х < а с» ыссоь и + 2Ш < х < 2л — агссоьа + 2ей . япх>а с» яеь!па+ 2лй <х<л-агсяпи+ 2л/с: яп т>а е» ашз!па+ 2лй <х <л — мсяпа+2»И, яп х < а о» вЂ” »г — аг яп а х 2лй < х < агсз!п а + 2»И: яп х < а е» -л -вам|па.» 2лй < х < агсяпа+ 2лй .
648-650. Указание: воспев»»уй»ее» осиовнымн формулами. См. задачу 652. 651. 1) яп х > -т(2, Ровен не т к. Ип г > - ! >»(2, то неравенство спрашдливо прн всех х. Отвегг хи К . 2) Указания зшх5( при вссхх. 3) Указания т к. ь! п х < -! при всех х, то ьш х = -1. 4) Указание:тк. явхй! приве<ха,то япт=1. «37. Решение три го иомстрич сових нсравс иста !)Загул 652-654] !63 1 вину соз2х<-ю.Тоглапофориулс: 42 л 7л — +2л«52х< — +Зги 4 4 агссоз — +2л«ЛХт02л-агссоя — ь2гЛг, «и Х. Ог кт: л~ + л«< х < Зл~+ л«, «о Х . 2) Аналогично 1). л) )2 3) я ха — < †. Рснгсннс: по формуас: 4! 2 .
з)2 л 02 -л-агсяп — +2л«<х+ — <агсяп — 42гг«, 2 4 2 5л л л Зл — — +2л«<хз — < — з-2л«,откуда — — +2л«<к<2л«, «н Х. 4 4 4 !)Твсг: — +зл«<х< 2л«, )ге Х. Зл 2 4) Аналогично 3). /х ! 1 л х. л 653. 1) со — +2 > —. Рсшснис: гю формулс — — +2л«<-'+2< — +2л« .
(3 ~ 2 3 3 3 Ломножим зто нсравс гни во на 3, получим — л + бл«< х + 6 < л + бч«, огаула -л-б+бгя <к<и — 6+бгуг. Огвст: -л-б+бл«як<и-6+бл«, «о у.. .2) Аналогично 1). 654. 1) яп'х+2з|пх>0. Рсшснисг разлажны лсвую часта на множитсли; з!пк(япх«2)>0, но япх>-1, тс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
