atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 33
Текст из файла (страница 33)
273) и на ее дуге ВС вЂ” — 60' возьмем произвольную точку Лг. Угол ВйгС опирается на дугу ВС, равную 360' — 60' = 300', поэтому он равен 150'. Тем самым в четырехугольнике ВйгСЛХ сумма про- тивоположных углов ЛХ и )ч' равна !80'. Следо- вательно, около этого четырехугольника можно описать окружность (см.
задачу ?29). Но через точки В, Хч' и С проходит только одна окруж- ность — окружность с центром А радиуса АВ. М Значит, точка ЛХ лежит на этой окружности. Треугольник АВЛХ вЂ” равнобедренный, по- Рис 273 этому аАВЛ1 = аАЛХВ = !7', а значит, аВАЛХ = 180' — 17' — !7' = 146'.
Сумма углов четырехугольника АВСЛХ равна 360'. Следовательно, кВСЛХ = 360' — 60' — !46' — !7' — 30' = 107'. Ответ. 146' и 107'. 886. Через каждую вершину треугольника ЛВС проведена прямая, пер- пендикулярная к биссектрисе угла треугольника прн этой вершине. Прове- денные прямые, пересекаясь, образуют новый треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника лежат на прямых, содержащих биссектрисы тре- угольника ЛВС.
Решение. Пусть Аи В1 и С1 — вершины нового треугольника (рис. 274). Докажем, например, что точка А1 лежит на прямой, содержащей биссектрису треугольника АВС, ш А, ! 2 проведенную из вершины А (для точек В| и С~ доказательство аналогичное). Заметим о - А ' С прежде.
всего, что прямые А~Вы В~С| и С~А| содержат биссектрисы внешних углов треугольника АВС (например, на рисунке а! = = а2 = 90' — о). Поскольку точка А! лежит на биссектрисе внешнего угла В треугольни- В ! ка АВС, то она равноудалена от прямых АВ и ВС. По аналогичной причине она равно- удалена от прямых АС и ВС.
Следовательно, Рис. 274 причем каждая точка этого множества лежит на одной из указанных окружностей. Таким образом, искомое множество состоит из двух окружностей с диаметрами ОС и ОО. 196 7т 4 Окружность она равноудалена от прямых АВ и АС, а значит, лежит на биссектрисе угла ВАС.
Иными словами, она лежит на прямой, содержащей биссектрису треугольника АВС, проведенную из вершины А. 886. Пусть Н вЂ” точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника АВС, А', В', С' — точки, симметричные точке Н относительно прямых ВС, СА, АВ Докажите, что точки А', В', С' лежат на окружности, описанной около треугольника АВС. Решен не. Докажем, например, что точка А' лежит на окружности, описанной около треугольника АВС (для точек В' и С' доказательство аналогичное).
Возможны три случая: 1" угол В острый (рис.275, а); 2о — угол В прямой (рис.275, б); Зо — угол В тупой (рис.275, в). Рассмотрим эти случаи отдельно. !о. Поскольку точки Н и А' симметричны относительно прямой ВС, то РСВА' = аСВН = 90' — АС. Следовательно, кАВА' = 90'— — с'С+ с'В. Аналогично, КАСА' = 90' — кВ+ с'С.
Таким образом, сумма противоположных углов В и С четырехугольника АВА'С равна 180'. Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность (см. задачу 729). Но через точки А, В и С проходит только одна окружность окружность, описанная около треугольника АВС. Значит, точка А' лежит на этой окружности. 2". Утверждение очевидно, поскольку точки В, Н и А' совпадают. Зо. Поскольку точки Н и А' симметричны относительно прямой ВС, то кАА'В = 180" — с'НА'В = 180' — ГОВНА'. Ио кВНА' = с'ВНА = 90' — КСАН = кС.
Таким образом, сумма противоположных углов А' и С четырехугольника АА'ВС равна 180'. Следовательно, около этого четырехугольника можно описать окружность (см. задачу 729). Но через точки А, В и С проходит только одна окружность — окружность, описанная около треугольника АВС. Значит, точка А' лежит на этой окружности. , А') Рис. 275 Задачи ноеытенной трудности 197 887. Отрезок ВР— биссектриса треугольника АВС' Докажите, что ВР~ .= АВ ВС вЂ” АР РС Ре шеи не. Пусть Е точка пересечения луча ВР с окружностью, описанной около треугольника АВС (рис.
276). Треугольники АВЕ и ВСР подобны, так как аАВЕ = аВРС по условию, а вписанные углы ВЕА и ВСА опираются на одну и ту же дугу .4В. Следовательно, АВ: ВР = (ВР+ РЕ); ВС, ВРз + ВР РЕ = АВ ВС. откуда По по теореме о пересекающихся хордах ВР РЕ= АР РС. Следовательно, ВР =- АВ ВС вЂ” АР РС. 888. В треугольнике АВС из вершины В проведены высота ВН и биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную около треугольника окружность с центром О Докажите, что луч ВЕ является биссектрисой угла О ВН. Решение. Поскольку луч ВŠ— биссектриса угла В, то дуги АЕ и ЕС, а значит, и хорды АЕ и ЕС, равны (рис.277). Поэтому прямая ОŠ— серединный перпендикуляр к отрезку АС. Углы НВЕ и ВЕС равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ВН и ОЕ секущей ВЕ.
Углы ВЕО и ОВЕ равны, так как они являются углами при основании равнобедренного треугольника ОВЕ. Следова~ел~но, 'НВЕ =- аОВЕ, а значит, луч ВŠ— биссектриса угла ОВН, 889. Произвольная точка Х окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС, соединена отрезками с его вершинами Докажите, что один нз отрезков АХ, ВХ и СХ равен сумме двух других Решен не. Пусть, например, ХС ) ХА и ХС ) ХВ (рис. 278). Отложим на отрезке ХС отрезок ХР, равный ХА. В равнобедренном Е Рис 276 Рис.
277 Рис 278 198 Хл. 4 Окружность треугольнике АХР угол АХР равен вписанному углу АХС, опирающемуся на дугу АС, равную 120'. Следовательно, этот угол, а значит, и угол АРХ, равен 60'. Рассмотрим теперь треугольники АВХ и АСР. В этих треуголь- 360' — 120' никах кХ = = 120' = кР, кВ = кС, поскольку эти углы 2 опираются на одну и ту же дугу ХА. Следовательно, и кВАХ = = с'.САР. Кроме того, АВ = АС по условию. Следовательно, эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников, а значит, СР = ХВ. Тем самым ХС = ХР + СР = ХА ь ХВ.
3 а м е ч а н и е. Эту задачу можно решить значительно быстрее, если воспользоваться теоремой Птолемея (см. задачу 893). В самом деле, пусть а — сторона треугольника АВС, Поскольку четырехугольник АХВС вписанный, то по теореме Птолемея а ХС = а. ХА+а ХВ, откуда ХС = ХА+ ХВ.
890. Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности Р е ш е н и е. Пусть АВСР— данный четырехугольник. Проведем диаметр ВВ~ описанной окружности (рис. 279). Имеем: АВ~ = 2хАВВ~ = 2(90' — кАВ~ В) = = 2 (90' — — ) =- 2(90' — кАСВ) = 2кСВР =- СР. 2 Х Поэтому АВ~ = СР. Следовательно, АВа + СРа = АВа + АВ~~ = ВВ~. 891. В четырехугольнике ЛВСР, вписанном в окружность, биссектрисы углов Л и В пересекаются в точке, лежащей на стороне СР. Докажите, что СР = ВС+ Л О.
Ре ше н не. Проведем через точку ЛХ пересечения биссектрис углов А и В прямую, параллельную АВ, и обозначим буквами Е и Е точки пересечения этой прямой с прямыми АР и ВС (рис. 280), Рассмотрим треугольники РЕМ и СЕЛХ. Поскольку четырехугольник АВСР— вписанный, то кА+ с'.С = 180'. С другой стороны, поскольку ЕЕ ~~ АВ, то к'А+ с'Е = 180'.
Следовательно, хС = хЕ. Кроме того, углы при вершине ЛХ рассматриваемых треугольников равны как вертикальные углы. Поэтому эти треугольники подобны. Заметим теперь, что точка ЛХ, будучи точкой пересечения биссектрис Задами новыгиенной трудности 199 Рис. 279 Рис. 280 СР = РМ + ЛХС = Х ЛХ + ЕЛХ = ВЕ+ АЕ = ВС + АР, поскольку отрезки СГ и ЕР равны. 892.
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований. Решение. Радиус окружности, вписанной в прямоугольную тра- аЬ пецию с основаниями а и Ь, равен (см. задачу 725), а высота а ч- Ь трапеции равна диаметру этой окружности. Следовательно, площадь трапеции равна аЬ ажЬ а-1-Ь 2 893. Докажите, что в любом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея). Р е ш е н и е. Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСР (рис.281) н на его диагонали АС возьмем такую точку К, что ГЛАВК = = л'.СВР.
Треугольники АВК и РВС подобны, поскольку углы АВК и СВР равны по построению, а углы ВАС и ВРС равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС. Следовательно, В Рис. 281 АВ: ВР = АК: СР, углов А н В, равноудалена от прямых АВ и АР, а также от прямых АВ и ВС, а значит, она равноудалена н от прямых АР и ВС. Иными словами, высоты рассматриваемых треугольников, проведенные из вершины ЛХ, равны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
