atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 28
Текст из файла (страница 28)
223 этой прямой с данной окружностью. Через точки А и В проведем прямые р и д, перпендикулярные к прямой АВ. Прямые р и д— искомые касательные. Таким образом, задача имеет два решения. б) Проведем через точку О прямую, параллельную данной прямой (рис. 223, б), и обозначим буквами А и В точки пересечения этой прямой с данной окружностью. Через точки А и В проведем прямые р и д, перпендикулярные к прямой АВ. Прямые р и у — искомые касательные.
Таким образом, задача имеет два решения. ф 2. Центральные и вписанные углы 649. Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ так, чтобы. а) кАОВ = 60'1 б) с'.АОВ = 90', в) ЛАОВ = = 120'1 г) сАОВ = 160'. Решение. а) Проведем окружность с центром А радиуса ОА и обозначим буквой В одну из точек пересечения этой окружности с исходной окружностью. Хорда А — искомая. Э 2.
Центральньье и вписанные угльь 167 б) Проведем через точку О прямую, перпендикулярную к прямой АО, и обозначим буквой В одну из точек пересечения этой прямой с окружностью. Хорда АВ искомая. в) Продолжим отрезок АО за точку О до пересечения с окружностью в точке С. Затем построим хорду СВ так, чтобы угол СОВ был равен 60' (задача 649, а). Хорда А — искомая.
г) Продолжим отрезок АО за точку О до пересечения с окружностью в точке В. Хорда АВ искомая. 650. Радиус окружности с центром О равен 16 Найдите хорду ЛВ, если: а) ~ЛОВ = 60', б) ЕАОВ = 90', в) аЛО — — 180'. Решение. Обозначим угол АОВ буквой гь. Если о ф 180', то треугольник АО — равнобедренный, а значит, АВ =- 2ОАзш ьх 2 =- 32з!и —. Имеем; 2' а) АВ = 32гйп30'.=!6; б) АВ = 32 зш 45' =- 16ч'2; в) отрезок А — диаметр окружности, поэтому ЛВ =- 2ОА = 32. Ответ. а) 16; б) 16ч 2; в) 32. 651. Хорды ЛВ и СР окружности с центром О равны, а) Докажите, что две дуги с концами Л и В соответственно равны двум дугам с концами С и Р.
б) Найдите дуги с концами С и Р, если лЛОВ = 112'. Решение. а) Если хорды АВ и СР диаметры, то каждая из стягиваемых ими дуг — полуокружность, а значит, эти дуги равны. Если же данные хорды диаметрами не являются, то треугольники ЛВО и СРО равны по трем сторонам, поэтому эти треугольники можно совместить наложением так.
что точки А, В и О совместятся с точками С, Р и О. При этом наложении дуга АВ, меньшая полуокружности, совместится с дугой СР, меньшей полуокружности, а дуга АВ, большая полуокружности, с дугой СР, большей полуокружности. Следовательно, две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и Р. б) Дуги с концами А и В равны 112' и 360' — !12' = 248'. Следовательно (см. задачу 651, а), дуги с концами С и Р также равны !12' и 248'. О т в е т.
б) 112' и 248'. 652. На полуокружности АВ взяты точки С и Р так, что - ЛС = 37', - ВР = 23'. Найдите хорду СР, если радиус окружности равен !5 см. Решение. Имеем: СР = 180'- АС- ВР = 180' — 37' — 23' = 120', 168 Гл. 4. Окружносгль а значит, СО.О = 120' (О центр окружности). Из равнобедренного треугольника СОР находим: С7) =- 2СОз)п =- 15'и'3 см. 120' 2 О т в е т. 15~ 3 см. 653. Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48', б) 57', в) 90', г) 124', д) 180'. Р вше н не. Вписанный угол АВС равен половине дуги АС, на которую он опирается. Поэтому; а) хАВС =. =- 24'1 48' 2 57' б) ~АВС = = 28'30', 2 в) х'.АВС = — = 45'! 90' 2 г) хАВС = — — = 62'! 124' д) ~АВС = =. 90'. !80' 2 Ответ. а) 24', б) 28'30', в) 45'! г) 62'! д) 90'. 654. По данным рисунка 224 (рис. 222 учебника) найдите х.
360' — 80' — 152' Решение. а) х = = 64'1 2 б) х = 360' — 125' — 2 30' = 175', 360' — !80' — 112' в) х= 2 г) х = 360' — 215' — 2 20' = 105'. Ответ. а) 64', б) 175', в) 34'! г) 105'. 152' х 80' 112 180' 215" Рис. 224 Э 2. Ценщрильньье и вписанные угльь 169 656. Хорда АВ стягивает дугу, равную 1!5', а хорда АС вЂ” дугу в 43'. Найдите угол ВАС. Решен не. Если точка С лежит на дуге АВ, большей полуокружности (рис. 225, а), то угол ВАС опирается на дугу, равную 360"— Рнс 225 — 115' — 43' = 202', а значит, угол ВАС равен !01'. Если же точка С лежит на дуге АВ, меньшей полуокружности (рис.
225, б), то угол ВАС опирается на дугу, равную 115' — 43' = = 72', а значит, угол ВАС равен 36'. О т в е т. 10! ' или 36". 657. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140', а бблыпая точкой ЛХ делится в отношении 6: 5, считая от точки А. Найдите угол ВАЛХ. Р е ш е н и е. Дуга АВ, ббльшая полуокружности, равна 360' — ! 40' = 220'. Пусть АЛХ =- бх, ВЛХ =- 5х (рис.226). Тогда 5х бх ч- 5х =- 220', Рис 226 откуда х = 20", а значит, ВЛ1 = !00'.
Следовательно, .~ВАЛХ =- 50'. Ответ. 50'. 658. Через точку А к данной окружности проведены касательная АВ (В— точка касания) н секущая,4Р, проходящая через центр О ( — точка 655. Центральный угол АОВ на 30' больше вписанного угла, опирающегося на дугу,4В. Найдите каждый из этих углов Решение. Пусть х -- градусная мера вписанного угла.
Если этот угол опирается на дугу, меньшую или равную полуокружности, то градусная мера центрального угла равна 2х. Если же он опирается на дугу, ббльшую полуокружности, то градусная мера центрального угла равна 360' — 2х. В первом случае получаем: 2х — х =. 30', откуда х = 30', а значит, вписанный угол равен 30', а центральный 60'. Во втором случае 360' — 2х — х = 30', откуда х = !10'. Таким образом, в этом случае вписанный угол равен 110', а центральный 140'. От в е т. 60' и 30' или 140' и 110'.
170 Ел. и' Окружность на окружности, О лежит между А и Р) Найдите кВАВ и ~АОВ, если — ВО = 1!О'20'. Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что центральный угол ВОР равен 110'20'. Поскольку этот угол является внешним углом прямоугольного треугольника ОАВ (рис.227), то кВАВ = ЛВО1? — 90' = 20'20'. С другой стороны, угол ВОГ) является углом при вершине равнобедренного треугольника ВОВ, поэтому (ВВ !8) — ~ВО) 34 50 2 Ответ.
20'20' и 34'50'. 659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами, равны Р еще н и е. Пусть АВ и СР две параллельные хорды (рис. 228). Вписанные углы АВС и ВАВ равны как накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых АВ и СР секущей А)).
Следовательно, градусные меры дуг АС и ВР, на которые опираются эти углы, также равны. 660. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие, образующие угол в 32'. Большая дуга окружности, заключенная между сторонами этого угла, равна 100'. Найдите меньшую дугу Р е ш е н и е. Обратимся к рисунку 229. Вписанный угол СВЕ, 100' равный =- 50', является внешним углом треугольника АВЕ. Сле- 2 довательно, угол ВЕА равен 50' — к'.А = 50' — 32' = 18', а значит, дуга ВВ, на которую он опирается, равна 36'. Ответ. 36'. 661.
Найдите острый угол, ооразованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими, равны !40' и 52' Р еще н и е. Обратимся к рисунку 229. Вписанный угол СВЕ равен к 52' — — = 70', а вписанный угол ВЕВ равен — = 26'. При этом угол 2 2 Е Рис. 229 Рис. 228 Рис. 227 Э 2. Ценпьральньье и вписанные угльь 171 СВЕ является внешним углом треугольника АВЕ. Следовательно, угол ВАЕ =- 70' — л'.ВЕР =- 70' — 26' = — 44'. О т в е т. 44'. 662. Хорды АВ и СХ1 окружности пересекаются в точке Е.
Найдите угол ВЕС, если — АР = 54', — ВС вЂ”.— 70'. Решение. Угол ВЕС является внешним углом треугольника АЕС (рис. 230), поэтому он равен сумме углов А и С этого треуголь- ВС, АВ ника. Но л'А = †'' = 35',с'С = — = 27'. Следовательно, 2 ' 2 л'ВЕС = 35' + 27' = 62'. Ответ.
62'. 663. Отрезок АС вЂ” диаметр окружности, А — хорда, ЛГ,4 — касательная, угол МАВ острый. Докажите, что ~ЛХАВ = ~АСВ. Ре ш е н не. Вписанный угол АВС опирается на полуокружность (рис.231), поэтому этот угол прямой. Угол ЛХАС также прямой. Тем самым углы АСВ и ВАС, равно как и углы ЛХАВ и ВАС, составляют в сумме 90'. Следовательно, л'ЛГАВ = л'АСВ.
664. Прямая АЛХ вЂ” касательная к окружности, А — хорда этой окружности Докажите, что угол ЛГАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла ЛХАВ. Решение. Если хорда А — диаметр окружности, то дуга, расположенная внутри угла ЛХАВ, равна 180', а угол ЛХАВ =- 90' =- 180' . Допустим, что хорда АВ не является диаметром.
Проведем 2 диаметр АС. Если угол ЛГАВ острый (см. рис. 231), то, согласно утверждению, сформулированному в задаче 663, е'ЛХАВ = /АСВ, а значит, угол ЛХАВ, как и вписанный угол АСВ, измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла ЛГАВ. Если же угол ЛХАВ тупой (рис.232), то л'ЛХАВ = 180' — л'АСВ = 360' — 2йАСВ АСВ 2 ЛГ Рнс. 232 Рис. 231 Рис. 230 172 Рл. 4 Окружиосгль 665. Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажите, что если А — диаметр окружности, то ~.'С ) ~А и к'С ) АВ.
Решение. Угол С опирается на полуокружность, поэтому этот угол прямой. Следовательно, углы А и В острые, а значит, каждый из них меньше угла С. 666. Хорды ЛВ и СР пересекаются в точке Е. Найдите ЕР, если: а) АЕ=5, БЕ=2,СЕ=25;б) ЛЕ=16, БЕ=9,СЕ=ЕР;в) ЛЕ=02, ВЕ = 0,5, СЕ =- 0,4. Р е ш е н и е. По теореме о пересекающихся хордах АЕ ВЕ = СЕ ЕР, откуда ЕР = АЕ ВЕ Имеем; а) ЕР= — =4; 2 5 2,5 б) ЕР =,, откуда ЕР = 12; 16 9 ЕР ' в) ЕР= ' ' =0,25. 0,4 Ответ.
а) 4; б) 12; в) 025, 667. Диаметр АА~ окружности перпендикулярен к хорде ВВ~ и пересекает ее в точке С. Найдите ВВо если АС = 4 см, СА~ = 8 см. Р е ш е н и е. Пусть Π— центр окружно- А, сти (рис. 233). Отрезок ОС является высотой равнобедренного треугольника ОВВы а значит, и его медианой. Поэтому ВС = СВ~ = ' . По теореме ВВ~ 2 о пересекаюц1ихся хордах АС СА~ = ВС СВ~ =- 4 откуда Рис. 233 ВВ~ = 2эЯС СА~ = 8н 2 см. Ответ. 8эГ2 см.
668. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр. Решение. Пусть ВС вЂ” перпендикуляр, проведенный из точки В к диаметру АА~ (см, рис.233), ВВ~ — хорда, содержащая этот перпендикуляр. В ходе решения задачи 667 мы установили, что ВС = — ' = этАС СА~ 2 э 2. Ценглрильные и вписанные углы 173 669.
Пользуясь предыдущей задачей, постройте отрезок, средний пропорциональный между данными отрезками Ре ш е н не. На произвольной прямой отложим последовательно отрезки АВ и ВС, равные данным отрезкам (рис. 234). Затем, найдя середину отрезка АС, построим окружность с диаметром АС и проведем через точку В прямую, перпендикулярную к АС.
Пусть Р— одна из точек пересечения этой прямой с окружностью. Тогда согласно утверждению, сформулированному в задаче 668, отрезок ВР— искомый. 670. Через точку Л проведены касательная ЛВ ( — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках Р и С). Докажите, что АВа = ЛР,4С2. Р е ш е н и е. Треугольники АВР и АВЯ (рис. 235) подобны, поскольку угол А у них общий, а каждый из углов АВР и Аь',)В измеряется половиной дуги ВР (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
