atnasyan-gdz-8-2005 (546187)
Текст из файла
УДК 373.167.1:514 ББК 22.15!я.721 Г36 Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Юдина И. И. Геометрия. 8 иласс. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 240 с. 18В1х1 5-9221-0573-6. Настоящее издание является второй частью учебно-методического пособия, содержащего решения задач из учебника <Геометрия 7-9» Л.С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова, С. Б. Кадомцева, Э. Г. Позняка, И. И. Юдиной 1Мл Просвещение, !990 и последующие издания). Данный выпуск содержит решения задач, относящихся к 8 классу. © ФИЗМАТЛИТ, 2005 Ос Л. С Атанасян, В Ф Бутузов, С.В Кадомцев, И И Юдина, 2005 1ЯВ1т1 5-9221-0573-6 ОГЛАВЛЕНИЕ 119 124 138 угольника . Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности .
Г л а в а 1. Четырехугольники. в 1. Многоугольники. 9 2. Параллелограмм и трапеция . я 3. Прямоугольник, ромб, квадрат Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности Г л а в а '2. Площадь в 1. Площадь многоугольника. 92. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции. 93. Теорема Пифагора Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности . Г л а в а 3. Подобные треугольники, 91. Определение подобных треугольников................. 9 2. Признаки подобия треугольников . 9 3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач Задачи на построение .
9 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного тре- Г л а в а 4. Окружность. В 1. Касательная к окружности. 92. Центральные и вписанные углы 93. Четыре замечательные точки треугольника. 94. Вписанная и описанная окружности Дополнительные задачи Задачи повьппениой трудности . 5 5 7 19 28 36 49 49 53 61 68 85 97 97 102 109 116 161 161 166 174 177 184 191 Оглавление Глава 5. Векторы............... 3 1. Понятие вектора.
3 2. Сложение и вычитание векторов 3 3. Умножение вектора на число Применение векторов к решению задач Средняя линия трапеции Дополнительные задачи Задачи повышенной трудности 209 209 213 221 225 227 229 234 Глава 1 ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ ф 1. Многоугольники 364. Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника. Решение. а) 5ь = 180' (5 — 2) = 180' 3 = 540'1 б) Яа = 180' . (6 — 2) — 180' 4 =- 720'1 в) 5|о =- 180' (10 — 2) = 180' 8 =- 1440'. Ответ.
а) 540'1 б) 720'1 в) 1440'. 365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен а) 90'1 б) 60', в) 120', г) 108'1 Решение. Пусть выпуклый многоугольник имеет и сторон и: а) каждый угол его равен 90', тогда 180' (и, — 2) = 90' и, 180' . и — 360' = 90' и, 90' . и = 360', и =- 4; б) каждый угол его равен 60', тогда 180' (тг — 2) = 60' и, !80'.и — 60' и =-360', 120' и = 360', и = 3; в) каждый угол его равен 120', тогда 180' (и — 2) =- 120' и„ 180' и — 360' =- 120' ин 60' и =- 360', и, =- 6; г) каждый угол его равен 108', тогда 180' (и — 2) =- 108' и, 72' и =- 360', и, = 5. Ответ.
а) 4; б) 3; в) 6; г) 5. 366. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм. Решение. Пусть ббльшая сторона, например, АВ четырехугольника АВСР, равна и мм, тогда ВС = (х — 3) мм, СР = (х — 4) мм, РА = (х — 5) мм. Гл. й Чпшьгрехугольники По условию периметр его равен 8 см = 80 мм, следовательно, АВ + ВС + СР + РА .= ш + (ш — 3) + (т — 4) + (т — 5) = 80, 4ш — 12=.80, 4т= — 92, к=23, т. е.
АВ=23 мм, ВС=20 мм, СР=19мм, РА=18мм, Ответ. 23 мм, 20 мм, 19 мм, !8 мм. 367. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвертая — в три раза больше второй. Решение. Пусть первая сторона четырехугольника равна ш см, тогда его вторая сторона (х — 8) см, третья сторона (ш + 8) см, а четвертая сторона равна 3 (ш — 8) см. По условию периметр этого четырехугольника равен 66 см, следовательно, ш + (ш — 8) + (х + 8) + 3(ш — 8) = 66, х+ х — 8+ ш+ 8+ Зх — 24 =- 66, бш = 90, т, = !5.
Ответ. 15 см, 7 см, 23 см, 2! см. 368. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они равны друг другу Ре ш е н не. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360', и так как все они равны друг другу, то каждый из них равен 360'; 4 = 90'. Ответ. 90'. 369. Найдите углы л!, В и С выпуклого четырехугольника АВСР, если кА = л В = лС, а ЛЭ = ! 35'. Ре ш е н не.
Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360' и по условию дР = 135', то АА + дВ + х'.С = 360' — 135' = = 225'. х'.А = ЛВ = дС по условию, а их сумма равна 225', следовательно, х'.А = кВ = х'.С = 225": 3 = 75'. Ответ. 75'. 370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, б. Ре ше н и е. Так как сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360' и по условию они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5, то л'.! = =- 360': (1 + 2+ 4+ 5) . 1 = ЗО', д2 = 360": 12 2 = 60', ~3 = 360': 12 .
4 = 120', х'.4 = 360': 12 5 = 150'. Ответ. 30' 60' 120', 150' я" 2. Параллелограмм и трааео,ия ф 2. Параллелограмм и трапеция 371. Докажите, что выпуклый четырехугольник АВСР является параллелограммом, если: а) лВАС =- лАСР и лВСА = лРАС; б) АВ З СР, лА =- лС Решение. а) Пусть в выпуклом четырехугольнике АВСР проведена диагональ АС. Равные углы ВАС и АСР являются накрест лежащими при пересечении прямых АВ и СР секущей АС, поэтому АВ ~~ СР, а равные углы ВСА и РАС являются накрест лежащими при пересечении прямых ВС и АР секущей АС, поэтому ВС ~ АР.
Итак, противоположные стороны выпуклого четырехугольника АВСР попарно параллельны, следовательно, по определению этот четырехугольник — параллелограмм. б) В выпуклом четырехугольнике АВСР углы А и Р— односторонние при пересечении параллельных прямых АВ и СР секущей АР, поэтому аА+ лР = 180', а так как по условию лА = — лС, то аС+ + л'.Р =- 180'. Углы С и Р являются односторонними углами при пересечении прямых ВС и АР секущей СР. и их сумма равна 180', поэтому ВС ,'~ АР.
Итак, в выпуклом четырехугольнике АВСР имеем АВ ~ РС и ВС ~~ АР, следовательно, четырехугольник АВСР—. параллелограмм. 372. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если; а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна нз сторон в два раза больше другой.
Р е ш е н и е. а) Пусть сторона АР параллелограмма АВСР на 3 см больше стороны АВ, тогда по условию 2(АВ + АР) = — 48 см и АР =- АВ+ 3 см. Имеем: АВ + АР =- 24 см, АВ + АВ + 3 см = 24 см, 2АВ = 21 см, АВ = 10,5 см, АР = 13,5 см. б) Пусть разность сторон АР и АВ параллелограмма АВСР равна 7 см, тогда по условию имеем 2(АВ + АР) — — 48 см и АР— АВ =- 7 см. Получаем: АВ+ АР = 24 см, АР = АВ+ 7 см, откуда 2АВ + 7 см =- 24 см, 2АВ = 17 см, АВ = — 8,5 см, АР =- 8,5 ем+ + 7 см =. 15,5 см. в) Пусть сторона АР параллелограмма ЛВСР в два раза больше стороны АВ, тогда по условию имеем 2(АВ+ АР) = 48 см и АР = 2АВ.
Гл. й Чеглырехугольники Получаем: АВ+ АВ = 24 см, АВ+ 2АВ = — 24 см, 3АВ = 24 см, АВ = 8 см, АВ =- 16 см. Ответ. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см, 15,5 см; в) 8 см, 16 см. 373. Периметр параллелограмма АВСР равен 50 см, кС = 30', а перпендикуляр ВН к прямой СВ равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма Р еще н ив, Пусть ВН вЂ” высота параллелограмма АВСР )рис. 1).
В прямоугольном треугольнике СВН г'С = 30', поэтому катет ВН, лежащий против угла в 30', равен половине гипотенузы и СВ = — !3 см. Так как периметр параллелограмма равен 50 см, то СВ -~ СН = 25 см и СВ = 25 см — 13 см = 12 см. Ответ. АВ = СВ = 12 см, АВ =- ВС = 13 см. 374. Биссектриса угла,4 параллелограмма АВСГЭ пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма, если ВК = 15 см, КС = =- 9 см.
Р еще н не. Обозначим углы ВАК, КАП и ВКА цифрами 1, 2, 3, как показано на рисунке 2. г'! = г'2, так как луч АК вЂ” биссектриса угла А, л'2 = г'3, так как эти углы накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АВ секущей АК, следовательно, А! =- л'.3.
Треугольник АВК равнобедренный, так как два его угла ! и 3 равны, поэтому АВ = ВК =- 15 см. Так как точка К лежит на стороне ВС, то ВС = ВК+ КС = = 15 см -> 9 см = 24 см. Итак, Рлнстэ = 2~АВ + ВС) = 2(15+ 24) см = 78 см. О т в е т. 78 см. 375. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и !4 см. Решение. Возможны два случая, а) Рассмотрим параллелограмм АВСР, в котором биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК = 7 см, КС = 14 см, и обозначим углы ВАК, КАВ и АКВ цифрами 1, 2, 3, как показано на рисунке 2.
К С С Н Л Рис 2 Рис 1 42. Параллелограмм и трааео,ия л! =- Л2, так как луч АК биссектриса угла А; л2 = ''3, так как эти углы накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АР секущей АК. Следовательно, 21 =- АЗ и треугольник АВК вЂ” равнобедренный. поэтому АВ = ВК = 7 см. Так как точка К лежит на стороне ВС и ВК = 7 см, КС = =!4 см, то ВС .=- ВК+ КС = 7 см + 14 см = 21 см.
Итак, Рлвсп = 2(7+ 21) см = 56 см. б) Пусть в параллелограмме АВСР биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К так, что ВК = 14 см, КС = 7 см. Треугольник АВК вЂ” равнобедренный (см. п. а), поэтому АВ=ВК=-14см, ВС=2! см. Итак, Рлввв = 2(14+ 2!) см = 70 см. Ответ. 56 см или 70 см. 376. Найдите углы параллелограмма АВСР, если: а) лА = 84', б) аА — лВ = 55', в) лА Ч- лС =- 142', г) лА = 2ЛВ; д) лСАР =. 16', лАСР = 37'. Р е ш е н и е.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
