atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 4
Текст из файла (страница 4)
402. Диагонали прямоугольника АВСР пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники АОР и АОВ равнобедренные Р е ш е н и е. Так как АВСР прямоугольник, то его диагонали равны, а так как прямоугольник является параллелограммом, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому АО =- ОР и АО = ОВ, т. е. треугольники АОР и АО — равнобедренные. 21 э" д.
Прямоугольник, ромб, квадрат Так как в параллелограмме АВСР угол В прямой по условию, то параллелограмм АВСР— прямоугольник (задача 399), а в прямоугольнике диагонали равны. 1 1 Итак, ВЛХ = — ВР = — АС, что и требовалось доказать. 2 2 405. В ромбе одна из диагоналей равна стороне Найдите. а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами. Решен не. Пусть в ромбе АВСР диагональ ВР равна его стороне (рис, 19). а) Треугольник АВР— равносторонний, поэтому все его углы равны между собой и каждый равен 60', в частности, аА = 60'.
аС = аА = 60', аВ = аР = 180' — 60' = 120'. б) г'.! =- 60' (см. п. а), г'.2 = Л! .=. 60'! так как диагонали ромба делят его углы пополам, то г'.3 =- к4 =- — г'.А = — 60' =- 30'. 1 ! 2 2 Итак, диагонали ромба составляют с его сторонами углы, равные 60' и 30'. Ответ. а) 60' и 120'! б) 60" и 30'. 406. Найдите периметр ромба ЛВСР, если кВ = 60', ЛС = 10,5 см. Р е ш е н не. В треугольнике АВС АВ =- ВС (так как стороны ромба равны) и угол В равен 60'. Следовательно, этот треугольник равносторонний, а так как АС =- 10,5 см по условию, то и АВ .= 10,5 см. Рлпсо = 4 10,5 см = 42 см.
О т в е т. 42 ем. 407. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45'. Решен не. Пусть угол А ромба АВСР равен 45' (см. рис. 19). Тогда г'Р = 180' — 45' = 135'. а1 = '2 и г'.3 = г'.4, так как диагонали ромба делят его углы пополам. Поэтому а1 = а2 = 67'30', аЗ = а4 = 22'30'. Ответ. 22'30' и 67'30'. Рис. 19 Рис. 18 22 Гл 1 Чггиырехугольники 408.
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла. Р е ш е н и е. а) Пусть диагонали АС и ВР параллелограмма АВСР взаимно перпендикулярны, Π— точка их пересечения (см. рисА9). Так как АО = ОС и ВО = ОР, то прямоугольные треугольники АОВ и ВОС, СОР и РОА равны друг другу по двум катетам. Отсюда следует, что равны их гипотенузы: АВ = ВС = СР = РА, т.
е, параллелограмм АВСР является ромбом, б) Пусть диагональ АС параллелограмма АВСР является биссектрисой его угла А (см. рис.)9). Тогда в треугольнике АВР медиана АО является биссектрисой и поэтому (зАВР— равнобедренный (задача 342), т. е. АВ = АР. Но АВ = СР, АР = ВС и, следовательно, в параллелограмме АВСР все стороны равны, т. е. параллелограмм АВСР ромб.
409. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. Решение. Согласно задаче 399 ромб, у которого один угол прямой, является прямоугольником, а так как у этого прямоугольника все стороны равны, то это квадрат. 410. Является ли четырехугольник квадратом, если его диагонали.
а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину? Р е ш е н и е. а) Нет. Например, в четырехугольнике АВСР на рисунке 20 диагонали АС и ВР равны и взаимно перпендикулярны, но точка их пересечения не является серединой отрезка АС, и поэтому АВ ф ВС. Значит, четырехугольник АВСР не является квадратом. б) Нет. Например, диагонали ромба взаим- О но перпендикулярны и имеют общую середину, но ромб может не быть квадратом. в) Докажем, что в этом случае четырехугольтэ ник является квадратом. Так как диагонали четырехугольника имеют общую середину, т. е.
пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм, а параллелограмм, в котором диагонали равны, — прямоугольник. С другой стороны, параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, ромб (задача 408, а), т. е. все его стороны равны. Итак, в данном случае четырехугольник является прямоугольником, у которого все стороны равны, т. е. это квадрат.
Ответ: а) Нет; б) нет; в) да. 23 4 д. Прямоугольник, ромб, квадрат 411. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотеиузой проведены прямые, параллельные катетам Докажите, что полученный четырехугольник— квадрат. Решение. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведены биссектриса СП и прямые ПЕ и ПГ, параллельные катетам ВС и АС соответственно (рис. 21).
Тогда четырехугольник СЕПà — параллелограмм (ПЕ ~ ГС и С.Е ~ ГП), а так как ЛС = 90', то параллелограмм СЕПГ прямоугольник (задача 399). По условию Л1 = к2, т. е. диагональ СП делит угол С пополам. Отсюда следует, что СЕПГ ромб (задача 408, б). Итак, четырехугольник СЕПГ является прямоугольником и ромбом, поэтому этот четырехугольник квадрат. 412. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, катетом АС = !2 см и квадрат СПЕР такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Š— на гипотенузе треугольника.
Найдите периметр квадрата. Решение. Так как треугольник АВС равнобедренный и прямоугольный (рис.22), то ЛА = аВ = — 90' = 45'. В прямоугольном 2 треугольнике АПЕ ЛА = 45' и, следовательно, АП = ПЕ. Но ПЕ = 1 = ПС (так как СПЕР— квадрат), поэтому АП = ПС = — АС = ! 2 — 12 см = 6 см; Рсгтии = 6 см . 4 = 24 см. 2 Ответ. 24 см. 413. Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.
Решение, а) Пусть даны отрезки РЯ! и РЯа (рис.23, а). Требуется построить прямоугольник АВСП так, чтобы АВ = Р!Я!, АП =- РЯз. С В Рис. 2! Рис. 22 Гл д Ченьььрекугольники Проведем прямую АЕ, а затем построим прямую АР, перпендикулярную к прямой ЛЕ (см. п.23 учебника). На луче ЛЕ отложим отрезок АВ, равный РЯп а на луче АР— отрезок АР, равный РяЯз (рис. 23, б). Через точку В проведем прямую, параллельную АР, а через точку Р— прямую, параллельную АВ (задача 222). Проведенные прямые пересекаются в некоторой точке С.
Четырехугольник АВСР— искомый прямоугольник. В самом деле, по построению четырехугольник АВСР параллелограмм (ВС ~ АР и РС ~~ АВ), а так как г'.А = 90', то АВСР— прямоугольник (задача 399), причем АВ = Р~ ф, АР = РЯз, т. е. построенный прямоугольник АВСР удовлетворяет всем условиям задачи. б) Пусть даны отрезки Р,б2~ и РЯз. Требуется построить прямоугольник ЛВСР так, чтобы АВ = Р~Ц~ и ВР =- РЯз.
Сначала построим прямоугольный треугольник АВР с прямым углом А, в котором АВ =- Р~ ф, ВР = РЯя (задача 314, в). Затем через вершины В и Р проведем прямые, параллельные прямым АР и АВ соответственно. Они пересекаются в некоторой точке С. Полученный четырехугольник АВСР является искомым прямоугольником.
В самом деле, по построению АВСР параллелограмм, у которого угол А — прямой. Следовательно, АВСР— прямоугольник, причем АВ = Р~б2п ВР = Рзбта, т. е, прямоугольник АВСР удовлетворяет всем условиям задачи. в) Задача решается так же, как задача 393, б, в случае, когда диагонали равны. 414. Постройте ромб а) по двум диагоналям; б) по стороне н углу Ре ше н не. а) Задача решается так же, как задача 393, б, в случае, когда угол между диагоналями прямой. б) Задача решается так же, как задача 393, а, в случае, когда смежные стороны равны. 415. Постройте квадрат: а) по стороне, б] по диагонали. Р е ш е н и е.
а) Задача решается так же, как задача 413, а, в случае, когда смежные стороны равны. б) Задача решается так же, как задача 414, а, в случае, когда диагонали равны. Рнс. 23 25 5 д. Прямоугольник, ромб, квадрат 416. Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М Постройте точку, симметричную точке ЛХ относительно той же прямой. Р е ш е н и е. Построим прямую а, проходящую через середину отрезка АВ и перпендикулярную к нему (см. п.23 учебника). Точки А и В симметричны относительно прямой а (рис.24, а). Если точка ЛХ лежит иа прямой а, то она симметрична самой себе относительно этой Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
