atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 9
Текст из файла (страница 9)
На рисунке 59 (рис 268 учебника) изображены три квадрата. Найдите сумму аВАЕ+ аСАЕ+ аРАЕ. Р е ш е н и е. Пусть Р1 точка, симметричная точке Р относительно точки Е. Тогда РР1 = 2 РЕ = ЕС и поэтому ХзАЕС = ХзСРР1 по двум катетам. Отсюда следует, что АС = СР~ и с'1 = с'2. Так как с'2 + с'3 = 90', то с'1 + с'3 = 90', следовательно,с'АСР~ = = 180' — (с'.1 + с'3) = 90' и, значит, ХзАСР1 равнобедренный прямоугольный треугольник с основанием АРы Поэтому с'.САР1 = 45'. Так как ХзРАЕ = ХзР1АЕ (по двум катетам), то с'.РАЕ = ЕР~АЕ. Итак, с'.ВАЕ+ сСАЕ+ с'.РАЕ = 45'+ сСАЕ+ сР|АЕ =- = 45' + ~САР~ = 45' + 45' = 90'. О т в е т.
90'. 825. Внутри квадрата АВСР взята точка М такая, что аЛХАВ = 60', ~Л1СР =!5'. Найдите ~МВС. Решение. На луче АЛХ (рис.60) отложим отрезок АК, равный АВ, и докажем, что точки К и М совпадают. Так как АК =- АВ и с'ВАК .= 60', то треугольник АВК вЂ” равносторонний, т. е. ВК = АВ = АК. .О, Рис. 58 Рис. 59 Гл 1. Чешыргхугольники 46 Так как АВ = ВС, то ВК = ВС, и, значит, треугольник ВКС равнобедрен- ный, а поскольку г'.КВС = 90' — 60' = = 30', то г'ВСК = — — — — = 75'.
Отсю- 180' — 30' 2 да следует, что х'.ВСК = 15'. Но по усло- вию г'.РСМ = !5', следовательно, г'.РгСМ = = кггСК. Это означает, что лучи СМ и СК совпадают, поэтому совпадают точки М и К. Итак, Рис. 60 г'.МВС = г'.КВС = 30'. Ответ. 30'. ЬВКР = г'хЛВС = г5С()Т. Треугольники ВКР и АВС равны по двум сторонам и углу между ними (ВК = АВ, КР— — ВЕ = ВС, г'.ВКР = =. кАВС, так как г'.ВКР =!80' — г'КВЕ и г'АВС = 180' — г'КВЕ, см.
рис. 61). Поэтому ВР = СА и ~КВР = ~ВАС. Треугольники АВС и Сь1Т также равны по двум сторонам и углу между ними (АС = СТ, ВС = СВ = ЯТ, г'АСВ = = г'.СТЩ так как г'.СТЯ = ! 80' — г'.ЮСТ и г'.АСВ = 180' — г'.РСТ, см. рис. 61). Поэтому АВ = СЯ, г'.ВАС = ЕТСЯ. Так как г'.АВР = 90' + г'.КВР = 90' + + ~ВАС, ~АСЯ = 90' + ~ТС(,) = 90' + + г'ВАС, то г'ЛВР = г'АСЯ. Отсюда и из равенств ВР = СЛ, АВ = СЯ слегхг„)СА (по двум сторонам и углу между них'.2 и АР =.
Аь„), т. е. ЬАРь1 равнобед- р Рис. 61 дует, что ЬАВР = ми), поэтому х'.! = ренный. Далее, поскольку г'.ВАС = хАВР— 90', то г'РАь1 = г'3+ г'ВАС+ г'2 = = (г'.3+ кАВР + г'.1) — 90' = 180' — 90' =- 90'. Итак, ЙАРь) — равнобедренный и прямоугольный. 826. На сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты ВСОЕ, АСТМ, ВАНК, а затем параллелограммы 'ГСВС2 и ЕВКР Докажите, что треугольник АРьг — прямоугольный и равнобедренный.
Р е ш е н и е. На рисунке 61 изображена данная фигура. Сначала докажем, что Задачи поеышенной трудности а 5 у Рнс. 62 827. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагоналям. Решение. Пусть Р1Ян РЯэ, Рзб)з — данные отрезки (рис.62, а). Требуется построить равнобедренную трапецию АВС)З с основаниями АйЗ и ВС так, что А)З = Р1 б,) и ВС .= РЯю АС =- ВО =- РЯз.
Анализ. Пусть АВСР— искомая трапеция (рис.62, б). На прямой АО отложим отрезок РЕ, равный ВС, так, как показано на рисунке 62, б. Так как ТЗЕ = ВС и йЗЕ ~ ВС, то )ЗЕС — параллелограмм и поэтому СЕ = ВВ =- РЯз. Таким образом, в треугольнике АСЕ АС = С Е = РЯз АЕ = А)З + ТЗЕ = Р1 Ц ~ + РЯз (1) Формулы (1) показывают, что по данным отрезкам Р|ЯП РзЯз, РЯз можно построить треугольник АСЕ. Это дает возможность построить затем искомую трапецию АВСВ. Построение. Построим треугольник АСЕ, стороны которого выражаются формулами (1).
На стороне АЕ отметим точку Р так, что Аь) = Р1ЯП и проведем через точку Р прямую, параллельную СЕ, а через точку С вЂ” прямую, параллельную АЕ. Эти прямые пересекаются в некоторой точке В. Трапеция АВСΠ— искомая. Доказательство. По построению А)З = РДП РЕ = РЯю АС =- Рзчч,'3. Так как ВС ~ 0Е н В 0 ~ СЕ (по построению), то 0ЕСВ параллелограмм, и поэтому ВС = РЕ = РЯз, СЕ = — ВР = РЯз. Таким образом, трапеция АВСР удовлетворяет всем условиям задачи. 828.
Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний Р е ш е н и е. а) Пусть прямая а — ось симметрии треугольника АВС. Тогда прямая а имеет по крайней мере одну общую точку с треугольником (объясните, почему). Более того, прямая а пересекает хотя бы одну из сторон треугольника, так как в противном случае точка, симметричная вершине треугольника, не лежащей на прямой а, не может принадлежать треугольнику (рис. 63, а). Пусть, например, прямая и пересекает сторону ВС в точке ЛХ. Тогда вершина А лежит на прямой а. В самом деле, если допустить, что А у а, то прямая а пересекает наряду со стороной ВС' еще какую-то сторону треугольника.
Пусть, например, прямая а пересекает сторону 48 Гл д Четырехугольники а В1 А В! С Рис. 63 АВ в точке Ж (рис.63, б) и пусть точка В1 симметрична точке В относительно прямой и. Тогда множеством точек, симметричных точкам отрезков ВЛХ и ВтЧ относительно прямой а, будут отрезки В|М и В1Х. Но хотя бы один из этих отрезков не принадлежит треугольнику АВС. Следовательно, прямая а проходит через вершину А.
Рассмотрим снова точку Вы симметричную точке В относительно прямой а (рис.бЗ, в). Очевидно, АВ~ = †. АВ и точки, симметричные точкам стороны АВ, лежат на отрезке АВР Поэтому отрезок АВ| лежит на стороне АС и, следовательяо, АВ| = АВ < АС. Аналогично, если точка С1 симметрична точке С относительно прямой а, то отрезок АС~ лежит на стороне АВ н АС~ = АС < АВ. Отсюда следует, что АВ = АС, т. е, треугольник АВС вЂ” равнобедренный. Отметим, что ось симметрии (прямая и) пересекает сторону ВС в ее середине.
б) Пусть треугольник АВС имеет более чем одну ось симметрии. Тогда согласно доказанному в п. а) каждая из осей симметрии проходит через вершину треугольника и пересекает противоположную сторону в ее середине. Пусть, например, одна ось симметрии проходит через вершину А, а другая — через вершину В. Тогда АВ = АС и ВА = ВС, т. е. АВ = АС = ВС и, значит, треугольник АВС вЂ” равносторонний.
Глава 2 ПЛОЩАДЬ ф 1. Площадь многоугольника 445. Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника н составьте нз ннх, а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параялелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур. Решение. Пусть площадь первого вырезанного прямоугольного треугольника равна Я, тогда по свойству 1 площадей многоугольников площадь второго треугольника тоже равна Я. Площадь каждой полученной фигуры по свойству 2о площадей многоугольников равна 25 (рис. 64). О т в е т. Площади фигур равны.
а а Ь б Рис. 64 446. Начертнте квадрат и примите его за единицу измерения плошадей Далее начертите: а) квадрат, плошадь которого выражается числом 4; б) отличный от квадрата прямоугольник, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числам 2.
Решение. Смотри рисунок 65. Рис. 65 50 Гл. 2. Плогиидь 447. Начертите параллелограмм АВСР и отметьте точку ЛХ, симметричную точке Р относительно тачки С Докажите, что Влвсп = Влмп Р е ш е н и е. Пусть Π— точка пересечения отрезков АМ и ВС (рис.бб). ГтАВО = ХхЛХСО по стороне и двум В О 4 прилежащим к ней углам (АВ = СР = СЛ1, 3 С А1 = х'.2, х'.3 = а'.4, так как эти углы — накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СР секущими АЛХ и ВС и соответственно), поэтому Влво = Взгсо. По свойству 2' площадей многоугольРис.
66 ников Влвсп = Влво + Влосп, Влпи =- Вагос А Влосп. Итак, Ялвсп = Влпзт. 448. На стороне ЛХд прямоугольника АВСР построен треугольник ЛРЕ так, что его стороны ЛЕ и РЕ пересекают отрезок ВС в точках ЛХ и Лг, пРичем точка Л1 — сеРедина отРезка ЛЕ. Докажите, что Влвсп = Ялов. Р е ш е н и е. Г1роведем перпендикуляр ЕГ к прямой ВС (рис.б7). ХтАВЛХ =- ГхЕГЯ1 по гипотенузе и острому углу (АЛХ = МЕ по условию, М В ААЛХВ = АЕЛ!Г, так как эти углы верти- Г С КаЛЬНЫЕ), пазтаму ЯЛВЛГ = ВЕЕЛГ.
1хРСХт' = ГхЕГХтг по катету и острому углу (СР = АВ = ЕГ, так как треугольники АВМ и ЕГМ равны, ГОРЛ!= А р = АГЕХт', так как эти углы — накрест ле- жащие при пересечении параллельных пряРис. 67 мых СР и ЕГ секущей РЕ). Следователь- но Впсм = Вевм. Влвсп = 3лвгм + Влзтмп + Впсм, ВАеп = Веем + Влзгггп + Вяем. Так как Влита = бееаы Впсм = Веем, то ВАВСР = ВАЕР 449.
Найдите плошадь квадрата, если его сторона равна. а) 1,2 см; 3 б) — дм; в) Зтг2 м. 4 Р еще н не. Так как плошадь квадрата со стороной а равна из, то: а) В = (1,2 см)з = 1,44 сма. 3 з б) В = ( — дм) = — дмз; 51 у 1. Площадь многоугольники в) Я = (Зт/2 м)з = 18 мз. Ответ. а) 1,44 смз; б) дмз; в) 18 мз. 9 16 450. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна; а) 16 см'; б) 2,25 дм", в) 12 м'. Решен не. Так как площадь Я квадрата со стороной а равна из, то а=в?о: а) а=-ь?!6 ем=4 ем; б) а=.т?2,25 дм=!,5дм; в) а= =Д2 м=2Л м. Ответ.
а) 4 см; б) 1,5 дм; в) 2тГЗ м. 451. Площадь квадрата равна 24 см . Выразите площадь этого же квадрата а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах. Решен и е. а) Я = 24 смз = 24. 100 ммз = 2400 ммз; б) Я = 24 смз = 24: !00 дмз = 0,24 дм". Ответ. а) 2400 ммз; б) 0,24 дмз. 452.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
