atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть а и Ь вЂ” смежные стороны прямоугольника, а Я вЂ” его площадь. Вычислите а) Я, если а =8,5 ем, Ь= 3,2 см, б) Я, если а= 2 2 см, 6 = 3 ем; в) Ь, если а = 32 см, Я = 684,8 смз; г) а, если Ь = 4,5 см, 5 = 12,15 см'. Решение. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, поэтому: а) Я =а6= 8,5 см 3,2 см= 27,2 смз; б) Я = 2т?2 см .
3 см = бтГ2 смз; в) 684,8 смз = 32 см. Ь, Ь = 684,8 смв: 32 см = 21,4 см; г) 12,15 смз = а 4,5 см, а = 12,15 см ; 4,5 см =- 2,7 см. Ответ. а) 27,2 смз; б) бтГ2 смз; в) 21,4 см; г) 2,7 см. 453. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза; б) каждую сторону увеличить в 2 раза, в) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза, а другую уменьшить в 2 раза? Р е ш е н и е. Пусть а и 6 смежные стороны прямоугольника, а Я его площадь, тогда Я = аЬ. а) Я1 = 2а .
6 = 2аЬ, т. е. Я1 = 2Я; б) Яз = 2а 26 = 4а6, т. е. Ьз = 45'; Ь в) Яз = 2а . — = аЬ, т. е. 5з = Я. 2 Ответ. а) Увеличится в 2 раза; б) увеличится в 4 раза; в) не изменится. 454. Найдите стороны прямоугольника, если: а) его площадь равна 250 см', а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его плогцадь равна 9 м', а периметр равен 12 м. Р е ш е н и е. Пусть а и Ь вЂ” смежные стороны прямоугольника, Я— его площадь, а Р— периметр. 52 Гл. 2. Плои1адь а) По условию а = 2,56, Я = 250 см", поэтому Я = аЬ = 2,56з, т. е. 250 смз = 2,56з, откуда 6 =- 1О см, а = 2,5. 1О см =- 25 см.
б) По условию Я = а6 = 9 мз, Р = 2(а + 6) = 12 м, т. е. а6 = 9 мз, а+ 6 = 6 м. Из этих равенств находим а и 6: а=Ь=Зм. Ответ. а) 25 см, 10 см; б) о, = Ь = 3 м. 455. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина — 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия пола? Ре ш е н не. Площадь пола равна 5,5 м. 6 м = 33 мз = 330000 смз. Площадь одной дощечки паркета равна 30 см 5 см .= 150 см . Для покрытия пола нужно 330000 смз: 150 см = 2200 (дощечек). Ответ. 2200 дощечек.
456. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м? Решение. Площадь части стены равна 3 м . 2,7 м =- 8,1 мв = 81 000 см'. Г1лощадь одной кафельной плитки (15 см)з = 225 смз. Для облицовки стены потребуется 81000 смз: 225 см =- 360 (плиток). О т в е т.
360 плиток. 457. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 8 м и 18 м. Решение. Площадь прямоугольника уоавна 8 м 18 м = 144 мз, поэтому и площадь квадрата равна 144 м . Пусть сторона квадрата равна а,. Тогда аз = 144 мз, откуда а = 12 м. Ответ. 12 м. 458. Два участка земли огорожены заборами оданаковой длины Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами 220 м и 160 и, а второй имеет форму квадрата.
Площадь какого участка больше и на сколько? Решение. Пусть Я площадь участка, имеющего форму прямоугольника, Р— его периметр, Я~ — площадь участка, имеющего форму квадрата, а — его сторона. Тогда 5 = 220 м 160 м = 35200 мз, р 2 Площади пороллелограмми, треугольника и трапеции 53 Р = 2(220 + 160) м =- 760 м, 4а = Р =- 760 м, откуда а = 190 м, а Я1 = — аа = 36100 ма. Я1 — Я =.
36100 ма — 35200 ма = 900 м~. Ответ. Площадь квадрата на 900 м~ больше площади прямоугольника. ф 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции 459. Пус~ь а — основание, 6 — высота, а Я вЂ” площадь параллелограмма. Найдите: а) Я, если а =- 15 см, й = 12 см; б) а, если 9 =- 34 см', й =- 8,5 см; 1 в) а, если Я = 162 см, 6 = -- а; г) 6, если 6 = 3а, 8 = 27. 2 Решение, а) Я = ай =- 15 см 12 см = 180 смг; б) Так как Я = аЬ, то а = В: 5 = 34 смг: 8,5 см = 4 см; 1 1 1 в) Так как В= 162 смг, 6= — а, то 162 сма =ой=а — а= — аг, '2 2 2 откуда аг .=- 324 смг, а = 18 см; 2 г) Так как Я = 27, 5 =- За, то а -- — 5 и 27 = ап = — пг, откуда 3 3 пг 81 5=9 Ответ.
а) 180 см~; б) 4 см; в) !8 см; г) 9. 460. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма. Р е ш е н и е. Пусть В -- площадь параллелограмма. Так как по условию диагональ параллелограмма перпендикулярна к его стороне, то она является его высотой (рис.68) и, следовательно, Я =- 12 см !3 см = 156 см . Ответ. 156 смг. 461. Смежные стороны параллелограмма равны 12 и 14 см, а его острый угол равен 30'.
Найдите площадь параллелограмма Решение. Пусть в параллелограмме АВСВ: АВ =. 12 см, АР = = 14 см, ВŠ— высота, г'А = 30' (рис.69). Треугольник АВЕ— Рис. 69 Рис. 68 54 Гл. 2. Плоа1адь прямоугольный с острым углом в 30', поэтому ВЕ = — АВ =- 6 см (так 1 2 как катет, лежащий против угла в 30', равен половине гипотенузы). 8лныр = АР ВЕ =- 14 см . 6 см = 84 ем~.
Ответ. 84 смз, 462. Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов равен 150'. Найдите площадь ромба. Р е ш е н и е. Пусть в ромбе АВСР АВ = 6 см, ВŠ— высота, аР = = 150' грис. 70). Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180', то л'.А = 180' — л'.Р = 30'. Из прямоугольного 1 треугольника АВЕ с острым углом в 30' находим ВЕ = — АВ = 3 см. 2 Ялово = АР ВЕ = 6 см 3 см = 18 ем~.
Ответ. 18 ем~. 463. Сторона параллелограмма равна 8,! см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30'. Найдите площадь параллелограмма. Р е ш е н и е. Пусть в параллелограмме АВС Р: АР = 8,1 см, АС = = 14 см, л'.САР = 30' (рис. 71). Проведем высоту СЕ к стороне АР и рассмотрим прямоугольный треугольник АСЕ. Катет СЕ этого треугольника равен половине гипотенузы АС, т. е. СЕ = 7 см.
Следовательно, 5лнсы = 8,1 см. 7 см = 56,7 смз. Ответ. 56,7 смз. А 6 Рнс 70 )л Я Рнс. 71 464. Пусть а и Ь вЂ” смежные стороны параллелограмма, Ь| и йа — его высоты. Найдите; а) Ьз, если а = 18 см, 5 = 30 см, )и = 6 см, йз > Ьп б) )л, если а = 1О см, 5 = 15 см, Ь = 6 см, )м > йн в) 6~ н аз, если Я = 54 см', а = 4,5 см, 5 = 6 см.
Решение. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, поэтому высота, проведенная к большей стороне, меньше высоты, проведенной к меньшей стороне. Э 2. Площади параллелограмми, треугольника и трапеиии 55 а) По условию Ьз > Ьь а = 18 см, Ь = 30 см, т.
е. Ь > а, следовательно, 61 — высота, проведенная к стороне Ь. Можно записать: а)ьз = ЬЬь откуда ЬЬ1 30 . 6 Ьз = — = см = 1О см. а 18 б) Аналогично п. а) получаем: аЬа =- Ьйы откуда 61 = — =- см =-4 см. айг 10 6 Ь 15 Я 54 В 54 в) 61=.— = см=12см, Ьз=- — '= см=-9см. а 4,5 ' Ь 8 Ответ. а) 1О см; б) 4 см; в) 12 см, 9 см.
465. Острый угол параллелограмма равен 30', а высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны 2 см н 3 см. Найдите площадь параллелограмма. Решение. Пусть в параллелограмме АВСР аА = 30', ВЕ и ВЕ высоты, проведенные к сторонам АР и СР (рис. 72). По условию ВЕ =- 2 см, ВГ =- 3 см. В прямоугольном треугольнике АВЕ к'А = 30', поэтому АВ = = 2ВЕ .= 4 см. АВ=СР=-4см, $лнггтт = СР ВЕ =-4 см.3 см = 12 ем~. Ответ. 12 смз. 466. Диагональ параллелограмма равна его стороне.
Найдите площадь параллелограмма, если большая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов равен 45'. Решение. Пусть в параллелограмме АВСЕч ВР =- АР (рис, 73). Тогда угол А острый, так как треугольник АВР равнобедренный. По условию ~А = 45', поэтому ~АВР = 45', ~АРВ = 90'. В треугольнике АВР; А — гипотенуза, АР— катет, поэтому АВ > АР, т. е. А — ббльшая сторона параллелограмма. По условию АВ = 15,2 см. Высота РК равнобедренного треуголь- 1 ника АРВ является медианой, поэтому РК = — АВ =- 7,6 см (см.
за- 2 дачу 404). Влнсчэ = АВ. РК =- 15,2 см 7,6 см =- 115,52 см". Ответ. 115,52 смт. Рис. 73 Рис 72 56 Гл. 2. Плои1адь 467. Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур. Решение. Пусть  — площадь квадрата, В! — площадь ромба. Так как по условию квадрат и ромб имеют равные периметры, то их стороны равны. Пусть сторона квадрата и сторона ромба равны а, высота ромба равна 6. Тогда Я = аа, В| = — а6.
Так как ромб не является квадратом, то 6 < а, поэтому Я! < Я. Ответ. Плошадь квадрата больше. 468. Пусть а — основание, 6 — высота, а  — плошадь треугольника. Найдите: а) Я, если а = 7 см, 6 = 11 см; б) Ь', если а = 2хГЗ см, 6 = 5 см; в) 6, если В = 37,8 см', а = 14 см; г) а, если В =!2 см', 6 = Зхт2 см.
Решение. а) В = — а6 = — 7 см . 11 см = 38,5 см; а. 2 2 б) Я = — . 2хГЗ см 5 см = 5хГЗ смз; ! 2 1 в) Так как В = — а6, то 2 6 = — = 2. 37,8 см; 14 см = 5,4 см; 2В а 1 г) Так как Я = — а6, то 2 а = —" = 2 12 см: Зъ'2 см = 4ъ'2 см. 2В а 1г Ответ. а) 38,5 сма; б) 5хГЗ смз; в) 5,4 см; г) 4ъ'2 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
