atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Решен и е. Пусть в равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена высота ВЕ к основанию, тогда АЕ = ЕС = 8 см. Из прямоугольного треугольника АВЕ, используя теорему Пифагора, находим: В — 52АВ --А — 289-бб — '225 -25 ( ). Ответ.
15 см 63 Э" 3. Теорема Пифагора 488. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см. Ре ш е н и е. Пусть отрезок ВР— высота равностороннего 1 треугольника АВС, тогда АР = — АС и по теореме Пифагора для 2 прямоугольного треугольника АБР имеем: АВз = АРз + ВРз. а) АР =. — АС = 3 см, ВР = ттАВв — АРз = т736 — 9 =- ЗтгЗ (см). 1 2 ! АВ в б) АР = — АВ, АВз = ВРа + АРг = ВРз+ ~ ); отсюда полу- 2 2)' чаем: 3... 8 3 4 ' 3 — АВ =ВР =16 см, АВ= см. Ответ. а) Зчг3 см; б) см.
8ъ'3 489. Докажите, что плошадь равностороннего треугольника вычисляется а ъ'3 по формуле В =-, где а — сторона треугольника. Найдите площадь 4 равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2тг2 дм. Р е ш е н и е. Проведем высоту ВР равностороннего треугольника АВС, в котором АВ = а.
Высота ВР является медианой треугольника АВС, поэтому АР =- —. 2' Применив теорему Пифагора к треугольнику АВР, получим: В — 'А — АВ 4 2 Злнс = — АС ВР =. — а . 2 2 2 4 5г ъ 3 в 25ъг3 б) В = ' ' ' смз = 0,36ъ 3 смз; 11,2) - Л 4 в) В= ' ' дм =2чгЗ дм~. (2ъ'2) ъ'3 4 О т в е т. а) смз; б) 0,36т73 смз; в) 2ьгЗ дмз. 25ъ'3 4 490. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если; а) основание равно 12 см, а высота, проведенная к основанию, равна 8 см, б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120', в) треугольник прямоугольный и высота, проведенная к гипотенузе, равна 7 см.
Решен и е. Пусть в равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена высота АР; 64 Гл. 2. Плои!адь а) ВС = 12 см, АВ = 8 см, поэтому алис = —.ВС.АР= —.12 см 8 см =48 см; ! ! 2 2 ВР = РС =- — ВС = 6 см. Из прямоугольного треугольника АВР ! 2 с помощью теоремы Пифагора находим: А — 7 АР 4 ВР— '66 4 64 — 49 б) Так как треугольник АВС' — равнобедренный, то его высота АР является и биссектрисой, поэтому А'.ВАР =- 60', ЛВ =- 30'.
Отсюда следует, что АВ = 2 АР. По теореме Пифагора АВз = АРА + ВРз, а так как ВР = — — ВС = 9 см, то 4АР = АРА+ 8! смз. Отсюда АР~ = 1 2 = 27 смз, АР = Зэ73 см, АС = бт773 см. Ялик = — ВС АР = — 18 см ЗАГЗ см = 27э73 см~. 2 2 в) Так как треугольник АВС вЂ” равнобедренный, то его высота АР является и медианой, а потому согласно задаче 404 ВС = 2 АР = =- 7 см . 2 = 14 см. Влвс = — ВС АР = — !4 см . 7 см = 49 см . 1 ! 2 2 Из равнобедренного прямоугольного треугольника АВР находим: А — 'АР АВР— 77 47 — 7 2 Ответ. а) 10 см и 48 смз; б) бъ73 см и 27э73 смз; в) 7э72 см и 49 смз. 491.
По данным катетам а и Ь прямоугольного треугольника найдите высоту, проведенную к гипотенузе: а) а = 5, 6 = 12, б) а = 12, 6 = 16. Реше н ие. Пусть гипотенуза равна с, высота, проведенная к гипо- 1 тенузе, равна 6, а Я площадь треугольника. Тогда Я = — — а6 и Я = 1 а6 =. псЬ, откуда получаем; аЬ = сй или 6, = —. Но с = э7аз + 6з (по тео- 2 г реме Пифагора), поэтому 6 =— а) 6 = 5 12: т/25 -1- 144 =- — = — 4 —, !3 13' 676= 42 76: '7444266 = — =АД 20 Ответ. а) 4 —; б) 96. 8 !3' 492.
Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, !О см н !2 см. Р е ш е н и е. Пусть в треугольнике АВС: АВ = АС = 10 см, ВС = =. 12 см, АР— высота, проведенная к основанию ВС, Э 3. Теорема Пифагора Так как АВ = АС, то высота АР является и медианой, поэтому ВР= — ВС=бсм.
1 2 Из прямоугольного треугольника АВР находим: АР— А — ВР— КΠ— 36 — 8 ( ). Следовательно, Ялвс = — ВС АР = — 12 см 8 см =-48 см . 1 1 2 2 Пусть высота, проведенная к стороне АВ, равна 6. Тогда Ялик = — АВ 5 или 48 сма = — . !О см 6, откуда й = 9,6 см. 1 2 2 2 Так как АВ =- АС, то высота, проведенная к стороне АС, также равна 9,6 см. Ответ. 8 см, 9,6 см, 9,6 см. 493. Найдите сторону и плошадь ромба, если его диагонали равны 1О см и 24 ем Р е ш е н и е. Пусть диагонали ромба АВСР пересекаются в точке О.
1. Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны н точкой пересечения делятся пополам, то треугольник АО — прямоугольный с катетами 5 см и 12 см. По теореме Пифагора АВ = Д44+ 25 = Л 69 = 13 (см). 2. Согласно задаче 476 Влвсв = — АС ВР = — 1О см . 24 см = 120 см . 1 1 2 2 Ответ. 13 см и 120 смз.
494. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 1О см, а другая диагональ 12 см Р е ш е н и е. Пусть О точка пересечения диагоналей ромба АВСР. 1. Треугольник АО — прямоугольный с гипотенузой АВ =- 1О см и катетом АО = 6 см, поэтому ВО = ДОΠ— 36 = 8 (см) и ВР = 2. ВО = !6 (см). 2. Влввв = — АС ВР = —, . 12 см 16 см = 96 см .
! 1 2 2 Ответ. 16 см и 96 смз. 495. Найдите площадь трапеции Л БСР с основаниями АВ и СР, если. а) АВ=10ем, ВС=РА= 13 см, СР=-20см; б) ЛС=гР=60', АВ= = ВС = 8 см, в) аС = йР = 45', АВ = 6 см, ВС = 9~ 2 см. 3 Л,С Атанесян и др 66 Гл. 2. Плои(адь Решение. В трапеции ЛВСР с основаниями ЛВ и СР проведем высоты ВЕ и АГ (рис. 82). а) Так как по условию трапеция равнобед- 1 С Е Г р ренная (ВС вЂ” РА), то СŠ— Рà — — (СР— 2 — ЛВ) = — (20 — 10) = 5 (см). Рис.
82 Из прямоугольного треугольника ВЕС по теореме Пифагора находим: ВЕ.= ВС СЕ = Гбб 28 =)'2( ). Влнрр = -; (АВ+ СР) - ВЕ = 15 см 12 см = 180 см . 2 б) Согласно задаче 389 трапеция .4ВСР— равнобедренная, так как по условию углы при основании равны (аС = аР = 60'). Отсюда следует, что РГ = СЕ. Треугольник ВЕС вЂ” прямоугольный с углом В, равным 30', по- 1 этому СЕ = — ВС = 4 см и по теореме Пифагора находим: 2 ВŠ— СЕС вЂ” СŠ— 88 — 88 — Я8 — 888 ( ). РС = 2 ЕС+ ЕГ = 2 4 см+ 8 см = 16 см.
Ялнср =- — (АВ + РС) ВЕ = — (8 см + 16 см) . 4у 3 см =- 48тгЗ смт. 2 2 в) В прямоугольном треугольнике ВСЕ л'.Е = 90', аС = 45', поэтому аВ = 45' и, следовательно, ВЕ = СЕ. По теореме Пифагора ВЕ -1- СЕ~ = ВС, или 2 ВЕ~ = 2 81 смз, откуда ВЕз = 81 смз, ВЕ = 9 см. Трапеция АВСР— равнобедренная, так как аС = — аР = 45' (задача 389, а), поэтому РГ = СЕ = 9 см, а так как ЕГ = АВ = 6 см, то РС = РГ+ ГЕ+ ЕС = 9 см+ 6 ем + 9 см = 24 см. Ялпср = — (АВ+ РС) ВЕ = — (6 см+ 24 см) 9 см =- 135 см . 1 ! а 2 2 Ответ. а) 180 смз; б) 48э)3 смз; в) !35 см .
496. Основание Р высоты СР треугольника АВС лежит на стороне .4В, причем АР = ВС. Найдите ЛС, если ЛВ = 3, а СР = т)3. Решение. Пусть АР = ВС = х. Тогда ВР =- 3 — т, (рис. 83). По теореме Пифагора для треугольника ВСР имеем: ВС = ВР + СР, или х~ = (3 — х) + (ьг3)з, Рис. 83 откуда х = 2. Итак, АР = 2 67 э" 3. Теорема Пифагора По теореме Пифагора из треугольника АСР находим: Ао —;ОР рог — '4 йз — 7. Ответ.
тГ?. 497. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см Решение. Пусть диагональ ВЛ параллелограмма АВСР яв- В С ляется его высотой (рис. 84). Так как треугольник АВР прямоугольный с гипотенузой АВ, то АВ ) АР и по условию АВ— Р— АР =! см. По теореме Пифагора для тре- Рис 84 угольника АВР имеем: ео — гге — АР— ДАВ-~ АЗЦА — Ао).
Ясно, что АВ+ АР есть полупернметр параллелограмма АВСР, т. е. АВ+ АР = 25 см. Поэтому ВР = — э/25. 1 = 5 (см). Ответ. 5 см. 498. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20. 25 В каждом случае ответ обоснуйте. Р е ш е н и е. а) Так как 1Оз = бз + 8г, то по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный. б) Если треугольник прямоугольный, то квадрат его большей стороны (гнпотенузы) равен сумме квадратов двух других сторон (катетов).
Но в данном случае 7а 71 5з -~ бз, поэтому этот треугольник не является прямоугольным. в) Треугольник прямоугольный, так как 15' = 12' + 9' г) Треугольник прямоугольный, так как 26з = 10' 4- 24' д) Треугольник не прямоугольный, так как бз ф 3з -1- 4з. е) Треугольник не прямоугольный, так как 13з ~ 11' + 9' 68 Гл. 2. Плои!адь ж) Треугольник прямоугольный, так как 25в =- 20 + 15~.
Ответ. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да. 499. Найдите меньшую высоту треугольника, если его стороны равны: а) 24 см, 25 см,? см; б) !5 см, 1? см, 8 см. Решение. а) Так как 25з =- 24з + 7з, то по теореме, обратной теореме Пифагора, данный треугольник является прямоугольным. Его катеты а =- 24 см и 5 = 7 см, а гипотенуза с = 25 см. Две высоты этого треугольника равны соответственно его катетам, а высоту Ь., аЬ проведенную к гипотенузе, вычислим по формуле и = -- )см. решение 24 7 задачи 491): Ь, = см = 6,72 см. Очевидно, эта высота треугольни- 25 ка является наименьшей. б) Так как 1?з = 15з + 8з, то данный треугольник — прямоугольный с катетами а, = 15 см и 5 = 8 см и гипотенузой с = 17 см.
Как и в п. а, меньшей высотой треугольника является высота П, проведенная аб !5 8 1 к гипотенузе: 5 =- —, Ь = см =-. 7 — см. с ' 17 !7 Ответ. а) 6,72 см; б) 7 — см. 1 !7 Дополнительные задачи 500. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе.
Р е ш е н и е. На рисунке 85 треугольд ник АВС вЂ” равнобедренный прямоугольный, АН вЂ” высота, проведенная к гипотенузе ВС, АВВС вЂ” квадрат, построенный на катете АВ. Н Высота АН является также медианой треугольника АВС, поэтому ВН =- НС == С = АН (см. задачу 404). Отсюда следует, что точка С является вершиной квадрата, построенного на высоте АН.
Диагональ ВС квадрата АВВС разбивает его на два равных треугольника, поэтому Рис. 85 Влнгзс = 25лнс. Аналогично, Ялнск = 2Влнс. Но высота АН разбивает треуголь- ник АВС на два равных треугольника, поэтому алис =- 2Ядтгс и, следовательно, олнск = оАВС. (2) Дополнительные задачи 69 Из равенств (!) и (2) получаем: Влвпс = 2Влнск, что и требовалось доказать. 501. Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь этого же участка а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах Решение. а) 27 га = 270000 мз, так как 1 га = (100 м)з =- = 10000 мз. б) 27 га = 0,27 кмз, так как 1 га = 0,01 км". Ответ. а) 270000 мз; б) 0,27 кмз. 502.
Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите плошадь параллелограмма. Р е ш е н и е. Пусть смежные стороны параллелограмма равны а, и Ь, а проведенные к ним высоты равны соответственно 5 см и 4 см. Тогда 2(а+ Ь) = 42 см и Я = 5 а = 4. Ь, где Я вЂ” площадь парал- 4 Г 4 лелограмма. Отсюда получаем а = — Ь, поэтому 2 ~Ь+ — Ь) = 42 см, 5 5 35 откуда Ь = — см и, следовательно, 3 Я =- 4. — см = 46- см .
35 з 2 3 3 Ответ. 46 — см . 2 3 503. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см', а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см. Р е ш е н и е. Пусть в параллелограмме АВСР диагонали пересекаются в точке О, ОМ вЂ” перпендикуляр к стороне АВ, ОЛХ = 2 см, и пусть прямая ОЛХ пересекает сторону СР в точке Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
