atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 16
Текст из файла (страница 16)
рис. 115), и, следовательно, тз 52 откуда Я = тЗ!Вз. А Рис. 115 Рис. 114 89 Задачи повышенной трудности Таким образом, Влвсо = 2В + Я! + Вз = 2 АЗ~ + Я! + Яа = ( ьЛ~ + Я ) . Ответ. (~/В! + ьЯ~)з. 835. Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Докажите, что плошадь пятиугольника равна сумме площадей трех треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции Решение.
Пусть О точка пересечения диагоналей АС и ВР трапеции АВСР с основаниями ВС и АР, ВС < АР, ВМ ~~ Сдг, прямые БЛ| и АС пересекаются в точке К, а прямые СХ и ВР— в точке Р (рис. !16). Требуется доказать, что Выконм = Влвк+ Ввсо + Всон. Если 6 — высота трапеции, то 1 Ввымс = ВС 6, Влвс =- — ВС 6„ 2 1 Явсо = — ВС' 6,, поэтому Ивы ° с = алис + Ввсо Следова- 2 тельно, Втцконк = Ввыкс — (Ввск+ Всор) = = алис+ Ввсв — Ввск — Всор = = (Влвс — Ввск) + (Ввсо — Всон) = = олвк + (Ввсо + Всвн) ° Итак, Ьыкорк = Влвк+ овсо + Вси' 836. Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и ВР четырехугольника АВСР, пересекает стороны АВ и СР в точках Л! и К.
Докажите, что площади треугольников РОМ н АКВ равны. Решение. Пусть точки 01 и Оз — середины диагоналей АС и ВР данного четырехугольника, АЕ Л 010з и СЕ Л. 010з (рис. 117). Так как АО| = 01С, то ЛАЕ01 = ехСЕО1 (по гипотенузе и острому углу), поэтому АГ = СЕ. Треугольники АКЛХ и СЛУК имеют М Лг Р Рис 116 Рис 117 9О Гл. 2. Плоп1идь общее основание ЛХК и равные высоты АР и СЕ, поэтому Ялкм = = Ясмк. Аналогично доказывается, что Явкм = Ярмк. Следовательно, Ялкв Ялкр! + Явим Ясргк + Ярмк Ярсм.
Итак, Ярсм = Ялкв 837. Сторона АВ параллелограмма АВСР продолжена за точку В на отрезок ВЕ, а сторона АР продолжена за точку Р на отрезок РК. Прямые ЕР и КВ пересекаются в точке О. Докажите, что площади четырехугольников АВОР и СЕОК равны. Решение. На рисунке 118 изображена данная фигура.
Треугольники АВР и ЕРС имеют равные основания АВ и СР и равные высоты Ь, поэтому Ялвр = Якрс. Аналогично, треугольники ВРК и СРК имеют общее основание РК и равные высоты, поэтому Яврк = Ясгзк. Из этого равенства следует, что Явор = Яскр, поэтому Явро = Яск.р. — Ярок Следовательно, Рис. ! 18 Ялвор = Ялвр + Яскк — Ярок = Якрс — Ярок+ Яскк = Яснок Итак, Ялврр = Яскрк 838. Два непересекаюрцихся отрезка делят каждую нз двух противопо- ложных сторон выпуклого четырехугольника на трн равные части. Докажите, что площадь той части четырехугольника, которая заключена между этими отрезками, в трн раза меньше площади самого четырехугольника. Р е ш е н и е.
Пусть АВСР— данный чес, Ь, тырехугольник, АМ = Л!Х = АгВ, СР = С = Рб~ = С~Р (рис. 119). Требуется доказать, В К, 1 Р, что Язгррвс) = — Ялвср. Ь Проведем перпендикуляры ССр РРП М вЂ” р б)() ~ к прямой АВ, а через точку Р 0~ проведем прямую, перпендикулярную к СС| А 62 и (Эьз1 (см. рис. 119). Пусть СС1 = 61, РР1 = 6, с„)Щ = Ьз.
Так как лзСРК = ГхОРТ. (по гипотенузе и острому углу), то СК =. Ег,). Но С К = 6 — 6р Ег,) = Ьз — Ь, Ь ч-61 поэтому 6 — )и = Ьз — 6, т. е. 6 = 2 Рис. ! 19 91 Задачи повышенной трудности Вмвс = — А'В 6!, 1 2 ! Вллгсэ = — АЛХ Ьз, 2 Вынв = — Л|ЛХ Ь = — ЛХХьг. — — т 61 ! Ьа 2 2 2 Из этих равенств, учитывая, что АЛХ = ЛХХт' =- МВ, получаем: 1 ВлтмР = (Вллгсз + Вовс). 2 Аналогично доказывается равенство 1 В, Слг = — (ВСРК+ В1ол). 2 Следовательно, ВлгмРсз = Влгл'Р + ВРсзы 1 1 — (Вллгц + Вовс + Всвлг + Вгйол) — (Вллгяо + ВггВОР) 2 2 Итак, Вллгдо+ Вввсв = 25лглгРС, поэтому ! Влвсо = ЗВынвс1, т е Вл!ВРгл = -Влвсо. 3 839. Середины К и ЛХ сторон АВ и РС выпуклого четырехугольника АВСР соединены отрезками КР, КС, ЛХА и ЛХВ с вершинами.
Докажите, что площадь четырехугольника, заключенного между этими отрезками, равна сумме площздей двух треугольников, прилежащих к сторонам АР и ВС. Решение. На рисунке 120 изображена данная фигура, Аг и Р— точки пересечения отрезков РК и АЛХ, КС и ВЛХ. Требуется доказать, что Рис 120 ВммкР = ВАВА + ВВСР. Проведем перпендикуляры СС1, ЛХЛХ! и РР! к прямой АВ. Пусть СС! = 6!, РР! = Ьз, тогда ЛХЛХ! = ' !см. решение задачи 838). 61 + 6и 2 Поэтому 1 61 х Ьз 1 .
! Яллгв = —,.АВ ', Ялгзгг = — АК Ье, Явок = — ВК 6!. 2 2 ' 2 ' 2 Так как АК = ВК = — АВ, то 1 2 ВАлг В = олок + Ввск или Гл. 2. Плон!адь (обозначения площадей представлены на рис. 120). Отсюда следует, что  — В1+ В4 т ° е Влхюкн — ВАРЯ + ВВс'и ° ОВ = ОС вЂ” ВСз, или ОВ = 4О — (а+ 26)а (а . 26!а откуда ОВа = ' 3 Из прямоугольного треугольника АВО по теореме Пифагора полу- чаем; АО = ъ'АВз+ ОВх =-2 3 ае ч-. аЬ ч- Ь Ответ. 2 841. Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма АВСР, пересекает прямые АВ и АР в точках К и М Найдите площадь этого параллелограмма, если площади треугольников КВС и СРЛХ равны К и Вя. Р еще н не.
Пусть АР = а, АВ = Ь, ВК =- с, РЛТ = г(, СК = е, СЛХ = (, Влас!э = В (рис. 122). Так как треугольники АВС и ВКС имеют общую высоту, прове- 51 с 1 денную из вершины С, то — ' — = —, а поскольку Влас = — Влцшп = В Ь' 2 = — В, то— ! 2В1 с 2 ' Я Ь А а Р и! М Рис. !22 В Рис. 121 840. Точка Л лежит внутри угла, равного 60'. Расстояния от точки Л до сторон угла равны а и Ь. Найдите расстояние от точки Л до вершины угла. Р е ш е н и е.
Пусть АВ и АР— перпендикуляры, проведенные к прямым, содержащим стороны данного угла О, равного 60', а С вЂ” точка пересечения прямых АВ и ОР (рис. 121). По условию АВ = а, АР = Ь, Требуется найти АО, В прямоугольном треугольнике ОВС лО = 60', поэтому ЛС = 30'. Отсюда следует, что ОС = 2ОВ.
В прямоугольном треугольнике СРА: АС =- 2АР = 26. Поэтому ВС = а+ 2Ь. По теореме Пифагора Зидачи иовысиенной трудности 93 Аналогично, сравнивая треугольники АРС и РМС, получаем: В а 2В. д Используя теорему об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу (п.52 учебника), приходим к равенствам: ае 31 се а с ВХ' Ва ЛХ' й Ь' 2Я~ В ' = 2у'33,. Я Яе В Следовательно, Отсюда находим: В О т в е т. 2 тХЯ1 Яз . уд ду КО ОС ОМ ОЕ Аналогично, сравнивая треугольники 1(ОТ и ВОМ, получаем: Вкот КТ ОТ КО КТ Вном ВМ .
ОВ ОЛ1 ВМ откуда следует, что (2) О1 КО ОВ ОЛХ Из равенств (2) и (3) получаем: —, .= — —, или ОВ ОС = ОТ ОЕ. ОС 01' ОЕ ОВ' ПоэтомУ, согласно РавенствУ (1), Янош = киот и, следовательно, Внтс = Витю (см. Рис. 123). 842. Через точку пересечения диагоналей С четырехугольника АВСР проведена прямая, пе- В К ресекающая отрезок АВ в точке М и отрезок СР в точке К. Прямая, проведенная через точку К параллельно АВ, пересекает ВР в точке Т, А Т а прямая, проведенная через точку ЛХ параллельно СР, пересекает АС в точке Е.
Докажите, что Р прямые ВЕ и СТ параллельны Рис 123 Р е ш е н и е. На рисунке 123 изображена данная фигура. Так как треугольники ВОС и ЕСТ имеют равные углы при вершине О, то Внос ОВ . ОС (1) Енот ОГ ОЕ Так как МЕ ~ СК, то углы К и ЛХ (и также углы С и Е) в треугольниках СОК и ЕОЛ1 равны.
Поэтому В СК КО ОС. СК Веом ОМ МЕ ОЕ МЕ' отк а сле ет что Гл. 2. Плонзидь Итак, треугольники ВТС и ЕТС имегот общее основание ТС и равные площади, поэтому их высоты, проведенные из вершин В и Е, равны, т. е. точки В и Е равноудалены от прямой СТ, и поэтому ВЕ ~ СТ. 843. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку А на отрезок АР, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и ЛХ так, что площади треугольников ВХЭЛХ и ИСК равны. Найдите угол ВКМ, если КВАС = о. Решение. На рисунке 124 изображена данная фигура.
Отметим, что точки ЛХ и К лежат по одну сторону от прямой СР (это следует из равенства ВР ВМ = ВС ВК). Так как Вооги = Ввоу — Ввсо, Вгтск = Вгзск — Ввсо (или Косм = Восо — Вводы Воок = Ввоо — Ввок при ином расположении точек ЛХ и К) и по условию Ввлго = Ввок, то Воолг = Воск. Треугольники РСЛХ и РСК имеют общее основание РС и равные площади, поэтому высоты, проведенные из вершин М и К, равны, а следовательно, МК й' СР. Отсюда следует, что 'ВКМ = = /ВРС. Но гВРС = ''АСР, так как г'ьАСР равнобедренный, и поэтому, согласно свойству внешнего угла треугольника, к'.ВРС = ! =- — о (см.
рис. 124). Итак, к'.ВКЛХ= — си 1 2 ' ' ' ' 2 Ответ. —. ' 2' 844. Внутри прямоугольника АВСР взята точка ЛХ. Известно, что ЛХВ =- = а, МС = Ь и МР = с. Найдите МА. Решение. Через точку ЛХ проведем прямые, параллельные сторонам прямоугольника АВСР, и обозначим через гп, и, р и 4 длины отрезков на этих прямых так, как показано на рисунке 125, а через х искомую длину отрезка ЛХА. Воспользуемся теоремой Пифагора для Р А А Р Рис 124 Рис 125 95 Зидани повьииенной трудности ха — — та + дз, аз = те +рз бз = па+ рз сз = пв+ ц . Из этих равенств следует, что х + Ьв = ав + с~, поэтому 845. В треугольнике АВС проведена высота ВР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
