atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рис. ! 52 117 Задачи на посс роение Сначала построим какой-нибудь треугольник, подобный искомому. Для этого начертим произвольный отрезок АВ1 и построим треугольник АВ1Сы у которого углы А и В1 равны соответственно меньшему и большему данным углам (рис.
152, б). Далее построим биссектрису угла А и отложим на ней отрезок АР, равный данному отрезку. Через точку Р проведем прямую, параллельную В~Си Она пересекает стороны угла А в некоторых точках В и С (рис.152, б). Треугольник АВС вЂ” искомый.
В самом деле, по построению угол А треугольника АВС равен меньшему из данных углов, а так как ВС ~ В~Си то аВ = аВ1 и, следовательно, угол В равен другому из данных углов. Наконец, по построению биссектриса АР треугольника АВС равна данному отрезку. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Очевидно, задача имеет единственное решение, если сумма двух данных углов меньше 180', и не имеет решений, если эта сумма больше или равна 180'.
587. Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведенной нз вершины третьего угла. Решен не. Сначала построим какой-нибудь треугольник АВ1Сы у которого углы В~ и С~ равны соответственно двум данным углам. Затем проведем высоту АН~ этого треугольника и отложим на луче АН1 отрезок АН, равный данной высоте искомого треугольника. Через точку Н проведем прямую, параллельную В~Си Она пересекает лучи АВ~ и АС~ в каких-то точках В и С. Треугольник АВС вЂ” искомый. Это доказывается таким же образом, как и в задаче 586. Если сумма двух данных углов меньше 180', то задача имеет единственное решение, в противном случае решений нет.
588. Постройте треугольник АВС по углу А н медиане А711, если известно, что АВ:АС=2:3. Р е ш е н и е. Задачу нужно понимать так: даны угол и отрезок (рис. 153, а); требуется построить треугольник АВС, у которого угол А равен данному углу, медиана АЛХ равна данному отрезку, а отношение сторон АВ и АС равно 2: 3. Х Рнс. 153 Гл д Подобные гнреугольнико Построим угол ХАУ, равный данному углу. Затем возьмем какой- нибудь отрезок РО и на луче АХ отложим отрезок АВы равныи 2РЯ, а на луче АУ вЂ” отрезок АСы равный ЗРЯ (рис. 153, б). Проведем отрезок В1Сы построим его середину и обозначим ее буквой ЛХы На луче АЛХ1 отложим отрезок АЛХ, равный данному отрезку, и через точку ЛХ проведем прямую, параллельную В|Си Она пересекает лучи АХ и АУ в некоторых точках В и С (см.
рис.!53, б). Треугольник АВС вЂ” искомый. Действительно, угол А по построе- АВ АВ~ 2 нию равен данному углу, а так как ВС '~ В!Сы то — ', =, = —. На- АС~ конец, отрезок АЛХ, равный по построению данному отрезку, является медианой треугольника АВС. Доказательство этого факта содержится в решении задачи 6! 1 (см. ниже). Таким образом, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.
589. Постройте треугольник,4ВС по углу А и стороне ВС, если известно, что АВ: АС = 2: 1. Решение. На рисунке !54, а изображены данный угол и данный отрезок. Построим угол ХАУ, равный данному углу. Затем возьмем какой-нибудь отрезок Рб) и отложим на луче АХ отрезок АВь равный 2РГ2, а на луче АУ вЂ” отрезок АСы равный Ро (рис.!54, б), На луче С~В~ отложим отрезок С~Ва, равный данному отрезку, и через точку Вз проведем прямую, параллельную АСь Она пересекает луч АХ в некоторой точке В. Через точку В проведем прямую, параллельную С1Вь Эта прямая пересекает луч АУ в некоторой точке С.
Треугольник АВС вЂ” искомый. В самом деле, угол А равен данному углу по построению. Так как ВС ~~ ВзС1 и ВзВ ~~ С1С, то четырехугольник ВСС1Вз параллелограмм, и поэтому ВС = С~Вз, а значит, сторона ВС треугольника АВС равна данному отрезку. Наконец, так А Рис.
! 54 119 у 4. Соотношения между сторонами и углилги АВ АВ~ 2 как ВС ~~ В!С1, то — — = — — — = —. Таким образом, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Если данный угол не является развернутым, то задача имеет единственное решение.
590. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов. Решен ие. Задача решается таким же образом, как и задача 589, при условии, что еА = 90'. 9 4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника 591. Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямькк углом С, если: а) ВС =- 8, .4В = 17, б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = = 1, .4С = 2; г) АС' = 24, АВ = 25.
ВС 8 .з !5 Решение. а) яшА = — = —; совА = 1 — яш А = —; !8А = ЛВ 17' !7' яшА 8 ВС . 8 . 15 !5 = —; соя В = ' = апА = —; апВ = совА = —; !иВ = —. сояА 15' АВ !7' 17' 8 б) АВ = ьгВСз + АСз = у'21з + 202 = 29; вшА = совВ =- —; 29' 20 21 20 сояА = апВ = —; !8А =-; !8В = 29' н 20' ь в) АВ = ВСЯ+ АСз = ь 5; яшА = сояВ =; сояА =- яшВ = 1 т' 5 2 1 = —; ть А =. —; ! ° В =- 2. АС 24 . з 7 24 г) яшВ = — ' = —; совВ = ! — в!п В = —; !8В = —; сояА = .4В 25' 25' 7 ' 24 .
7 7 =- апВ = —; апА = сояВ = —; !8А = —. 25' 25' 24' 8 . 15 8 Ответ. а) вшА = соя — — —, сояА = вшВ =- —, !8А =- —, !8В = 17' 17' 15' 15 . 21 . 20 21 =- —; б) апА =- сояВ =- —, сояА — — апВ = —, ! А = —, ! В =- 8 29 29 и 20 и 20 . 1 . 2 1 = — —; в) апА = соя В = —, сояА = апВ = —, !8А = —, 45В = 2; 21* ьг5 ьгб '2' 7 . 24 7 24 г) вшА = соя В = —,, соя А = япг В = —, !8А = —, ! В = —. 25' 25' 24' 7 ' 1 3 592.
Постройте угол о, если; а) !8о = —, б) гйо = —; в) сояо = 0,2; 2' 4' 2 1 г) сояо =- —; д) ягпгг =. —; е) ьйпо = 0,4 3' 2' 120 Гл 3 Подобные г реугольники ! 593. Найдите: а) я!па и !я а, если соя а = —; б) я!па и !я а, если соя а 2' 2 . чгЗ . 1 —; в) сова и !да, если я!па = —; г) сова и бйа, если сйпа =— 3' 2 4 Решение. а) сйпа =- ! — сояза =- 3 2 б) вша= 1 — ( — ) = —,Фйа= —; 2 з ъ~5 ъ'5 в)сова= 1 — яш а= —,! а=ч'3; 1 г) сова = 1 — ( — ) =, ~йа = 1 у!5 1 Ответ.
а) яша —, 43а = чгЗ; б) я!па.= чЗ 2 ! чг15 Л5 2' ' 4 ' 15 —, бра =- чгЗ; г) сова =, Цгх = 19а- = 3; я!па соя а ъ'15 15 ч'5 ч'5 —, !ца = —; в) сова 3 ' 2 594. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен б, а противолежащий угол равен 3. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через б и,З. 6) Найдите их значения, если б =- 10 см,,З = 50' Решен не, а) Пусть другой катет равен а, противолежащий ему угол равен а, а гипотенуза равна с. Тогда б — = 13д, а Решение.
а) Возьмем какой-нибудь отрезок РЦ и построим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет ВС =- РС~, а катет АС = 2РСу. Тогда г'А = а, так как 43 А = ВС 1 АС 2 б) Аналогично п. а) построим прямоугольный треугольник АВС, ВС 3 у которого отношение катетов — ', = —.
Тогда лА = а. АС 4 в) Возьмем какой-нибудь отрезок РО и построим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС = РС, а гипотенуза АВ = .4С = 5РЯ. Тогда лА = а, так как совА =- ' ' = 0,2. АВ г) Аналогично п. в) построим прямоугольный треугольник АВС АС 2 с прямым углом С, у которого — ' = —. Тогда лА = гк АВ 3' д) Возьмем какой-нибудь отрезок РЯ и построим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет ВС =- РЯ, а гипотенуза АВ = 1 = 2РЯ. Тогда г'.А = а = 30', так как гйп А = —. 2' е) Аналогично п.
д) построим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С, у которого ВС = 2, АВ = 5. Тогда г'А = а. 121 у 4. Соотношения между сторонами и углими откуда а=, а=-90' — 11, с= 6, 6 188 ' в!ад б) Если 6= 10 см, Д=50', то а = . = 8,39 см, сг = 90' — 50' = 40', с=- —, = 13,05 см. !я 50' ' ' ' з!и 50' Ответ. а) — —,, 90' — 13, —,—; б) = 8,39 см, 40', = 13,05 см. 6, Ь !яд сйп3 595. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а прилежащий к нему угол равен а. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол н гипотенузу через 6 н а. 5) Найдите их значения, если 6 = 12 см, а = 42'. Решение.
а) Пусть второй катет равен а, прилежащий к нему угол равен 8, а гипотенуза равна с, Тогда а 6 6 — = !8 а, о + )д = 90, — =- сов сг, с откуда а = Ь 18 а,,д =- 90' — гл, с =- соз а б) ЕслиЬ=12см,а=42',то а = 12 см 6842' = 1! см, В = 90' — 42' = 48', !2 см с=,, = 16 см. соя 42' О т в е т. а) Ь!8 а, 90' — гх,; б) = 1! см, 48', = ! 6 см. Ь ' сова' 596. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один нз острых углов равен а.
Выразите второй острый угол и катеты через с и а и найдите их значения, если с = 24 см, а а = 35' Р е ш е н и е, Пусть второй острый угол равен,д, а катеты равны о, и Ь, причем катет, равный а, лежит против угла а. Тогда ,В = 90' — сг, а = с вш сх, Ь = с соз гх.
Если с = 24 см, сг =- 35', то д = 90' — 35' = 55', а = 24 см в)п35' - 14 см, Ь = 24 см сов 35' = 20 см. О т в е т. 90' — гл, саша, с сакса 55', = 14 см, = 20 см, 122 Гл 3 Подобные шреугольники 597. В прямоугольном треугольнике катеты равны а и 6. Выразите через а и 6 гипатенузу и острые углы треугольника и найдите их значения при а = 12, 6= 15 Р е ш е н и е. Пусть гипотенуза равна с, угол, лежащий против катета, равного а„равен сп а другой острый угол равен,З. Тогда 18,3 = -'. а Если а = 12, 6 =- 15, то с = 122+!5з = 19, Фист = —, 12 , 15 !5' 12' откуда о = 38'39', () = 51'21'.
Ответ. чгаа+ Ьз, 18 а = —, 1813 = —; 19, = 38'39', = 51'2!'. Ь а 598. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом о при основании, если: а) боковая сторона равна Ь; б) основание равно а Р е ш е н и е. а) Высота Ь треугольника равна 6 . я)п а, а основание а треугольника равно 26 сояо (рис. 155). Поэтому для площади Я треугольника получаем выражение Я = — аЬ = Ь яшсгсояст. 2 2 б) 5 = — 18 се, поэтому Я =- — ай = — 68 гт. а 1 а 2 2 ' 4 ь Ответ. а) Ь я)псгсоясг; б) — 68сг. 2 ..
а 4 599. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен о. Р е ш е н и е. Пусть в равнобедренной трапеции АВСР: ВС = 2 см, АР = 6 см, г'.А = а, ВН и СГ высоты (рис. 156). Тогда ГхАВН =- гзРСГ (по гипотенузе и катету), поэтому АН = = ГР, а так как НГ = РС = 2 см, то АН = — (АР— НГ) = 2 см. 2 А Р Рис.
156 Рис. 155 э 4. Соотношения между сторонами и углими 123 Из треугольника АВН находим: ВН = АН 1яо = 218о см. Следовательно, ~лпсп = -(АР+ ВС) ВН = 818о смз. Ответ. 818т смз. 601. Найдите углы ромба, если его дна~опали равны 2тгЗ и 2. Решение. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами, равными т/3 и 1 (рис.158). Гз Следовательно, 1 ст = — = тгЗ, откуда находим: о = 1 =- 60' и, значит, В .= 90' — 60' =- 30' (см.
рис. 158). Углы ромба равны 2ц, 2,3, 2сг и 2В, т. е. 120', 60', 120" и 60'. Ответ. 120', 60', 120', 60'. Рнс. 158 602. Стороны прямоугольника равны 3 см н ъ'3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами треугольника. Решен не. Пусть искомые углы равны о и д (рис. 159). ,Гз Тогда 18 о =- —, откуда сг = 30', а,д = 90' — гт = 60'. 3 Ответ. 30' и 60'. 600. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи а нижней ее части, если угол наклона откосов к горизонту равен 60', а высота насыпи равна 12 м (рис. 157, в учебнике рис. 209)7 Решение. Если из концов верх- бо м него основания трапеции, изображенной на рисунке 157, провести высоты к нижнему основанию (как на рисунке 156), то они разобьют нижнее основание на три отрезка. Средний отрезок равен 60 м, а каждый из крайних 12 Рис.
157 отрезков равен, м, т. е. 4тГЗ м. 18 60' Следовательно, нижнее основание трапеции (ширина насыпи в нижней ее части) равно (60+ 8тгЗ) м = 74 м. Ответ. = 74 м. 124 Гл 3 Подобные мраугольники 603. Б параллелограмме АВСР сторона АР равна !2 см, а угол ВАР равен 47'50'. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ ВР перпендикулярна к стороне АВ. Р еще н не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
