atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 24
Текст из файла (страница 24)
что А, В, С н Р являются соответственно серединами отрезков МХч', МР, РО и ОЛХ. Решение. Пусть точка ЛХ симметрична точке ЛХ относительно точки А, точка Р симметрична точке Лг относительно точки В, точка Я~ симметрична точке Р относительно точки С (рис.!95). Тогда точки А, В, С являются серединами отрезков ЛХччг, ХчгР, РЯ и остается Х доказать, что точка Р— середина отрез- А ка ЯЛХ. Обозначим середину отрезка ЯЛХ через Р Ры Согласно задаче 567 четырехугольник АВСР~ параллелограмм. Но по усло- В С вию задачи АВСР— тоже параллело- й грамм. Следовательно, точки Р1 и Р совпадают, т.
е. Р середина отрезка ЯМ. Рнс. 195 858. Докажите, что если противоположные стороны выпуклого четырехугольника не параллельны, то нх полусумма больше отрезка, соединяющего середины двух других противоположных сторон. Р е ш е н и е. Пусть АВСР выпуклый четырехугольник, в котором стороны АВ и РС не параллельны, точки ЛХ и Лг — середины сторон АР и ВС (рис. !96). Требуется доказать, что ЛХМ ( — (АВ+ СР). 2 Отметим точку Ры симметричную точке Р относительно точки Лг.
Треугольники ХРС и ЛХР!В равны по двум сторонам и углу между ними (ЛгС = ХчВ, Хч'Р = МРы аРХч'С = аР1чч'В), поэтому ВР1 = РС 146 Гл 3 Подобные г реугольники и г~РСГч = 'Р~ВЛг. Из последнего равенства следует, что ВР1 ~ РС и, следовательно, точки А, В и Р1 не лежат на одной прямой. В треугольнике АВР1 АР1 < АВ л ВРм т. е. АР1 < АВ + СР. Отрезок ЛХЛг — средняя линия треугольника РАРн поэтому АР1 =- 2ЛХХ.
Таким образом, 2 . МЛг < АВ + СР, т. е. ЛХХт < — (АВ + СР). 2 859. Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна половине его периметра, то этот четырехугольник — параллелограмм. Р е ш е н и е. Пусть АВСР— выпуклый четырехугольник, точки М, Р, туг, б) — середины его сторон (рис. 197). По условию ЛХЛХ + РЯ = — (АВ + ВС + СР + РА). 2 (1) Требуется доказать, что АВСР— параллелограмм.
Докажем, что АВ ~~ СР и АР ~~ ВС. Предположим, что это не так: например, АВ и СР не параллельны. Тогда, согласно задаче 858, ЛХХт' < — (АВ+ СР). (2) С другой стороны, В~ < -'(ВС+ РА). (3) Знак равенства в (3) имеет место в том случае, когда ВС ~~ РА. Складывая равенства (2) и (3), получаем: МК -. 'РЯ < — (АВ + ВС + СР + РА), 2 что противоречит равенству (1). Следовательно, наше предположение неве но и, значит, р АВ )( СР и АР !) ВС, т. е.
АВСР параллелограмм. А Р о хэ о с Рис 197 Рис. 196 147 Зидачи повышенной трудноснги 860. Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника, равен полусумме двух других сторон, то этот четырехугольник — трапеция или параллелограмм Р е ш е н и е. Пусть АВСР— выпуклый четырехугольник, в котором отрезок МХ, соединяющий середины противоположных сторон АР 1 и ВС, равен полусумме сторон АВ и СР, т.
е. ЛХХ = — (ЛВ + СР). 2 Тогда АВ , 'СР. В самом деле, если предположить, что АВ и СР не параллельны, то, согласно задаче 858, ЛХХ < — (АВ+ СР), 2 что противоречит условию. Итак, АВ ! СР, откуда следует, что четырехугольник АВСР трапеция или параллелограмм. 861. Диагонали трапеции АВСР пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где А — меныцее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОР и ВС, равносторонний.
Р е ш е н и е. Пусть точки Е, Е и С вЂ” середи- А В ны отрезков ОА, ОР и ВС' (рис. 198). Требуется доказать, что треугольник ЕЕС вЂ” равносторонний, т. е. ххСРО БРАВО по двум углам (углы СОР и АОВ равны, как вертикальные, углы ВАС и РСО равны, так как АВ ~ РС). Отсюда следует, что треугольник СРΠ— равносторонний, Рис 198 в частности, ОР = ОС. ЬЛОР = Д ВОС по двум сторонам и углу между ними (АО =- ВО, ОР = ОС, КАОР = ОВОС), поэтому АР = ВС. Отрезок ЕŠ— средняя линия треугольника АОР и, значит, ЕГ =- = -АР = -ВС. 1 1 2 2 Отрезок СŠ— медиана равностороннего треугольника СРО, поэтому СГ д РО, т.
е. ВАСЕВ =- 90'. Медиана КС прямоугольного треугольника СЕВ равна половине гипотенузы (задача 404), т. е. ГС =- 1 = —,ВС. 2 Аналогично, отрезок ВЕ медиана равностороннего треугольника АВО, поэтому ВЕ д АО, т. е. х'ВЕС =- 90'. Медиана ЕС прямоуголь- ! ного треугольника ВЕС равна половине гипотенузы: ЕС = — ВС. 1 2 Итак, ЕЕ = ГС = ЕС = — ВС, откуда следует, что треугольник 2 ЕГΠ— равносторонний.
148 Гл 3 Подобные г реугольнико 862. Из вершины А треугольника АВС проведены перпендикуляры,4ЛХ и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок ЛХК равен половине периметра треугольника АВС Решение. Обозначим точки пересечел ния прямой ВС с прямыми АЛХ и АК бук- М к вами Р и Е (рис.
199). В треугольнике АВР отрезок ВЛХ является биссектрисой и вы- В В С В сотой, поэтому треугольник АВР— равнобедренный: .РВ = АВ. Кроме того, ВЛХ Рис. 199 является также медианой, т. е. точка ЛХ— середина отрезка АР. Аналогично, в треугольнике АСЕ отрезок СК является биссектрисой и высотой, поэтому СЕ = АС и точка К вЂ” середина отрезка АЕ. Таким образом, отрезок ЛХК вЂ” средняя линия треугольника АРЕ и, значит, ЛХК = — РЕ = — (РВ + ВС + СЕ) = — (АВ + ВС + АС), 2 2 2 т.
е. отрезок ЛХК равен половине периметра треугольника АВС. 863. Отрезки ААп ВВ~ и СС~ соединяют вершины треугольника АВС с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой. Р е ш е н и е. Пусть точки Аш Вз и Са — середины сторон ВС, АС и АВ треугольника АВС. Согласно задаче 435 середина отрезка АА~ лежит на отрезке ВаСш причем не совпадает с точками Ва и Сш т. е. является внутренней точкой отрезка ВаСш Аналогично, середины отрезков ВВ~ и СС~ являются внутренними точками отрезков АвСз и АаВа. Таким образом, середины отрезков ААИ ВВ~ и СС~ лежат соответственно на сторонах ВзСа, АзСг и АвВз треугольника АзВзСа и не совпадают с вершинами этого треугольника. Отсюда следует, что середины отрезков ААИ ВВ~ и СС~ не лежат на одной прямой. 864.
Середины трех высот треугольника лежат на одной прямой Докажите, что этот треугольник прямоугольный. Решение. Если треугольник АВС вЂ” остроугольный, отрезки ААИ ВВ~ и СС~ — его высоты, то точки Аы В~ и С~ являются внутренними точками сторон ВС, СА и .4В и поэтому, согласно задаче 863, середины высот не лежат на одной прямой. Если треугольник АВС вЂ” тупоугольный с тупым углом А (рис.200, а), то основание высоты АА~ (точка А~) лежит на стороне ВС, а основания высот ВВ~ и СС~ (точки В~ и С1) лежат на продолжениях сторон СА и АВ (см, задачу 300). При этом середина О~ высоты АА~ лежит на средней линии ВГ1 (задача 435), а середины Оз и Оз — на продолжениях средних линий РЯ и РГХ(см.
рис.200, а). Таким образом, точка О~ лежит на стороне ВО треугольника РЕЗВ, Задачи повышенной мрудносми 149 В А, Р С А Оз С б Рис. 200 а точки Ои и Оз — на продолжениях двух других сторон этого треугольника. Поэтому точки Ог, Ои и Оз не лежат на одной прямой. Если же треугольник АВС прямоугольный с прямым углом А (рис.200, б), то его высоты, проведенные из вершин В и С, совпадают с катетами ВА и СА.
Поэтому середины Ои и Оз этих высот являются серединами катетов, а отрезок 010з — средней линией треугольника АВС. Середина О! высоты, проведенной из вершины А, лежит на средней линии ОзОз (см. задачу 435). Таким образом, середины О!, Оз и Оз высот прямоугольного треугольника лежат на одной прямой. Итак, если середины трех высот треугольника лежат на одной прямой, то этот треугольник — прямоугольный. 865. В треугольнике АВС, сторона АС которого в два раза болыпе стороны ВС, про- К ведены биссектриса СЛХ и биссектриса внешнего угла при вершине С, пересекающая прямую АВ в точке К.
Х(окажите, что Явслг = 1 1 1 ЛХ = — олслч = — Влвс = — Волги. 2 ' 3 ' 4 Р е ш е н и е. Согласно задаче 535 С Л1В ВС 1 — — (рис.201). Отсюда слеРнс. 201 ЛХВ ! дует, что = —,. Согласно задаче 619 ВК ВС 1 1 ; = — и, следовательно, ВК = — АК = АВ, а так как ЛХВ = = — АВ, то ЛХВ = -ЛХК, т. е. — —, = —.
ЛХВ 1 3 ' 4 ' ' ' Л!К 4' Треугольники ВСЛХ, АСЛХ, АВС, СЛХК имеют общую высоту, проведенную из вершины С, поэтому 9вслч Л!В ! Внсм МВ ! Злвс АВ 3 Всма ЛХК 4 Ввсм ЛХБ 1 олслт Л1А 2' Отсюда получаем: ! 1 1 ВВСЛ1 = 5ЛСМ = оЛВС = оСЛ1К ° 2 3 ' 4 150 Гл 3 Подобные г реугольники КЛХ; Хк = 3, т.
е. КМ = ЗГэ'К. Таким образом, АК = КЛХ, а так как АЛХ = 2ССы то АК = СС1. Отрезок В1К средняя линия треугольника АСЛХ, поэтому В|К !) ВА1 и так как А1К () ВВП то ВВ,КА~ — параллелограмм. Отсюда следует, что А1К = ВВ1. Итак, в треугольнике АА~К А К=ВВ, АК=СС, т. е. стороны треугольника АА1К соответственно равны медианам треугольника АВС и, значит, треугольник АА~К равен треугольнику олл,к 3 ЕГО (см. условие задачи).
Тем самым нужно доказать, что ' Влас ! Так как ВЛХ = 2ВС, ВА1 = — ВС, то алим = 2БАВС, Влвл, = 2 = — 54вс и поэтому 2 3 сАА, м = ВАВлт слвл~ 2 ~АВС. Треугольники АА1ЛХ и АА1К имеют общую высоту, проведенную 1 из вершины Аы и АК = — АМ. Поэтому 2 1 3 ААдг 2сллон 4 АВС Отсюда получаем; Вял( н" Влвс что и требовалось доказать. 3 4' 866. Стороны треугольника ЕГО соответственно равны медианам тре- Ввва 3 угольника АВС. Докажите, что Влас Решение.
Пусть ААы ВВы СС1 — медианы треугольника АВС, Π— точка пересечения медиан (рис. 202). Проведем прямую АМ, параллельную медиане ССп и пря- А мую А~К, параллельную медиане Х ВВ1 (см. рис.202). Тогда отрезок С В ! к СС1 — средняя линия треугольника АВЛХ и поэтому АЛХ = 2ССР О Пусть прямая ВВ1 пересекает от- В А, С Лг резок АЛХ в точке Лг. Так как АО: ОА~ = 2, то Адг: Хк = 2 (см.
заРис. 202 дачу 556), т. е. АЛг =- 2ЛХК и, значит, АК =- ЗЛХХк. 1 Поскольку ВС = СЛХ и ВА1 = А~С = — ВС, то А1ЛХ: ВА~ = 3 н, 2 следовательно, 151 Задачи повышенной трудносши 867. В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А и делящая медиану ВЛХ в отношении 1: 2, считая от вершины, пересекает сторону ВС' в точке К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
