atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найдите отношение площадей треугольников АВК и АВС. Решение. Обозначим буквой Р точку пересечения отрезка АК и медианы ВЛХ и проведем через точку ЛХ прямую, параллельную АК. Она пересекает сторону ВС в точке Е (рис.203). Так как ВХХ:РЛХ = — 1; 2, то ВК: КЕ = 1: 2 (см. задачу 556), т. е. КЕ = 2ВК.
Отрезок МЕ средняя линия треугольника АКС, поэтому ЕС = КЕ = 2ВК. Таким образом, ВС = ВК+ КЕ+ ЕС = 5ВК, т. е. ВК 1 ' ВС' 5' Треугольники АВК и АВС имеют общую высоту, проведенную из вершины А, поэтому Впвк ВК 1 5 нас ВС 5 Ответ. 1: 5. 868. Через вершину А параллелограмма АВСВ проведена прямая, пересекающая прямые ВХ1, СВ и ВС соответственно в точках ЛХ, ХУ и Р Докажите, что отрезок АЛХ является средним пропорциональным между ЛХЛг и МР. Решение. ХьАЛХО ХхРЛХВ по двум углам (рис.204), поэтому МУ АМ ЛХВ ЛХР Аналогично, ХзКЛХХ) ХзАЛХВ, поэтому МХХ ЛХЛг МВ АМ ЛХ ХХ Приравнивая два выражения для отношения —, получаем: ЛХВ' АЛХ ЛХ~У МР АМ' откуда АЛХа = МЛХ МР, Ачч — чнн. МР, С Р А И С А Рис. 204 Рис 203 152 Гл 3 Подобные г ргугольники т.
е. отрезок АМ является средним пропорциональным между ЛГУ МВ 869. Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в и раз дальше. чем от другой (и =- 2, 3, 4). Р е ш е н и е. Пусть ЛВСР— данная равнобедренная трапеция, Х— искомая точка, принадлежащая большему основанию АР и отстоящая ХЛХ от данной боковой стороны ЛВ в п раз дальше, чем от СР, т.
е. Хдг =. и, где ХЛХ и Х1т' — перпендикуляры к прямым АВ и СР (рис. 205). ЛАЛТХ ГзРгт'Х (по двум углам), поэтому АХ ХЫ ХР Х1У Таким образом, задача сводится к построению точки Х, которая делит отрезок АР в заданном отношении, т. е.
АХ;ХР = и: !. Построение такой точки описано в решении задачи 585. 870. Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку Р прямой АВ, АР АС' не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы =- . Всегда ли задача имеет решение? Решение. Пусть АС ) СВ (рис. 206). Отметим точку ЛХ, не лежащую на прямой АВ, и на луче АМ отложим отрезок АСп равный АС, а затем на луче С1А отложим отрезок С1Вц равный СВ. Проведем через точку С~ прямую, параллельную прямой В1В. Она пересекает прямую АВ в искомой точке Р. Действительно, так как С|Р ~~ В1В, то С| В1 ЛВ1 (см. задачу 556).
Отсюда, используя свойства пропорций, получаем: С|В1 АВ1 + С|В~ АС~ РВ АВ+ РВ АР Но С~В1 = СВ, АС~ = АС (по построению), поэтому СВ АС АС АР РВ АР' СВ РВ С В Р Х Р А Рис. 205 Рис. 206 153 Задаяи иовыгиенной трудноспги Тем самым доказано, что точка Р искомая. Если АС ( СВ, то построение искомой точки Р проводится таким же образом, как и в случае АС > СВ, но только теперь точка А будет лежать между С~ и Вы АС Наконец, если АС =- СВ, то — = 1, а для любой точки Р прямой СВ АР АВ, не лежащей на отрезке АВ, ф !. Таким образом, в этом случае построение точки Р невозможно.
О т в е т. Не всегда. 871. Постройте равнобедренный треугольник по углу между боковыми сторонами н сумме основания н высоты, проведенной к основанию. Решение. Пусть к'.68 — данный угол, Рбэ — данный отрезок (рис.207, а). Требуется построить треугольник АВС, в котором к'.Л = к'.ггк, АВ = ЛС, ВС + АН = Рь2, где АН вЂ” высота треугольника АВС.
Анализ. Пусть АВС вЂ” искомый треугольник (рис.207, б). Проведем какой-нибудь отрезок В~Сн параллельный стороне ВС. Получим треугольник АВ~Сн подобный треугольнику АВС. Ясно, что равнобедренный треугольник АВ~С~ с заданным углом А между боковыми сторонами построить нетрудно. Из подобия треугольников следует: В~ С~ ВС ЛН~ ЛН ' Прибавив к обеим частям равенства 1, получим: В~С~ ВС +1 — 1Н+1, или В~С~ вЛН~ ВС+ЛН АН Л Н Но ВС+ АН = Рс,) по условию, поэтому В~С~ -ь АН~ Рб7 АН, АН В Н б Рнс. 207 154 Гл 3 Подобные треугольники откуда РЯ. АН~ В~С~ Ч- АН1 (2) Если треугольник АВ1С| построен, то отрезки с длинами АН1 и (В1С| + АН1) нам известны. Отрезок Рьу задан условием задачи.
Используя формулу (2), можно построить отрезок длины АН, что дает возможность построить весь треугольник АВС. Построение. Строим какой-нибудь равнобедренный треугольник АВ1Сп в котором г'А = Лй, АВ~ = АСн и проводим высоту АН1 в этом треугольнике. По трем известным отрезкам с длинами Рь), АН1 и (В|С~ + АН~) строим отрезок, длина которого выражается формулой (2) (см. задачу 623). Отложив этот отрезок на луче АН~ от точки А, получим точку Н. Проводим через точку Н прямую, параллельную В~Сп и получаем искомый треугольник АВС (рис.207, б).
Доказательство. По построению г'А = Лй. Треугольники АВС и АВ|С1 подобны, поэтому АВ =- АС и выполняется равенство (1), откуда следует, что ВС+АН= ' ' ' АН. АН~ (3) Но отрезок АН строился по формуле (2). Подставляя выражение (2) для АН в равенство (3), получаем ВС+ АН = РЦ. Таким образом, построенный треугольник АВС' удовлетворяет всем условиям задачи. Исследование. Из построения видно, что задача всегда имеет решение, если угол йй — не развернутый. Формула (2) показывает, что какой бы треугольник АВ1Сн подобный искомому, мы ни взяли, величина АН будет иметь одно и то же значение. Это доказывает единственность искомого треугольника.
872. Постройте треугольник по двум сторонам н биссектрисе угла между ними. Решение. Пусть даны отрезки Р1Яы РЯз, Рзьез. Требуется построить треугольник АВС, у которого .АВ = Р|ф, АС = РзЯз, АР = РЯз, где АР— биссектриса треугольника. Анализ. Пусть ЬАВС вЂ” искомый треугольник (рис.208). Для краткости записи обозначим длины данных отрезков Р1Он РЯз н Рзь)з через 6, с и а.
Тогда АВ = .= 5, АС = с, АР = а. Проведем ВЕ ~ АС. Рис. 208 155 Задачи повышенной трудности Получим равнобедренный треугольник АВЕ (АВ =- ВЕ = Ь). Выразим РЕ через а, 6, с. Из подобия треугольников ЕРВ и АВС (по двум углам) имеем: РЕ ВЕ аб ,, откуда РЕ = с По данным отрезкам с длинами а„б, с можно построить отрезок РЕ (задача 623). После этого можно построить треугольник АВЕ, а затем искомый треугольник АВС. аб Построение.
Строим отрезок, длина которого равна —. Далее с строим треугольник АВЕ по трем сторонам: АВ = ВЕ =- 6, АЕ = аб =- а+ . Затем через точку А проводим луч АЛХ так, что ~МАЕ = с .=- лЕАВ, и на этом луче откладываем отрезок АС =- с. Треугольник АВС вЂ” искомый. Доказательство. По построению АВ = 6, АС = с, луч АЕ биссектриса угла САВ. Пусть Р— точка пересечения АЕ и ВС.
Из подобия треугольников АРС и ЕРВ следует: АР АС АС аб с = — ', откуда АР =- РŠ— ' =- — — =- а, с т. е. биссектриса АР треугольника АВС равна а,. Итак, треугольник АВС удовлетворяет всем условиям задачи. Исследование. Ясно, что треугольник АВС можно построить в том и только в том случае, когда можно построить равнобедренный тре- угольник АВЕ, а для этого его стороны должны удовлетворять соот- ношению АЕ < АВ+ ВЕ = 2 АВ, т. е. должно выполняться нера- венство аб 2бс а+ — <26, или а< с 6+с Возвращаясь к исходным отрезкам, запишем это неравенство в ви- де: 2Р1 ее1 Рччч)з (1) Р~ Г2~ + Р Оч Если данные отрезки Р~Я ы Рз()з, Рзсуз удовлетворяют условию (1), то задача имеет решение.
В противном случае решения нет. Если решение есть, то оно единственное. В самом деле, допустим, что имеются два треугольника АВС и А~ В|См удовлетворяющие усло- виям задачи. Для каждого из них выполним такое же построение, как на рисунке 208. Тогда получим: ЬАВЕ = ЬЛ~В1Е1 (по трем сто- ронам), поэтому с'РЛВ = ~Р1А~Вн Следовательно, в треугольниках АВС и А1В|С| углы А и А| равны, а значит, равны и сами тре- угольники (по двум сторонам и углу между ними). Это и доказывает единственность решения. 873.
Постройте треугольник ЛИС, если даны пА, 'С и отрезок, равный сумме стороны АС и высоты ВП. 156 Гл 3 Подобные г реугольники В Решение. Пусть ~6~61 и г.'.Ьзйз данные углы, Рь2 — данный отрезок. Требуется построить треугольник АВС, у которого г'А = г'.Ь~йы г'С =- лйзйз, АС+ ВН = РЯ, где ВН вЂ” высота '11 ' 1 треугольника Эта задача решается методом подобия ана- Л Н С логично задаче 871. Пусть АВС вЂ” искомый треугольник, у которого г'.А = ~6~бы г'.С = Рис. 209 =- ага)гш АС+ ВН = РЯ (рис.
209). Проведем какой-нибудь отрезок А~Си параллельный стороне АС. Получим треугольник А~ВСы подобный треугольнику АВС. Из подобия этих треугольников следует соотношение, аналогичное формуле (2) (см. решение задачи 871): Рьг ВВ1 А|С~ Ч- ВН~ (4) 874. Постройте треугольник по трем высотам. Решение. Пусть даны отрезки Р~Ян РзЯя, РЯз. Требуется построить треугольник АВС, высоты которого, проведенные из вершин А, В и С, соответственно равны РЯн Рзоэ и РЯз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
