atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 29
Текст из файла (страница 29)
задачу 664). Следовательно, ЛВ АР— = - —, откуда АВ =- АР Абз. 2 АЦ АВ' 671. Через точку А проведены касательная,4В ( — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и Р. Найдите СР, если а) АВ= 4 ем, АС= 2 ем, б) АВ=5 си, АР= 10см. Решение. Согласно утверждению, сформулированному в задаче 670, АВз =. АС АР. Поэтому: а) АР = см = 8 см, откуда СР = АР— АС = б см; 4 4 2 б) АС = — см = 2,5 см, откуда СР = АР— АС.= 7,5 см. 5 5 10 Ответ. а) 6 см; б) 7,5 см.
672. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Вп Сь а другая †. в точках Вм Сз Докажите, что АВ1 ЛС~ = АВ,4Се. Решение. Пусть АР касательная (Р точка касания). Тогда согласно утверждению, сформулированному в задаче 670, АРз = АВ| . АС1 = АВз . АСа. Рис. 235 Рис. 234 174 Хл.
4 Окружность ф 3. Четыре замечательные точки треугольника 674. Из точки Лт биссектрисы неразвернутого угла О проведены перпендикуляры Л1А и ЛХВ к сторонам этого угла. Докажите, что АВ Х ОЛХ. Решение. Прямоугольные треугольники ОАЛХ и ОВЛХ грис.236) равны по гипотенузе и острому углу, поэтому ОА = — ОВ. Прямая ОЛХ содержит биссектрису равнобедренного треугольника ОАВ, а значит, содержит и его высоту. Следовательно, АВ 3 ОЛ1. 675.
Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке .4. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА Р е ш е н и е. Пусть О~ и Оа — центры данных окружностей (рис.237). Каждая из этих точек равноудалена от сторон угла О и, следовательно, лежит на биссектрисе этого угла, Отрезки О~А и ОзА перпендикулярны к общей касательной, поэтому точки Оы А и Оз лежат на одной прямой. Таким образом, все четыре точки: О, Оы А и Оз — лежат на одной прямой.
676. Стороны угла А касаются окружности с центром О радиуса г. Найдите: а) ОА. если г = 5 см, кА = 60', б) г, если ОА = 14 дм, с.4 = 90'. Решение. Точка О равноудалена от сторон угла А (рис.238), поэтому луч АΠ— биссектриса этого угла. Имеем: а) ОА =, = 10 см; б) г = ОА вш 45' = 7хХ2 дм. аш 30' Ответ. а) 10 см; б) 7хХ2 дм. 677. Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ЛВС пересекаются в точке О. Докажите, что точка О является центром окружности, касающейся прямых ЛВ, ВС, ЛС. Р еще н не.
Проведем из точки О перпендикуляры ОАп ОВ~ и ОС~ к прямым ВС, СА и АВ (рис. 239). Поскольку точка О лежит на биссектрисе угла А~ВСБ то она равноудалена от прямых АВ и ВС, а значит, ОА1 = ОСы Аналогично, ОА~ = ОВР Следовательно, окружность радиуса ОА~ проходит через точки В~ и С1. Прямые ВС, СА и АВ касаются этой окружности в точках Аы В~ и Сп так как они перпендикулярны соответственно к радиусам ОАБ ОВ~ и ОСР О А Рис. 236 Рис 238 Рис. 237 175 Э 3 Четыре зимеяательньт точки треугольника 678. Биссектрисы,4Л~ и ВВ~ треугольника АВС пересекаются в точке Л! Найдите углы ЛСМ и ВСЛХ.
если: а) аЛЛХВ =- 136', б) кЛЛХВ =- 111'. Решение. Поскольку ЛХ вЂ” точка пересечения биссектрис углов А и В треугольника АВС (рис. 240), то луч СЛХ вЂ” биссектриса угла С этого треугольника. Следовательно, л'.АСЛХ = аВСЛХ .= аС 180' -- кЛ вЂ” аВ, аЛ аВ = 90' 2 2 2 2 =- 90' — (180' — л'.АЛХВ) = л'АЛХ — 90'. Таким образом: а) г'АСЛХ = л'ВСЛХ = 136' — 90' = 46' б) л'.АСЛХ = л'.ВСЛХ = 111' — 90' = 21'. От в ет. а) 46' и 46', б) 21' и 21'.
679. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника ЛВС пересекает сторону ЛС в точке !). Найдите. а) ЛР и СВ, если ВХЗ = 5 см, ЛС = 8,5 см; б) ЛС, если ВР = 11,4 см, ЛР = 3,2 см. Р е ш е н и е. Точка Р равноудалена от концов отрезка СВ !рис. 241), т. е. ВР = СР. Поэтому: а) СР=-ВРэ асм, АР=АС вЂ” СР=8,5см — 5 ем — — 3,5 ем; б) АС = ЛР+ СР = АР+ ВР = 3,2 ем+ 11,4 см =!4,6 см. Ответ.
а) 3,5 см и 5 см; б) 14,6 см. 680. Серединные перпендикуляры к сторонам ЛВ и ЛС' треугольника ЛВС пересекаются в точке Р стороны ВС. Докажите, что, а) !Э вЂ” середина стороны ВС; б) ЛА =-.'В т лС. Р е ш е н и е. а) Точка Р лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ 1рис.242), поэтому АР = ВР. Аналогично АР = СР. Следовательно, ВР = СР, а значит, точка Р— середина отрезка ВС. б) Поскольку АР = ВР, то треугольник АВР— равнобедренный, а значит, л'.ВАР =- л'.В.
Аналогично г'САР =- л'.С. Поэтому аА = л'ВАР+ л'САР = ЛВ+ ЛС. С Л В ! Рис 241 Рис. 240 Рис. 239 176 Хл. 4 Окружность 681. Серединный перпендикуляр к стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону ВС' в точке Е. Найдите основание АС треугольника, если периметр треугольника АЕС равен 27 см, а АВ = !8 см. Р е ш е н и е. Треугольник АВС вЂ” равнобедренный (рис. 243), поэтому ВС = АВ = !8 см. Точка Е лежит на серединном перпендикуляре к стороне АВ, а значит, АЕ = ВЕ. Имеем: АС = (АС+ АЕ+ ЕС) — (АЕ ь ЕС) = = (АС+АЕ+ЕС) — (ВЕ+ЕС) = = (АС+ АЕ -у ЕС) — ВС = 27 см — 18 см = 9 см. Ответ. 9 см.
682. Равнобедренные треугольники АВС и АВХ7 имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая СР проходит через середину отрезка АВ. Р е ш е н и е. Поскольку треугольник АВС равнобедренный, то точка С равноудалена от концов отрезка АВ, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Аналогично, точка Р лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Следовательно, прямая СР и есть указанный серединный перпендикуляр, поэтому прямая СР проходит через середину отрезка АВ. 683. Докажите, что если в треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, то медиана АЛХ треугольника ие является высотой.
Решение. Предположим, что медиана АЛХ является высотой. Тогда она является серединным перпендикуляром к отрезку ВС и, следовательно, точка А равноудалена от концов отрезка ВС. Но по условию задачи АВ ф АС. Поэтому медиана АЛХ треугольника АВС не может быть высотой. 684. Биссектрисы углов при основании .4В равнобедренного треугольника АВС пересекаются в точке ЛгХй Докажите, что прямая СЛХ перпендикулярна к прямой АВ.
Решение. Каждый из углов А и В треугольника АВЛХ равен половине угла при основании треугольника АВС, а значит, эти углы равны. Следовательно, треугольник АВЛХ вЂ” также равнобедрен- Рис. 243 Рис. 242 177 р 4. Вписанная и описанная окружности ный. Поэтому прямая СЛХ вЂ” серединный перпендикуляр к отрезку АВ (см. решение задачи 682). 685. Высоты АА~ н ВВ1 равнобедренного треугольника АВС, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке ЛХ. Докажите, что прямая ЛХС вЂ” серединный перпендикуляр к отрезку АВ Р е ш е н и е.
По теореме о пересечении высот треугольника прямая ЛХС вЂ” высота равнобедренного треугольника АВС, а значит, и его медиана. Но это н означает, что прямая ЛХС вЂ” серединный перпендикуляр к отрезку АВ. 687. Даны прямая а н две точки А н В, лежащие по одну сторону от прямой. На прямой а постройте точку ЛХ, равноудаленную от точек А и В Р е ш е н и е. Построим серединный перпендикуляр к отрезку АВ (см. задачу 686) и отметим точку ЛХ пересечения этого перпендикуляра с прямой и (рис.244).
Точка ЛХ вЂ” искомая. 688. Даны угол н отрезок Постройте точку, лежащую внутри угла, равноудаленную от его сторон н равноудаленную от концов данного отрезка. Решение. Построим биссектрису данного угла (рис.245), серединный перпендикуляр к данному отрезку (см. задачу 686) и отметим точку нх пересечения. Эта точка — искомая. ф 4. Вписанная и описанная окружности 689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см.
Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Р е ш е н и е. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, АС вЂ” его основание, О центр вписанной окружности, Аы Вы С1 — точки, в которых вписанная окружность касается сторон ВС, СА, АВ (рис. 246). Луч ВО биссектриса угла, противолежащего основанию равнобедренного треугольника, поэтому прямая ВО является серединным перпендикуляром к основанию АС. Отрезок ОВ1 перпендикулярен к стороне АС.
Рнс 245 Рнс. 244 Рл. 4 Окружность 178 Следовательно, точка В! лежит на прямой ОВ и является серединой основания АС, а значит, АВ! = 5 см. По теореме Пифагора ВВ! = хг169 — 25 см = !2 см. Прямоугольные треугольники ВОС! н ВАВ! подобны, так как имеют общий острый угол В. Поэтому г 12см-г 1 , откуда г = 3- см. 5 см 13 см 1 Ответ. 3 — см. 3 Рис. 246 5м 12м — — , откуда АС = 50 см. 60 см' 2 Ответ. 50 см, 691. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания.
Найдите периметр треугольника. Решение. Обратимся к рисунку 246. Из условия задачи следует, что боковая сторона треугольника равна 3 см + 4 см = 7 см. Поскольку отрезки касательных, проведенных из вершины основания, равны, то основание равно 3 см + 3 см = 6 см. Следовательно, периметр треугольника равен 7 см + 7 см + 6 см = 20 см. О т в е т. 20 см. 692. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ. ВС и АС в точках Р, Я и Л. Найдите АР, РВ, ВО., ОС, СЛ, ВА, если АВ = 10 см, ВС = ! 2 см, СА = 5 см. 690.
Найдите основание равнобедренного тре- В угольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении !2: 5, считая от вершины, а боковая С А сторона равна 60 см. ! 1 Решение. Пусть АВС вЂ” данный тре- О угольник, АС вЂ” его основание, Π— центр вписанной окружности, А!, В!, С! — точ- А В ки, в которых вписанная окружность касает- 1 ся сторон ВС, СА, АВ !см.
рис.246). Если отрезок ВО обозначить через 12ш, то радиус вписанной окружности окажется равным 5т, а высота треугольника АВС, проведенная к основанию, — равной 17х. Из подобия треугольников ВОС! и ВАВ! !см. решение задачи 689) находим: 179 Э 4. Вписанная и описанная окружности Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
