atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, то АР = ЛА, РВ = ВЯ, ЯС = СЛ (рис. 247). Следовательно, АР+ РВ = АВ = 1О см, ВР+ ЯС = ВС = — 12 см, ЯС + АР = СА = 5 см. Из этих трех равенств находим: АР=1,5см, РВ=8,5см, СЛ=3,5см, а значит, ЛА = 1,5 см, ВЯ = 8,5 см, СЛ = 3,5 см. Ответ. 1,5 см, 8,5 см, 8,5 см, 3,5 см, 3,5 см, 1,5 см. 693. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, г = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см. Р е ш е н и е, а) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А. Пусть Π— центр вписанной окружности, Аы Вы С1— точки, в которых вписанная окружность касается сторон ВС, СА, АВ (рис.
248). Четырехугольник АВгОС~ — квадрат, поэтому АВ1 = = АС| = г = 4 см. Имеем: АВ+ ВС+ СА = АС1 + С1В+ ВА, + А,С+ СВ, + В,А Поскольку отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, то С~В = ВА1 и СВ~ = А~С. Таким образом, АВ+ ВС+ СА =- 2г+ 2ВА1 + 2А1С.= 2г+ 2ВС = 8 ем + 52 см = 60 см. б) Аналогично получаем: АВ+ ВС+ СА = 1О ем+ 24 см+ 2г. По теореме Пифагора (г+ 5 см)з+ (г+!2 см)а .= (5 см + 12 см)з, А Рис. 248 Рис 247 180 Ул.
4 Окружность откуда находим: г =- 3 см. Таким образом, периметр треугольника АВС равен 40 см. Ответ. а) 60 см; б) 40 см. 694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов вп Р е ш е н и е. В ходе решения задачи 693, а было установлено, что периметр данного треугольника равен сумме его удвоенной гипотенузы и диаметра вписанной окружности.
Поэтому диаметр вписанной окружности равен гп — с. Ответ. т — с. 695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна !5 см. Найдите периметр этого четырехугольника. Р е ш е н и е. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, поэтому периметр данного четырехугольника равен 2 15см=30см. О т в е т. 30 ем. 696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб. Решение.
Если в параллелограмм со смежными сторонами и и 6 можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны: 2а = 26, откуда а = 6. Следовательно, этот параллелограмм— ромб. 697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности. Р е ш е н и е. Соединим центр вписанной окружности с вершинами многоугольника отрезками грис. 249). В результате многоугольник окажется разделенным на треугольники, в каждом из которых за основание можно принять сторону многоугольника, а за высоту— радиус г вписанной окружности.
Площадь многоугольника равна сумме площадей этих треугольников, т. е. Рис 249 произведения общего множителя г на половину периметра многоугольника. 698. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 12 см, а радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь четырехугольника. Р е ш е н и е. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, поэтому периметр данного четырехугольника равен 2 12 см = 24 см. Площадь описанного многоугольника равна половине 181 э" 4. Вписанная и описанная окружносши произведения его периметра на радиус вписанной окружности (см.
задачу 697). Следовательно, площадь четырехугольника равна 60 см~. Ответ. 60 смт. 699. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 10 см, а его площадь — 12 см'. Найдите радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник. Ре ш е н и е. В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, поэтому периметр данного четырехугольника равен 2 1О см = 20 см. Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности (см.
задачу 697). Следовательно, радиус вписанной окружности 12 равен — см = 1,2 см. 1О Ответ. 1,2 см, 700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность Решен ие. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому диагонали ромба разделяют его на четыре прямоугольных треугольника, равных друг другу по двум катетам.
Следовательно, высоты этих треугольников, проведенные из вершины О прямых углов, также равны. Иными словами, если провести окружность с центром О, проходящую через основание одной из этих высот, то она пройдет и через основания трех других высот (рис.250). Стороны ромба касаются этой окружности, так как они соответственно перпендикулярны к ее радиусам. Рис.
250 701. Начертите три треугольника. остроугольный, прямоугольный и тупо- угольный. В каждый из них впишите окружность. Р е ш е н и е. Чтобы вписать окружность в данный треугольник, нужно построить биссектрисы двух его углов и найти точку их пересечения — центр вписанной окружности. Затем из этой точки следует провести перпендикуляр к какой-нибудь стороне.
Окружность с найденным центром, проходящая через основание этого перпендикуляра,— искомая вписанная окружность. 702. В окружность вписан треугольник АВС так, что А — диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) — ВС = 134', б) АС = = 70'. Решение. Вписанный угол С опирается на полуокружность. Следовательно, угол С вЂ” прямой. По теореме о вписанном угле: а) с'.А = — '- — = 67', а значит, с'.В = 90' — 67' = 23', 134' 2 182 Рл. э' Окружность б) с'В =, = 35', а значит, кА = 90' — 35' = 55'. 2 Ответ. а) 67', 23' и 90', б) 55', 35' и 90'. 703. 8 окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основа- нием ВС. Найдите углы треугольника, если - ВС = !02'.
102' Решение. По теореме о вписанном угле кА =. =- 51' или 2 с'А = = 129', а значит, с'В = с'С = = 64'30' 360 102 о !80' — 51' 2, ', ' 2 или с'В = кС = — — — — — = 25'30'. 180' — !29' 2 Ответ. 51', 64'30', 64'30' или 129', 25'30', 25'30'. 704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника а) Докажите, что точка Π— середина гипотенузы, б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен г), а один нз острых углов треугольника равен о. Р е ш е н и е. а) Вписанный прямой угол опирается на полуокружность. Поэтому гипотенуза треугольника является диаметром, а значит, точка Π— середина гипотенузы. б) Гипотенуза треугольника равна с), а значит, его катеты равны с)вша и г)созсг. Ответ.
б) г), с)вшоо г)созсь. 705. Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) ЛС" = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = !8 см, АВ = 30'. Решение. Радиус описанной окружности равен половине гипоте- АВ нузы (см. задачу 704), т.
е. равен, Имеем: а)АВ = х/64+ 36 см = 10 см, — = 5 см; АВ б) АВ = 36 см, — — =- 18 см. АВ 2 Ответ. а) 5 см; б) 18 см. 706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности равен !О см.
Решен не. По теореме о пересечении медиан треугольника высота 3 данного равностороннего треугольника равна — . Г0 см = 15 см, а зна- 2 чит, его сторона равна 10хгЗ см. Ответ. 10х73 см. 707. Угол, пратнволежашнй основанию равнобедренного треугольника, равен 120', боковая сторона треугольника равна 8 см Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника 183 Э 4.
Вписанная и описанная окружносгпи Решен не. Пусть АВС вЂ” данный треугольник, АС его основание, Π— центр описанной окружности (рис.251). Поскольку углы ОВА и ОВС равны, то каждый из них равен 60', Таким образом, в равнобедренном треугольнике ОАВ один из углов равен 60', а значит, этот треугольник равносторонний. Поэтому радиус ОА описанной окружности равен 8 см, а ее диаметр — 16 см. О т в е т. 16 ем. 708. Докажите, что можно описать окружность а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.
Решение. а) Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам. Поэтому окружность с центром в точке пересечения диагоналей, проходящая через одну из его вершин, проходит и через три другие вершины, т. е. является окружностью, описанной около прямоугольника. б) Пусть АВСТ) — данная трапеция с основаниями АВ и ВС, О точка пересечения серединных перпендикуляров ОЛХ и ОХ к ее сторонам АВ и СТ) (рис.252). Тогда ОА = ОВ и ОС = ОР. Углы при основании равнобедренной трапеции равны (см.
задачу 388), а отрезок МХ параллелен основаниям (см. задачу 386). Следовательно, з'.АЛТХ = с'.ВХЛХ, а значит, з'ОЛТХ =- ГОХЛХ, т. е. треугольник ОЛТХ -- равнобедренный. Прямоугольные треугольники ОВЛХ и ОСХ равны по двум катетам, поэтому ОВ = ОС. Итак, ОА =- ОВ =- ОС = = ОВ. Поэтому окружность с центром в точке О, проходящая через одну из вершин трапеции, проходит и через три другие ее вершины, т. е. является окружностью, описанной около трапеции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
