atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 32
Текст из файла (страница 32)
задачу 729) около четырехугольника АСВО можно описать окружность. Дополнипзльныз задачи 189 731. Докажите, что около выпукло- В, С, го четырехугольника АВСО, образованного цри пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность С Решение. Пусть А,В~С~Р~ А данная трапеция (рис.261). Угол А четырехугольника АВСВ равен 180'— аА~ аВ~ — — — — — —, где л'А~ и л'В~ — углы 2 2 Рис.
261 трапеции. Ио л.'А~ + АВ~ =- 180'. Следовательно, '.4 = 90'. Аналогично, л'С =- 90'. Таким образом, в четырехугольнике АНСИ сумма противоположных углов А и С равна 180'. Поэтому (см. задачу 729) около четырехугольника АВСВ можно описать окружность. 732. В прямоугольном треугольнике,4ВС из точки Л1 стороны АС проведен перпендикуляр МН к гипоте- 4 нузе АВ Докажите, что углы МНС и МВС равны Решение. В четырехугольнике ВСМН противоположные углы С и Н прямые (рис.262), а значит, сумма этих углов равна 180'. Поэтому (см. задачу 729) около этого четырехугольника можно описать окружность. Опишем ее.
Тогда окажется, что вписанные углы ЛТНС и МВС равны, так как они опираются на одну и ту же дугу ЛХС. Рис. 262 733. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см Решение. Центры указанных окружностей совпадают с точкой пересечения медиан треугольника, причем радиус описанной окружности равен расстоянию от этой точки до вершины, а радиус вписанной окружности — расстоянию от этой точки до стороны. Из теоремы о пересечении медиан треугольника следует, что радиус вписанной окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности, т.
е. равен 5 см. Ответ. 5 см. 734. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат. Решение, Если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник (см, задачу 709). Если же в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат (см.
задачу 721). 190 Ул. 4 Окружность В С 735. В трапецию с основаниями а и 6 можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность Найдите радиус вписанной окружности. Решение. Рассмотрим трапецию АВСВ Л О с основаниями АВ =- а и ВС = 6 (рис.
263). В, С Для определенности будем считать, что и > > 6. Поскольку около данной трапеции можно Рис. 263 описать окружность, то эта трапеция равнобедренная (см. задачу 710), т. е. АВ = СР. С другой стороны, поскольку в эту трапецию можно вписать окружность, то АВ + СВ = 2АВ = а + + Ь, откуда АВ = —. 2 Пусть ВВ| и СС~ перпендикуляры, проведенные из точек В и С к основанию АВ. Тогда, очевидно, ВВ| = СС1 =- 2г, где г — радиус окружности, вписанной в трапецию. Следовательно, прямоугольные треугольники АВВ~ и РСС1 равны по гипотенузе и катету.
Поэтому АВ1 =- С| В, а поскольку В1С1 = ВС = 6, то АВ а — 6 2 Осталось применить теорему Пифагора к треугольнику АВВП (а — 6)" (а + 6) 4 4 откуда ъ'аЬ г= 2 э'а66 О т в е т. 736. Даны прямая а, точка А, лежащая иа этой прямой, и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходягцую через точку В и касающуюся прямой а в точке Л. Р е ш е н и е. Построим серединный перпендикуляр к отрезку АВ, прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную к прямой и, и найдем точку О их пересечения (рис.264). Окружность с центром 0 радиуса ОА — искомая.
Рис. 264 737. Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни иа одной из них Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых Решение. Через произвольную точку А одной из прямых проведем прямую, перпендикулярную к этой прямой. Пусть  — точка пересечения проведенной прямой со второй из данных прямых (рис. 265).
191 Задачи повышенной гпрудноспич Найдем середину ЛХ отрезка АВ и проведем через нее прямую, перпендикулярную ранее проведенной. Затем проведем окружность ЛВ радиуса — с центром в данной точке и обо- 2 ~ о значим буквой О одну из точек пересечения этой окружности с последней из проведенных прямых. Окружность с центром О радиуса А — — искомая.
2 Ясно, что если данная точка лежит между данными прямыми, то задача имеет два ре- Рис. 265 щения; в противном случае задача не имеет ни одного решения. Задачи повышенной трудности 877. Две окружности имеют единственную общую точку ЛХ. Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну окружность в точках Л и Лы а другую — в точках В и Вь Докажите, что ЛА~ 'З ВВь Решен не. Пусть 01 и Оз — пентры данных окружностей.
Тогда точка ЛХ лежит на прямой 0102 (в противном случае точка, симметричная точке ЛХ относительно прямой 010ю была бы еще одной общей точкой данных окружностей). Следовательно, прямая СХЗ, проходящая через точку ЛХ и перпендикулярная к прямой 010ю является общей касательной двух данных окружностей. Возможны два случая: данные окружности лежат по одну сторону от общей касательной (рис. 266, а); данные окружности лежат по разные стороны от общей касательной (рис. 266, б).
Идея доказательства в обоих случаях одна и та же. Поэтому доказательство проведем для первого случая, а в скобках укажем те изменения, которые следует внести в текст доказательства во втором случае. Поскольку угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной внутри угла дуги (см. задачу 664), то величины дуг ЛХА~ и ЛХВы заключенных внут- Рнс. 266 192 Ул. 4 Окружность ри угла А1ЛХС (внутри вертикальных углов А1ЛХС и В|ЛХР), равны. Следовательно, равны и вписанные углы А~АЛХ, В~ВЛХ, опирающиеся на эти дуги.
Но эти углы являются соответственными (накрест лежащими) углами, образованными при пересечении прямых АА1 и ВВ1 секущей АВ. Поэтому АА~ ~~ ВВм 878. Прямая ЛС вЂ” касательная к окружности с центром Он а прямая В0 — касательная к окружности с центром О2 (рис.267, рис.270 учебника). Докажите, что: а) АР ~ ВС; б) ЛВ = АР ВС; в) ВР:.4С = ЛР: ВС. Р е ш е н и е. а) Каждый из углов АРВ и ВАС измеряется половиной дуги АВ окружности с центром О~ (см.
задачу 664). Следовательно, эти углы равны. По аналогичной причине кАВР = ПАСВ. Таким образом, треугольники АВР и АВС подобны. Поэтому углы РАВ и АВС также равны. Но эти углы являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых АР и ВС секущей .4В. Поэтому АР ~ ВС. б) Из подобия треугольников АВР и АВС (см. а) следует, что АВ; ВС = АР: АВ, откуда АВ = АР ВС, в) Из подобия треугольников АВР и АВС (см, а) следует, что ВР: АС = АВ: ВС и ВР: АС = АР; АВ. Следовательно, ВР2: АС = (ВР: АС)(ВР: АС) = = (АВ: ВС)(АР: АВ) = АР: ВС. 879.
Точки К и С~ — середины дуг ЛВ и ЛС (рис. 268, рис. 271 учебника). Докажите, что ЛЛХ = ЛХ. Р е ш е н и е. Поскольку угол между двумя пересекающимися хордами окружности измеряется полусуммой дуг, заключенных между этими хордами (см, задачу 718), то АС|+ — ВВ1 СС~+ ЛВ1 2 2 Таким образом, в треугольнике АМХн' углы М и Лг равны. Следовательно, АЛХ = Адг. О, Рис.
268 Рис. 267 Задачи повышенной мрудносми 193 А, Рнс. 269 х(и — х) =- у(а — у) (х(а + х) = у(а + у)), откуда х = у, а значит, н а — х=а — у (а+х=а+у). 881. Докажите, что для всех хорд ЛВ данной АВэ окружности величина, где АР— расстояние от точки А до касательной в точке В, имеет одно и то же значение. Ре ш е н и е. Пусть АС вЂ” диаметр данной окружности (рис.
270). Прямоугольные треугольники АВС и АВР подобны, поскольку каждый из их острых углов С и В измеряется половиной дуги .4В (см. задачу 664). Следовательно, АС: АВ = АВ: АХ), откуда = АС. АВ АР Рис. 270 АВ' Тем самым для всех хорд АВ данной окружности величина имеет одно и то же значение, равное диаметру этой окружности. 7 Л.С.Атанесян н др 880. Окружность отсекает на двух прямых, которые пересекаются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. Докажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до концов той и другой хорд соответственно равны между собой. Решение. Возможны два случая: точка пересечения данных прямых лежит внутри круга; точка пересечения данных прямых лежит вне круга. Ход рассуждений для этих случаев в основном один и тот же. Поэтому доказательство проведем для первого случая, а в скобках укажем те изменения, которые следует внести в текст доказательства во втором случае.
Пусть АВ =- а и А~В~ =- а — равные хорды, 7гХ точка пересечения прямых АВ и А1В~ (рис.269), МА = х, ЛХА~ = у (х < †, у < †). 2'' 2 По теореме о пересекающихся хордах (согласно утверждению, сформулированному в задаче 672) 194 Хл. 4 Окружность 882. Через точку А пересечения двух окружностей с центрами в точках 01 н Оз проведена прямая, пересекающая одну нз окружностей в точке В, а другую — в точке С.
Докажите, что отрезок ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой О~Ос Решение. Проведем из точек 01 и Оь перпендикуляры 01Н1 и ОзНв к прямой ВС (рнс.271). Отрезки 01Н1 и 02Нз — высоты равнобедренных треугольников 0|АВ и ОгАС, а значит, их медианы. Следовательно, ВС = 2 Н1Нз. Длина отрезка Н~Нз равна расстоянию между параллельными прямыми 01Н~ и ОзНз, поэтому ВС = = 2 Н~На < 2 О~Ох, причем знак равенства возможен только в том случае, когда прямые Н~Нз и О~Оя параллельны. 883.
Отрезок,4В является диаметром окружности с центром О На каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра 0 отрезок, равный расстоянию от конца ЛХ этого радиуса до прямой АВ Найдите множество концов построенных таким образом отрезков. Р е ш е н и е. Проведем диаметр СО, перпендикулярный к диаметру АВ (рис.
272). Пусть, например, точки ЛХ и С лежат по одну сторону от прямой АВ, МН вЂ” перпендикуляр, проведенный из точки М к прямой АВ, Р— точка искомого множества, лежащая на радиусе ОЛХ. Треугольники ОМН и ОСР равны по первому признаку равенства треугольников: ОЛХ = ОС, МН = ОР, углы ОЛХН и СОР равны, поскольку они являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых МН и ОС секущей ОМ. Следовательно, угол ОРС вЂ” прямой, а значит, точка Р лежит на окружности с диаметром ОС. Итак, если точки ЛХ и С лежат по одну сторону от прямой АВ, то точка Р лежит на окружности с диаметром ОС. Точка Р лежит на указанной окружности и в тех случаях, когда точки ЛХ и С совпадают или когда точка ЛХ лежит на прямой АВ (в этом случае расстояние от точки М до прямой АВ считается равным нулю). Ясно также, что все точки этой окружности принадлежат искомому множеству точек.
Аналогичные рассуждения приводят к выводу о том, что и все точки окружности с диаметром ОР принадлежат искомому множеству, ХЭ Рнс 272 Рнс 271 195 Задачи повышенной труднооши 884. Внутри угла АВС равностороннего треугольника АВС взята точка ЛХ так, что АВЛХС = 30', АВЛХЛ = 17' Найдите углы ВАЛХ и ВСЛХ. Р е ш е н и е. Проведем окружность с центром А радиуса АВ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
