atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Решен не. АВСР данный параллелограмм (рис. 299). а) Векторы АВ и РС равны, так как )АВ~= РС иАВ БАРС; б) векторы ВС и РА не равны, так как ВСЦРА; в) векторы АО и ОС равны, так как Ад = ~ОС и Ад Ц ОС; г) векторы АС и ВР не равны, так как они не коллинеарны. Ответ, а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 749. Точки В и Т являются серединами боковых сторон Л(ЛХ и (,К равнобедренной трапеции ЛХМ(К. Равны ли векторы: а) Лгб и К(к б) Л(В и ЯЖ; в) ММ и К(л г) ('В и КЛХ; д) 'ГС и КТ) Р е ш е н и е. Л(Лги — данная равнобедренная трапеция (рис.
300), точки В и Т вЂ” середины боковых сторон Л((х' и ХК. а) Векторы Лг( и КХ не коллинеарны, поэтому ХЕ ф КЬ. б) Векторы ЛХВ и ЯХ равны, так как ЫБ = ~В(т' и Л(Ь ц В(т'. в) Векторы ЛХЖ и КА не равны, так как они не коллинеарны. г) Векторы ТВ и КЛ( не равны, так как Рис. 300 Рис. 299 212 Гл 5. Векторы д) Векторы ТР и КТ равны, так как ТР~ = ~КТ~ и Тй Т( КТ. Ответ. а) Нет; б) да; в) нет; г) нет; д) да. Рис.
30! О Рнс. 302 751. Определите вид четырехугольника АВСР, если: а) ЛЙ = РС' и ~АВ~ = ~В7~; б) АВ Т( РС, а векторы АР и ВС не коллинеарны. Решение. а) АЕ) = РС (рис.303, а), поэтому АВ ( РС и АВ = = РС. Следовательно, АВСР— параллелограмм. Так как ~АВ~ = = ~ВС~, т. е. АВ = ВС, то АВСР— ромб. 750. Докажите, что если векторы АВ и СР равны, то середины отрезков АР и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков АР и ВС совпадают, та АМ = СР Р е ш е н и е. Рассмотрим случай, когда векторы АВ и СР ненулевые иАВ~ СР. Пусть АВ = СР. Тогда АВ Т( СР, поэтому точки В и Р лежат по одну сторону от прямой АС (рис. 301).
Так как АВ! СР, то точки А А и В лежат по одну сторону от прямой СР, а точки С и Р лежат по одну сторону () от прямой АВ. Отсюда следует, что АВРС— четырехугольник. По условию АВ = СР и АВ з' СР, поэтому АВРС параллело- С грамм (!', п.43). По свойству 2' п.43 диагонали ЛР и ВС этого параллелограмма точкой О пересечения делятся пополам, следовательно, середины отрезков АР и ВС совпадают. Докажем обратное утверждение: пусть середины О отрезков АР и ВС совпадают. Докажем, что ЛВ = СР. Точки В и Р лежат по ту же сторону от прямой АС, что и точка О. Аналогично, точки С и Р лежат по одну сторону от прямой АВ, а точки А и В— по одну сторону от прямой СР. Отсюда следует, что ЛВРС вЂ” четырехугольник.
По свойству 3' п.43 АВРС параллелограмм, поэтому АВ = СР. Утверждение, сформулированное в задаче, верно и в том случае, когда векторы АВ и СР— нулевые, или если эти векторы лежат на одной прямой (рис. 302, а, б, в). 213 у 2 Сложение и вынитание векторов Рис. 303 б) АВ П ВС, поэтому АВ ) РС, т. е. АВСР— параллелограмм илн трапеция. По условию векторы АР и ВС не коллинеарны, поэтому АР)',ВС (рис.303, б), т. е. АВСР трапеция. О т в е т. а) Ромб; б) трапеция.
752. Верно ли утверждение: а) если а = Ь, то и П Ь; б) если а .= = 6, то а и 6 коллииеарны; в) если а = Ь, то а,) Ь; г) если а )Т 6, — > то а = Ь; д) если а = О, то а П 6? Ответ. а) Верно; б) верно; в) неверно; г) неверно; д) верно. ф 2. Сложение и вычитание векторов 753. Турист прошел 20 км на восток из города А в город В, а потом 30 км на восток в город С. Выбрав подходя|дий масштаб, иаиертите векторы .4В и ВС. Равны ли векторы АВ+ Вб и АС2 Ответ. Да.
754. Наиертите попарно неколлинеарные векторы лн, у, Яе и постройте векторы л + у, л + е, лу+ у. Решение. На рисунке 304 В Рис. 304 214 Гл 5. Векглоры 755. Начертите попарно неколлинеарные векторы а. 6, с, г1, е и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор а -1- б -Ь с -1- а + е . Решение. На рисунке 305 Рис. 305 756. Начертите попарно неколлинеарные векторы хх, уч, ~х и постройте векторы х — у, х — у, х — а, — х, — у, — х. Решение, На рисунке 305 АС= х — у, ~Ш = — у, — х Е 0 М Е Ф Рис. 306 757.
Начертите векторы х, ~у и ~х так, чтобы х П у, х' Ц Постройте векторы х + у, у — х, х + л. Решение, На рисунке 307 ЕЕ =х ча С71 б- И вЂ” х АВ =т ьу Рис. 307 215 В 2 Сложение и вьтитанив векторов 768. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и Ь, ( а ф ( Ъ . Постройте векторы: а) а — Ь; б) Ь вЂ” а; в) — а + Ь. Выполните еше раз построение для случая, когда )а ( = ) Ь (. Ре ш е н не. На рисунке 308, а: ~ а ~ ф ( Ь ). а а Рис 308 а) АЗ = а — Ь; б) Вж = Ь вЂ” а; в) ВА = — а + Ь . 769.
Дав произвольный четырехугольник Л1Хт'РЯ. Докажите, что: а) Л1 А + КЩ = ЛХХ3+ рг) б) ЯЯ + ~~ = Щ > др Решение. а) По правилу треугольника ЛХЬ1 + Агсе' =- ЛХб,) 1рис. 309), МР + РО = ЛХ1,1. Следовательно, ЛХЛХ + АгО = МГ+ РЯ. б) Аналогично: ЛХЛХ + ЖР = МР 1см. рис. 309), ЛЩ+ ЯР = МР. Следовательно, ЛХ)т" + ХР = Ъ|Ц + ОР. 760. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и ~у справедливо неравенство х + у ~ < )х ( + ~ у ~ Р е ш е н и е.
Сложим векторы х и у по правилу треугольника 1рис. 310): АС = АВ+ ВС, где АВ=- х, ВС=- у, АС=- х+ у. Так как векторы х и у не коллинеарны, то АВС вЂ” треугольник. Согласно неравенству треугольника АС < АВ+ ВС. Рис. 310 Рис. 309 216 Гл 5. Векторы Но АС =- ~ х + у ~, АВ = ~ х ~, ВС = ~гр~, поэтому ~х~7г~(1, 1~~и1 761. Докажите, что если А, В, С и Р— произвольные точки, то .4В + т Вс ч- с.Р ч- Р,4 = о . Решение. Пусть А, В, С, Р— произвольные точки. По правилу многоугольника АВ + ВС + СР+ РА = АА.
Но АА = О, следовательно, АВ -'; ВС + СР ч- Р.4 = О . 762. Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Найдите: а) |АВ Ч- ВС; б) ~.4В+ .4СК в) )АВ+ СВ,'; г) )ВА — ВС, д) ~А — АС). Р е ш е н и е. По условию задачи АВ = ВС = СА = а. а) Так как АВ + ВС = АС, то ~АВ + + ВС~=~АС~ =- и. б) АВ + АС =- АР = 2АО, где Π— середина стороны ВС треугольника АВС (рис. 311). Поэтому Рис. 311 ~АВ+ АС~ = 2~АО! = 2 — -'- = аъ'3. 2 в) Построим ромб АВРС и проведем его высоту СН (см, рис.
311). Тогда АВ+ СВ = СР+ СВ = 2СН, поэтому )АВ + СВ, '=- 2)СН( = 2. =- иъ'3. 2 г) ВА — ВС = СА, поэтому (В А — ВС( = (СА) = а. д) А — АС = СВ, поэтому (А — АС! = (СВ( = и. Ответ. а) ал б) атгЗ; в) иъгЗ; г) и; д) и. ф 2 Сложение и вьтитание векторов 217 764. Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражения: а) (АВ+ В С вЂ” МС) + (М — !(0), б) (С В+ АС+ ВВ) — (ЛХ)т + КВ). Решение, а) (АВ + ВС' — МС) + (М — КР) = (АВ + ВС+ + СМ) + (МВ + ВК) = .АК. б) (СВ + АС + ВВ) — (МК и- КР) =- (АС+ СВ + ВВ) + (РК + + КМ) =- АМ. Ответ. а) АК; б) АМ.
766. Пусть Х, У и Я вЂ” произвольные точки. Докажите, что векторы р = ХУ' -~ АХ ж Л, и = (ХР - Х2) + УХ и - = (Ы - ХУ) — Ай.' — нулевые. р =ХУ+гХ+Кг=,Х+ХУ+Уг=Б= О. Хл) +Ул = — ХУ+Ул+ УХ = ХХ = О. ХУ) — ХХ=Л +УХ+Хг=-Ы=- О. Решение. д =(ХУ— =- (2У"— 766. На рисунке 313 (рис. 259 учебника) изображены векторы а, 6, с, Ы, ХУ. Представьте вектор ХУ в виде суммы остальных или им противоположных векторов. 763. В треугольнике АВС: АВ = 6, ВС = 8, АВ = 90'. Найдите: а) ВА~ — ~ВС~ и В т — Вд~; б) ~Л7)~+ ВС и |ЛВ се ВС~; в) ~В~~+ ВС и (ВЛ ч- Вд); г) Лй) — ИС, и (ЛЛ вЂ” ВС. Р е ш е н и е. По условию задачи в данном треугольнике АВС: АВ = = 6, ВС = 8, дВ =.
90' (рис. 312). а) ~В 4 — ~ВС~ = ВА — ВС = — 2; ВА— А  — ВС =- СА, поэтому ВА — ВС~ =- ~СА~ =- = т736+ 64 =!О. б) ~АВ~+ ВС) = АВ+ ВС'= 14; АВ+ ВС'= = АС, поэтому (АВ + ВС = )АС = 1О. в) (Вл) + ~ВС~ = ВА ч-ВС:= 14; ВА+ ВС =- Рис. 3!2 = ВВ, ВА+ ВС = ~ВВ~ =- АС =- АС =- 10. г) ~АВ( — )ВС~ = А — ВС = — 2; А — ВС = ВС+ СВ =- ВВ; (А — Вд( =- ~РВ~ = АС! = 10.
Ответ. а) — 2 и 10; б) 14 и 10; в) 14 и 10; г) — 2 и 10. 213 Гл 6. Векторы А 6 В Р е ш е н и е. По правилу многоугольника имеем: ХЛ =ХА'+АВ+ВС+Су. С Так как у ХА= — а, АВ.= — 6, ВС=- с", СУ= г(, то Рис. 3!3 ХУ= — а+( — Ь)+ с -1- е(. Ответ. — а +( — Ь)+ с + е1. 767. Дан треугольник АВС. Выразите через векторы а = АВ и 6 = АС вектор СВ + ВА. Решен не.
По правилу треугольника СВ+ ВА = СА, Се1 =— — АС = — 6, поэтому СВ+ В 4 = — Ь. Ответ. — 6. 768. Точки Лу и Х вЂ” середины сторон АВ и АС треугольника АВС. Выразите векторы В1И, ХС, ЛХХ, ВХ через векторы а = АЛХ и Ь = Азч. Решение. Точки М и Х середины сторон АВ и АС данного — — > треугольника АВС (рис. 314), а = АЛХ и Ь = АХ; ВЛХ = ЛТА = — а; — — > — ~ — э — ~ — ~ — > ХС = АХ = 6; МХ = АХ вЂ” АМ = 6 — а .
По правилу треугольника ВХ =ВМ-,ЛТХ=-а+(Ь вЂ”,,). Ответ. о,, 6, 6 — а, — и+(6 — а). 769. Отрезок ВВ~ — медиана треугольника АВС. Выразите векторы В~С, ВВы В4, ВС через х~ = АВ~ и у = АВ. Решение. ВВ~ медиана данного треугольника АВС (рис.315), х = АВы р =- АВ. Рис. 315 Рис. 314 219 р 2 Сложение и вьтитанив векторов ВВ~ =- АВ1 — АВ = — х — у, В| С = АВ! = х, ВА= — АВ= — у; ВС=ВВ~+В1С=(х — р)+ х. Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
