atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Р е ш е н и е. а) На стороне данного угла с вершиной Л1 возьмем какую-нибудь точку А и отметим на другой его стороне точку В так, чтобы отрезок АВ был равен данной стороне искомого треугольника (рис.289). Опишем около треугольника АВЛ1 окружность. Далее, проведем прямую, параллельную прямой АВ, находящуюся Рис. 289 899. Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку. Решение. Пусть ЛХ вЂ” данная точка, АВ хорда, проходящая через эту точку.
Для удобства введем обозначения: АЛХ вЂ” — х, ЛХВ = у. Из теоремы о произведении отрезков пересекающихся хорд следует, что для всех хорд окружности, проходящих через точку ЛХ, величина с ху = с одна и та же. Из этого равенства находим: у = —. С другой стороны, 206 Ут и' Окружность от нее на расстоянии, равном данной высоте, и лежащую по ту же сторону от прямой АВ, что и точка М. Пусть С вЂ” одна из общих точек этой прямой и окружности. Треугольник АВС вЂ” искомый. В самом деле, сторона АВ этого треугольника равна данной стороне по построению; угол АСВ равен данному углу АЛХВ, так как эти углы вписанные и опираются на одну и ту же дугу АВ; высота, проведенная из вершины С, равна данной высоте по построению.
б) Проведем биссектрису данного угла сь и построим угол 90' + + — (рис.290). Затем построим треугольник А~ВВы сторона А~В~ 2 которого равна данному периметру, высота, проведенная из вершины В, равна данной высоте, а угол при вершине В равен построенному углу (см. задачу 900, а). Наконец, проведем серединные перпендикуляры к отрезкам А~В и В~В (рис.291) и обозначим буквами А и С точки их пересечения с прямой А~Вы Треугольник АВС вЂ” искомый. Ь А О Рис.
291 Рис. 290 В самом деле, высота, проведенная из его вершины В, равна данной высоте по построению. Далее, поскольку АА~ = АВ и СВ~ = СВ, то периметр треугольника АВС равен данному периметру. Кроме того, поскольку треугольники АА~В и СВ~В равнобедренные, а углы А и С треугольника АВС являются их внешними углами, то для угла В этого треугольника находим: откуда кВ = ст. 901. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки Н, В и И, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведенные из одной вершины. Р е ш е н и е.
Пусть Π— центр данной окружности. Через точку Н проведем хорду РН, параллельную прямой ОВ (рис.292). Затем через точку А пересечения прямых ОВ и РМ проведем хорду ьЗЛ, перпендикулярную к прямой ОВ. Треугольник РЯЛ. — искомый. В самом деле, прямые РН и ОВ параллельны, поэтому РН 2 ЯЛ, а значит, прямая РН содержит высоту треугольника РЯЛ. Далее, высота ОА равнобедренного треугольника ОС;)Л является медианой и биссектрисой. Следовательно, С,)А = АЛ, т. е.
прямая РЫ содержит медиану Задачи повышенной трудности 207 РА треугольника РЯРт. Кроме того, из равенства углов АОЯ и АОЛ следует равенство дуг ВЯ и ВН, а значит, и опирающихся на эти дуги вписанных углов ВРЯ и ВРВ. Иными словами, прямая РВ содержит биссектрису треугольника РСурт. 902. Даны трн точки, не лежащие на одной прямой. Постройте треугольник, для которого этн точки являются основаниями высот Сколько решений имеет задача? Р е ш е н и е.
Пусть Ан В1 и С1 данные точки, Н точка пересечения биссектрис треугольника А~В1Сн Построим сначала остроугольный треугольник АВС, для которого отрезки ААП ВВ~ и СС1являются высотами. Проведем через точки Ан В| и С| прямые, перпендикулярные соответственно к А1 Н, В~ Н и С~Н. Точки пересечения этих прямых обозначим буквами А, В и С (рис. 293). Треугольник АВС вЂ” искомый. В самом деле, вершина А этого треугольника лежит на прямой А~Н (см. задачу 885), а значит, прямая АА| перпендикулярна к прямой ВС по построению. Иными словами, отрезок АА~ высота треугольника АВС. Аналогично доказывается, что отрезки ВВ~ и СС| являются высотами этого треугольника.
Осталось доказать, что треугольник АВС остроугольный. Докажем, например, что угол А — острый. Имеем: е.'Л~ е пС~ аВ1 НС1 =- 180' —: — ' —: — ' = 180'— 2 2 180ч 180' — аА1 90ч ч ~А~ 2 2 ) 90'. Следовательно, ~А =- 360' — 90' — 90' — ~В|НС1 ( 90'. Аналогично доказывается, что углы А1НС1 и А1НВ~ тупые, а значит, углы В и С вЂ” острые. Обратимся к рисунку 293. Нетрудно видеть, что в каждом из трех тупоугольных треугольников АВН, ВСН и АСН точки Ан В1 и С1 Рис.
292 Рис. 293 208 рл. 4 Окружность также являются основаниями высот. Таким образом, мы построили четыре треугольника, удовлетворяющих условию задачи. Имеет ли наша задача другие решения? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала остроугольный треугольник АяВзСш для которого точки Аы В~ и С~ являются основаниями высот (рис.294). Пусть Н1 — точка пересечения высот этого треугольника, Тогда лучи А1Нн В1Н1 и С|Н1 являются биссектрисами углов треугольника А~В~С1 (см.
задачу 849). Следовательно, точки Н~ и Н совпадают, а значит, треугольник АзВаСа совпадает с треугольником АВС. Тем самым, других остроугольных треугольников, удовлетворяющих условию задачи, нет. Рассмотрим теперь тупоугольный треугольник АаВзН1 с тупым углом Нн для которого отрезки АзВн ВаА1 и Н1С1 являются высотами (рис. 295). Пусть С вЂ” точка пересечения высот этого треугольника. Поскольку треугольники АьВзВ1 и ВзАзА~ С2 Рнс.
295 Рнс. 294 прямоугольные, то углы Аз и Вз треугольника АзВзСа — острые; угол Сз этого треугольника — также острый, поскольку с'.Са = 180' — кАз — с'Вз = = — 180' — (90' — с'.АзВаН1 ) — (90' — ЕВзАзН1 ) .= = ~АзВзН~ + ~ВзАзН~ ( 90, так как угол Н1 треугольника АзВаН1 — тупой.
Таким образом, треугольник АзВзСз остроугольный, причем точки Ан В~ и С~ — основания его высот. Значит, он совпадает с треугольником АВС. Но тогда и треугольник АзВзН1 совпадает с треугольником АВН. Следовательно, задача имеет четыре решения. О т в е т. Четыре решения.
Глава 5 ВЕКТОРЫ ф 1. Понятие вектора 744. Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работаз От вет. Из указанных в задаче векторными величинами являются скорость и сила. 745. В прямоугольнике ЛВСР .4В = 3 см, ВС = 4 см, М вЂ” середина стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, РС, МС, йХА, СВ, АС.
Решение. Так как АВ = 3 см, ВС = 4 см (рис.296), то АВ, '= =- )РС =- 3 см, (ВС = )СВ( = 4 см. мГ) — Мра -яо' — чТу 4 < — ~т825 йХА~ = — ВА = 1,5 см, ~АС~ = тГАВй+ ВСз =- 5 см. 2 Ответ. 3 см, 4 см, 3 см, т718,25 см, 1,5 см, 4 см, 5 см. 746.
Основание АР прямоугольной трапеции ЛВСР с прямым углом Л равно 12 см, АВ =- 5 см, ~Р =- 45'. Найдите длины векторов ВР, СР и АС . Ре ш е н не. Пусть СН вЂ” высота данной трапеции АВСР (рис. 297). яп~ — ХР + ив — 'Т2 + 5 — 13 В треугольнике СРН: СН = НР = 5 см, поэтому СР = 4СН' -', НРЯ = тl25 1. 25 = 5т72 см. 3 см Рис 297 Рис. 296 210 Хл 5. Векторы Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АВС: ~АС~ = АВ' <-ВС', ВС = АН = АР— РН = 12 см — 5 см = 7 см, поэтому АС~ =- хХ25+ 49 см = хХ74 4см. Ответ.
13 см, 5ъ'2 см, хХ74 4см, 747. Выпишите пары коллинеарных векторов, которые определяются сторонами: а) параллелограмма ЛХХРХХ; б) трапеции АВСР с основаниями АР н ВС; в) треугольника ГОН Укажите среди них пары соиаправленных и противоположно направленных векторов. Решение. а) ЛАРЯ данный параллелограмм (рис.298, а). Коллинеарными являются векторы: ЛХЮ н ьХР, ММ и РЯ, ЖЛХ и РЯ, ХЛХ и РР, ЛХР и .КР, МЯ и РМ, ЯМ и МР, ОЛХ и РЯ, Сонаправленные векторы: ЛХ)У Ц ОР, .УМ Ц Рб,), ЛХХ„1 )) ХР, ОЛХ ц Р)У. Противоположно направленные векторы; ЛХЛг '(> Рб), ХЛХ )Ц РР, т )) РХВ', Ж )) МР. б) АВСР— данная трапеция (рис.298, б). Коллинеарными являются векторы: ВС и АР, ВС и РА, СВ и РА, СВ и АР. Сонаправленные векторы: ВС П АР, СВ Ц РА.
Противоположно направленные векторы: ВС () РА, СХ) )) АХ). в) РСН вЂ” данный треугольник (рис. 298, в). Коллинеарных векторов нет, а потому нет сонаправленных и противоположно направленных векторов. Ответ. а) Сонаправленные: ЛХХ и ЯР, ММ и РГ~, ЛЩ и Л'Р, б,)ЛХ и РЛ'; противоположно направленные: ЛХЛг и РР, ХВ'Л( и ЯР, ЛХб) и РХВ', ь)ЛХ и ЛгР; б) сонаправленные: ВС и АР, СВ и РА; противоположно направленные: ВС и РА, СВ и АР; в) коллинеарных векторов нет. Е~ Л, А ХА Г О б В Рис. 298 211 9 (. Вонятие вектора 748. В параллелограмме АВСР диагонали пересекаются в точке О Равны ли векторы: а) АВ и РС; б) ВС и Р А1 в) АО и ОС; г) АС и ВХ)) Ответ обоснуйте.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
