atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 31
Текст из файла (страница 31)
709. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник. Решение. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180'. В параллелограмме противоположные углы равньь Следовательно, если около параллелограмма можно описать окружность, то все его углы равны 90', а значит, этот параллелограмм прямоугольник. 710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
Рис 252 Рнс 251 184 1ьь 4 Окружность Р е ш е н и е. Если около трапеции можно описать окружность, то дуги, стягиваемые ее боковыми сторонами, равны (см. задачу 659). Поэтому вписанные углы при основании трапеции опираются на равные дуги и, следовательно, равны. Из этого следует, что трапеция равнобедренная (см. задачу 389). 71 1. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний.
Для каждого из них постройте описанную окружность Р е ш е н и е. Чтобы описать окружность около данного треугольника, нужно построить серединные перпендикуляры к двум сторонам и найти точку их пересечения центр описанной окружности. Окружность с найденным центром, проходящая через одну из вершин треугольника, проходит и через две другие его вершины, т. е. является искомой описанной окружностью. В случае прямоугольного треугольника построение можно несколько сократить, если воспользоваться утверждением, сформулированным в задаче 704, а. Дополнительные задачи 712. Докажите, что касательные, проведенные через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
Решен не. Пусть А — данная хорда (рис. 253). Эта хорда образует с каждой из касательных угол, равный половине дуги АВ (см. задачу 664). Тем самым сумма односторонних углов, образованных при пересечении касательных секущей АВ, равна дуге АВ. Но АВ у'= ф 180', следовательно, касательные пересекаются. 713. Прямые ЛВ и ЛС вЂ” касательные к окружности с центром О, В и С вЂ” точки касания. Через произвольную точку Х, взятую на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пересекающая отрезки ЛВ и ЛС в точках Л1 и АЧ Докажите, что периметр треугольника ЛЛ1Л' и угол Л10Аь не зависят от выбора точки Х на дуге ВС.
Р еще н не. Прямоугольные треугольники ОХЛУ и ОВЛХ (рис. 254) равны по гипотенузе и катету. Следовательно, ЛТХ = МВ и кМОХ = кЛТОВ. Аналогично из равенства треугольников ОХХ и ОСА' находим: ХАг = САг и ~АгОХ = ~АгОС. Рис. 254 Рис. 253 185 Дополнишальныв задачи Имеем: АЛХ+ ЛХХч + АХ = АМ+ ЛХХ+ ХХ+ХА = = АЛХ Р ЛХВ + СЖ+ КА = АВ+ АС; кЛХОК ~ 4ХОК + кв„тОХ 2 2 Тем самым периметр треугольника АЛХтт' и угол ЛХОЛХ не зависят от выбора точки Х на дуге ВС. 714*. Две окружности имеют общую точку М и общую касательную в этой точке. Прямая АВ касается одной окружности в точке А, а другой — в точке В Докажите, что точка М лежит иа окружности с диаметром АВ Р е ш е н и е.
Проведем через точку ЛХ общую касательную и обозначим буквой К точку ее пересечения с прямой АВ (рис.255). Поскольку КА и КЛХ вЂ” отрезки касательных к окружности, проведенных из точки К, то КА = КЛХ. Аналогично КВ =. КЛХ. Следовательно, КА = = КВ = КЛХ. Но это и означает, что точка М лежит на окружности с диаметром АВ. 715. Диаметр ЛЛ~ окружности перпендикулярен к хорде ВВь Докажите, что градусные меры дуг ЛВ и ЛВы меньших яолуокружиости, равны. Решение. Пусть Π— центр окружности (рис.256).
Прямая АА~ содержит высоту равнобедренного треугольника ОВВП а значит, и его биссектрису. Следовательно, центральные углы АОВ и АОВ1 равны, а значит, равны и дуги, на которые опираются эти углы. 716. Точки Л, В, С и Хз лежат на окружности. Докажите, что если АВ = СР, то АВ = СР. Решение. Пусть Π— центр окружности. Равнобедренные треугольники ОАВ и ОСР равны по первому признаку равенства треугольников, поэтому АВ = СХл. 71 7. Отрезок ЛВ является диаметром окружности, а хорды ВС и ЛВ параллельны. Докажите, что хорда СВ является диаметром. Р е ш е н и е.
Накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых ВС и АХ) секущей АВ, равны (рис.257), поэтому равны и дуги АС и ВР, на которые опираются эти углы. Л Рис. 255 Рис. 257 Рис 256 186 Хл. 4 Окружность Имеем: СР = СВ+ ВР = ( А — АС)+ ВР = АВ = 180'. Следовательно, хорда СР— диаметр окружности, 719. Через точку, лежащую зне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла. Ре ш е н не, Рассмотрим две секущие, проведенные из точки ЛХ и пересекающие окружность в точках А и В, С и Р соответственно 1рис.258).
Угол ВАР— внешний угол треугольника АРХгХ, поэтому Рис. 258 к'ВАР = кЛЛХР + к'АРйХ, откуда АС -ВР— -АС к'Ай)Р = кВЛР— к'АРХг|— 2 720. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо сторонез Ответ обоснуйте. Решение. Ясно, что вершина треугольника не может лежать на серединном перпендикуляре к той стороне, конном которой она является.
Если бы вершина разностороннего треугольника лежала на серединном перпендикуляре к противолежащей стороне, то медиана, проведенная из этой вершины, была бы высотой, что невозможно 1см. задачу б83). Ответ. Нет. 721. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат. Ре ш е н н е.
Если в прямоугольник со смежными сторонами а и 6 можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны: 2и =- 26, откуда а = 6, а значит, этот прямоугольник— квадрат. 722. Четырехугольник АВСР описан около окружности радиуса г Известно, что АВ: СР = 2: 3. АР: ВС = 2: 1.
Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна В. Решение. Площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности гсм. за- 28 дачу 697). Поэтому периметр четырехугольника ЛВСР равен г Дополнипельные задачи 187 Следовательно, АВ + СР =- АР + ВС = — '. Отсюда находим: Я Ав=28 вс= В сР=ЗВ АР=28 5т' Зт' 5т' Зт' 2Я В ЗВ 2В Ответ. —,— 5т ' Зт ' 5т ' Зт 723.
Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности и точки касания принадлежат основаниям, то средняя линия трапеции проходит через центр окружности. Решен не. Пусть Р и О. — точки, в которых окружность касается оснований ВС и АР трапеции АВСР, Π— центр этой окружности (рис.259). Прямая ОР перпендикулярна к прямой ВС.
Следовательно, она перпендикулярна и к прямой АР, а значит, проходит через точку О (иначе из точки О оказалось бы проведено два перпендикуляра к прямой АР, что невозможно). Иными словами, отрезок РО.— диаметр окружности. Напомним, что средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины 7чХ и Х ее боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции (см, задачу 386).
Следовательно, по теореме Фалеса гсм, задачу 385), она пересекает отрезок РО в его середине, т. е. проходит через центр О окружности. 725. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а, и Ь. Ре ш е н и е. Пусть АВСР— трапеция с основаниями АР и ВС (АР ) ВС), АВ З АР (рис.260), г — радиус вписанной в нее окружности. Проведем высоту СН и, учитывая, что СН =- 2г, РН .= а — Ь, СР =- (а — т) + (Ь вЂ” г ) = а + Ь вЂ” 2т, применим теорему Пифагора к треугольнику СРН; (а — 6)Я + 4т~ = (а + Ь вЂ” 2т)~, А А Рис.
259 Рис. 260 188 Ул. 4 Окружность откуда аЬ а+ 6' аЬ О т в е т. ажЬ 726. Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный Решение. Рассмотрим серединный перпендикуляр к той стороне треугольника, к которой проведена данная медиана. Из условия задачи следует, что центр описанной окружности является общей точкой этого серединного перпендикуляра и данной медианы.
Возможны два случая. 1". Рассматриваемый серединный перпендикуляр и данная медиана совпадают. В этом случае вершина, из которой проведена медиана, равноудалена от концов противолежащей стороны, а значит, данный треугольник равнобедренный. 2'. Рассматриваемый серединный перпендикуляр и данная медиана не совпадают. В этом случае серединный перпендикуляр и медиана имеют единственную общую точку — середину стороны, к которой проведена медиана.
Тем самым центр описанной окружности лежит на середине стороны треугольника, а значит, этот треугольник прямоугольный (см. решение задачи 665), 727. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром Оь и около него описана окружность с центром Оэ. Докажите, что точки О~ и Оэ лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника. Решение. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе, проведенной к основанию треугольника.
Эта биссектриса является медианой и высотой, т. е. серединным перпендикуляром к основанию треугольника. Следовательно, обе точки О1 и Оз лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника. 728. Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат. Р е ш е н и е. Противоположные углы ромба равны. Если около ромба можно описать окружность, то эти углы составляют в сумме 180'.
Следовательно, каждый из них равен 90', а значит, этот ромб квадрат. 730. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла Докажите, что около четырехугольника АСВО можно описать окружность. Решение. Каждый из углов А и В четырехугольника АСВО равен 90', а значит, сумма этих углов равна !80'. Поэтому (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
