atnasyan-gdz-8-2005 (546187), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Какие из прямых ОЛ, ЛВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности? Р е ш е н и е. Прямая ОА проходит через центр окружности, поэтому эта прямая является секущей. Прямые АВ и ВС находятся на расстояниях ОА = = 6 см > 5 см и ОС = 6 см > 5 см грис. 212), а значит, эти прямые секущими не являются. Расстояние от точки О до прямой АС равно половине диагонали Рис 212 6 Л. С. Атанасян и др 631.
Пусть д — расстояние от центра окружности радиуса г до прямой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности, если: а) г = 16 см, д = !2 см; б) г = 5 см, г) = 4,2 см, в) г = 7,2 дм, г) = 8,7 дм; г) г = 8 см, Л = 1 2 дм, д) г = 5 см, г) = 50 мм7 Решение. а) гт < г, поэтому прямая и окружность имеют две общие точки; б) с) < г, поэтому прямая и окружность имеют две общие точки; в) с) < т, поэтому прямая и окружность имеют две общие точки; г) 6 > г, поэтому прямая и окружность не имеют общих точек; д) Н = г, поэтому прямая и окружность имеют только одну общую точку.
О т в е т. а), б), в) Прямая пересекает окружность; г) прямая лежит вне окружности; д) прямая касается окружности. 162 рл. 4 Окружность ъ'2 данного квадрата, т. е, — 6 см = 4,25 см. Таким образом, это рас- 2 стояние меньше 5 см, поэтому прямая АС является секущей. Ответ. ОА и АС. 634. Радиус ОЛ( окружности с центром О делит хорду АВ пополам. Докажите, что касательная, проведенная через точку Л(, параллельна хорде АВ. Решение. Прямая ОЛХ содержит медиану равнобедренного треугольника АОВ (рис.
213), поэтому АВ Л. ОЛХ. Касательная р, проведенная через точку ЛХ, также перпендикулярна к ОЛТ. Следовательно, прямые АВ и р параллельны. 635. Через точку А окружности проведены касательная и хорда, равная радиусу окружности. Найдите угол между ними. Решение. Пусть Π— центр окружности, А — данная хорда (рис. 214). Треугольник ОАВ равносторонний, поэтому угол ОАВ равен 60'.
Следовательно, искомый угол равен 90' — 60' = 30'. Ответ. 30'. 636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол,4СВ Ре ш е н не. Пусть Π— центр данной окружности (рис. 215).
Треугольник ОАВ равносторонний, поэтому угол ОАВ равен 60'. Из четырехугольника ОАСВ находим: с'.АСВ = 360' — 90' — 90'— — 60' = 120'. Ответ. 120'. 637. Угол между диаметром АВ и хордой АС равен ЗО' Через точку С проведена касательная, пересекающая прямую АВ в точке О Докажите, что треугольник АСΠ— равнобедренный. Ре ш е н и е. Пусть Π— центр данной окружности (рис. 216).
Из условия задачи следует, что углы при основании равнобедренного треугольника ОАС равны 30'. Угол ВОС внешний угол этого треугольника, а значит, ОВОС = 30' + 30' = 60'. В прямоугольном треугольнике ОСВ с'.О =- 60', поэтому с'.Р =- 30'. Таким образом, в треугольнике АСР углы при основании АО равны и, следовательно, этот треугольник — равнобедренный. р М Рис 215 Рис. 214 Рис. 2!3 163 у В Касательная к окружности 638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АВ, если ОА =- 2 см, а г = 1,5 см. Решение.
Из условия задачи следует, что треугольник АОВ— прямоугольный с прямым углом В (рис. 217). По теореме Пифагора ОА' =- АВ'+ ОВ' = АВ' ч- ", Г 9 тг7 откуда АВ = г(4 — — см = — см. 4 2 О т в е т. ем. ч7 639. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в точке В. Найдите АВ, если хАОВ =. 60', а г = 12 см Р е ш е н и е.
Из условия задачи следует, что треугольник АОВ— прямоугольный с прямым углом В (см. рис. 217). Поэтому АВ = ОВ4860' = г1860' = гхс3 = 12ъ'3 см. Ответ. 12чг3 см. 640. Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А такая, что ОА = 9 см. Через точку А проведены две касательные к данной окружности.
Найдите угол между ними Решение. Пусть АВ и АС вЂ” касательные, В и С вЂ” точки касания (рис. 218). Тогда а1 = с'2 = 90'. В прямоугольном треугольнике АОВ гипотенуза ОА =- 9 см в два раза больше катета ОВ = 4,5 см. Следовательно, 'ОАВ = 30'. Аналогично 'ОАС = 30', а значит, КВАС = 30' + 30' = 60'. Ответ. 60'.
641. Отрезки ЛВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром О, проведенными из точки Л. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности. Решение. Пусть В и С точки касания (см. Рис.218). Тогда х.'1 =- х2 = 90'. В прямоугольном треугольнике АОВ гипотенуза ОА в два раза больше радиуса окружности, или, что то же самое, в два Рис 218 Рис. 217 Рис 216 164 Хл. 4 Окружнослгь раза больше катета ОВ. Следовательно, к'ОАВ =- 30'.
Аналогично НОАС = 30', а значит, х'.ВАС = 30' -ь 30' = 60'. Ответ. 60'. 642. На рисунке 218 !рис. 2! 3 учебника) ОВ = 3 см, ОА = 6 см. Найдите АВ, АС, кЗ и к4. Ре ше н и е. В прямоугольном треугольнике АОВ гипотенуза ОА =- = 6 см в два раза больше катета ОВ = 3 см. Следовательно, лЗ = 30'. Аналогично к'4 = 30'. Далее, АВ =- АС =- ОА сов 30' = ОА — — = Зч3 см. чЗ 2 О т в е т. 3~ 3 см, Зъ'3 см, 30', 30'. 643. Прямые ЛВ и ЛС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, если лОАВ = 30', ЛВ .=. 5 см. Решение. Поскольку АВ = АС, к'ОАВ = к'ОАС = 30' (см. рис. 218) и, следовательно, к'.ВАС = 60', то треугольник АВС равносторонний, а значит, ВС = АВ = 5 см.
Ответ. 5 см. 644. Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В Докажите, что лАЛХС = ЗкВЛХС. Р е ш е н и е. Прямоугольные треугольники ОМВ и СЛХВ (рис. 219) равны по двум катетам, поэтому кВЛХО = 'ВЛХС. С другой стороны, кАЛХО = а'ВЛХО, а значит, л'АЛХС = Зл'ВЛХС. 645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА~ и ВВ~ к касательной, которая не перпендикулярна к диаметру АВ.
Докажите, что точка касания является серединой отрезка А~ Вь Решение. Пусть ЛХ вЂ” точка касания, О центр окружности !рис.220). Прямые АА!, ВВ! и ОЛХ перпендикулярны к касательной, поэтому они параллельны. С другой стороны, ОА =- ОВ. Следовательно, по теореме. Фалеса, МА! = МВН 646. В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окружности с центром С радиуса СВ: в) прямая АС не является касательной к окружностям с центром В и радиусами ВА и ВС. Решение.
а) Расстояние от прямой ВС до центра А окружности равно АВ !рис. 221), т. е, радиусу этой окружности. Поэтому прямая ВС является касательной к данной окружности. 165 р К Касательная к окружности Рис. 219 Рис. 220 б) Расстояние от прямой АВ до центра С окружности равно СВ (см, рис. 22!), т. е. радиусу этой окружности. Поэтому прямая АВ является касательной к данной окружности. в) Отрезки ВА и ВС являются наклонными, проведенными из точки В к прямой АС (см. рис. 221). Следовательно, расстояние от прямой АС до центра В окружностей меньше радиусов ВА и ВС этих окружностей.
Поэтому прямая АС не является касательной к данным окружностям. 647. Отрезок ЛН вЂ” перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая ЛН касательной к окружности, если: а) ОЛ = 5 см, АН = 4 см, б) ~НЛО = 45', ОА=4см; в) сНАО=ЗО',ОЛ=6 си? Ре ш е н и е. а) Найдем расстояние ОН от центра окружности до прямой АН (рис. 222). Имеем: Таким образом, расстояние от прямой АН до центра окружности равно радиусу этой окружности. Следовательно, прямая АН вЂ” касательная. б) Найдем расстояние ОН от центра окружности до прямой АН (см.
рис. 222). Имеем: ОН = ОА сйп 45' = 2н'2 см. Рис. 221 Рис. 222 166 Ул. т' Окружность Таким образом, расстояние от прямой АН до центра окружности не равно радиусу этой окружности. Следовательно. прямая АН касательной не является. в) Найдем расстояние ОН от центра окружности до прямой АН (см. рис.222).
Имеем: ОН = ОАз)п30' = 3 см. Таким образом, расстояние от прямой АН до центра окружности равно радиусу этой окружности. Следовательно, прямая АН вЂ” касательная. Ответ. а) Да; б) нет; в) да. 648. Постройте касательную к окружности: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой Р е ш е н и е. Пусть Π— центр данной окружности. а) Проведем через точку О прямую, перпендикулярную к данной прямой (рис.223, а), и обозначим буквами А и В точки пересечения Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
